小学奥数公式大全.docx

1、小学奥数公式大全计算板块 .2计数板块 .5数论板块 .7应用题板块.11几何板块 .15行程板块 .21计算板块1、加法交换律： a b b a， a b c a c b2、加法结合律： a b c a b c 3、乘法交换律： a b b a ， a b c a c b4、乘法结合律： a b c a b c 5、乘法分配律： a b c a b a c6、“除法分配律”： a b c a c b c7、减法性质： a b c a b c 8、除法性质： a b c a b c 9、商不变性质： a b a m b m a n b n ， m 0,n 0 10、积不变性质： a b a m

2、 b m ， m 0 11、等差数列相关：项数 n ，公差 d ，首项 a ，第 n 项 a ，前 n 项和 S ， 1 n n通项公式： a a1 n d ， a a n m dn 1 n ，m项数公式： 1n n 1 ， a a d若 m n p q ， m a a aa n p q求和公式： 2S 1 a a nn ，n中项定理，奇数项等差数列： Sn a nn 1从 1 开始连续自然数求和：2 11 2 n n n2从 1 开始连续奇数求和： 1 3 2n 1 n2从 2 开始连续偶数求和： 2 4 2n n n 1 12、多位数乘法： 9 9 10 1 M M n M 9 9时，积的

3、数字和为 9n 当 n个9 n个913、 a ， b a b 2 a 2ab b2 a2 2ab b2 2 2 a ， a 1 b 1 ab a b 1b a b a2 b2 a 3 a 3a b 3ab bb3 2 2 3a ， 3 b a b a ab b3 3 2 22 2 a3 b a b a ab b114、平方求和： 1 2 1 12 22 n2 n n n 61立方求和： 13 2 n 1 2 n n n 12 2 3 3 2 4115、整数裂项： 1 2 1 2 2 3 n n 1 n n n 311 2 3 2 3 4 n n 1 n 2 n n n n 1 2 3 4 11

4、 3 3 5 2n 1 2n 1 n n n 2 3 2 1 2 1 3 61 1 1 1分数裂项： 1 1 1 2 2 3 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 n n 1 n 2 2 1 2 n 1 n 2 16、缺 8 数：12345679 9 111111111，12345679 18 222222222 ，12345679 81 999999999；12345679 8 9876543217、走马灯数：1 ， 0.14285774 ， 0.57142872 ，0. 2 8571475 ，0.71428573 ，0.4 2857176 0.8571427142

5、857 2 285714，142857 3 428571，142857 4 571428，142857 5 714285，142857 6 857142，142857 7 999999.18、山顶数：11 11 121，111 111 12321， 山顶数列求和： 1 2 n 1 n n 1 2 1 n2121 ， 1 2 1 22 12321 1 2 3 2 1 333 ， 2 2奇数山顶数列求和： 1 3 2 219、重码数： ab 101 abab， ab 1001 ab0ababc 1001 abcabc， ab 10101 ababab20、车轮数：1234 2341 3412 41

6、23 1 2 3 4 111121、循环小数化分数： aa ， 90. ab0.ab ，99 0.abc abc a990附：若一个最简分数，它的分母仅含质因数 2 和 5，则它可化为有限小数，反之必为无限循环小数；若分母仅含 2,5 以外的质因数，则必可化为纯循环小数，若分母含质因数2 或 5，且含 2,5 以外的质因数，则必可化为混循环小数. a a q n 1 n 1 22、等比数列相关： S na q 1 n 1 a 1 qn a q a S 11 q 1n n 1 q 1 q23、常用数列：1,4,9,16,25,36，an n20,3,8,15,24,35，a n2 1n1,3,7

7、,13,21,31，a n2 n 1n1,2,4,8,16,32， 2n 1an1,1,2,3,5,8,13，an a a n 1 n 2 1 1,3,6,10,15,21， 1 a n nn2计数板块1、 容斥原理二元容斥： A BABA B三元容斥： A B CABCA BB CA CA B C2、 抽屉原理苹果数抽屉数 (n) 商余数余数：（1）余数 x(1x n1) ， 结论：至少有“商1”个苹果在同一个抽屉里（2）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里3、 排列组合n!排列： P mmA n(n1)(n2) (nm1)n n(n m)!组合：n n 2) (nm 1) n!

8、(n1)( Cm n m(m1)(m2) 1 (n m)!m!n 其他： C Cn 1 C C C 20n ， CnmCn m ， 0 1 2 n nn n n n n常用方法：捆绑法；插空法；隔板法；排除法；枚举法4、 几何计数 线段：一条线段被分成 n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数1为：123 2 ( 1) 条。n C n nn 12 角：一个角被分成 n 个互不重叠的小角（大于 0，小于 180），那么这个角共1包含的角数为：123 2 ( 1) 个。n C n nn 12 三角形：一个三角形底边被从对顶点引的线把底边分成 n 个互不重叠的小线1段，那么这个三角形共包含

9、的三角形数为：123 2 ( 1)n C n nn 12个。 长方形：网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数长边上所有线段数宽边上所有线段数。 正方形：一般的，一个长方形的长被分成 n 份，宽被分成 m份（ n m ，每小格 均 为 相 等 的 正 方 形 ）， 那 么 这 个 长 方 形 中 正 方 形 的 总 数 为 ：n m n m m ( 1)( 1) 1) 1 包含的长方形个数上线段数下线段数左线段数右线段数 所有长方形的面积和长边上的所有线段的长度和宽边上的所有线段的长度和5、 归纳计数n 个图形最多可把平面分成部分数：1. 直线：1223 ( 1)n n 22. 圆： 224

10、（ 1）2n(n 1)3. 椭圆： 2 4 8 1) 2 2n(n 1)4. 三角形： 2612 （ 1）23n(n 1)5. 长方形： 2816 （ 1）24n(n 1)数论板块1、奇偶性质：奇数： 2k 1，偶数： 2k ；性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数性质 2：偶数奇数=奇数性质 3：偶数个奇数的和是偶数性质 4：奇数个奇数的和是奇数性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数常用： a b 与 a b 奇偶性相同.2、质数：（1）100 以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、

11、79、83、89、97，共计 25 个（2）0 和 1 不是质数，也不是合数（3）除了 2 其余的质数都是奇数（4）除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9（5）常用质数：101,103,107,109,2017（6）最小三位质数：101；最大 三位质数：997；最 小四位质数：1009；最大 四位质数：9973（7）最小偶合数：4；最小奇合数：93、部分特殊数的分解：999 3 ； 1001 7 11 13 ； 1003 17 59 ； 11111 41 271 ；3 3710001 73 137 ； 1995 3 5 7 19 ； 2007 32 223 ； 2008

12、23 251 ；2009 2 ； 2012 22 503 ； 2013 3 11 61 ； 2014 2 19 53 ；7 412015 5 13 31； 2016 25 32 7 ；10101 3 7 13 374、数的整除（部分可用于求余数）：末一位：2,5数尾末两位：4,25末三位：8，125末 n 位： 2n ， 5n一位截断求和：9,3两位截断求和：99,33，数和三位截断求和：999,333,111,27,37，n 位截断求和： 9 9 9 99，及 9n个9 n个9的所有约数一位截断作差：11两位截断作差：101数差三位截断作差：1001,7,11,13n 位截断作差：10 01

13、，及10 01的所有约数 n 1个0 n 1个05、约数倍数（1）约数个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的和的乘积。如:1400 严格分解质因数之后为 23 52 7 ，所以它的约数有 3 1 2 1 1 1 24个；（2）约数和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如： 21000 23 3 53 7，所以 21000 所有约数的和为(1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 748802

14、3 2 3（3）求最大公约数与最小公倍数主要方法：短除法、分解质因数法、辗转相除法（4） ab a,b a,b 6、余数三大定律（1）余数的加法定律：和的余数等于余数的和的余数；（2）余数的减法定律：差的余数等于余数的差；（特别的余数相同称为同余）（3）余数的乘法定律：积的余数等于余数的积的余数；7、完全平方数0 0 102 100 202 400 302 900 402 1600 特殊平方数21 1 112 121 212 441 312 9612412 1681122 144 212 44122 4 122 144 222 48432 1024 422 1764 132 169 312 9

15、6123 9 132 169 232 529 332 1089 432 1849 332 1089 992 98012接近 2016 平方数：42 16 142 196 242 576 342 1156 442 19365 25 152 225 252 625 352 1225 452 20252452 20256 36 162 256 262 676 362 1296 462 21162第一个四位平方数：7 49 172 289 272 729 372 1369 472 2209232 102428 64 182 324 282 784 382 1444 482 2304292 81 192

16、 361 292 841 392 1521 492 24010、1、4、5、6、9 个位奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数十位是奇数 个位是 6 十位个位是 5 十位是 2奇约数 完全平方数 奇数个约数偶指数 完全平方数 质因数指数是偶数0、1 （mod 3）（mod 4） 0、1偶数的平方是 4 的倍数;奇数的平方除以 4 余 10、1、4 （mod 5） 余数（mod 8） 0、1、4奇数的平方除以 8 余 1;偶数的平方除以 8 余 0 或 40、1、4、7 （mod 9）0、1、4、9 （mod 16）整除性 如果质数 p 能整除a ，但 p 的平方不能整除a ，则a 不是完全

17、平方数连续性 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数8、进位制：（1）其他进制转 10 进制，位值原理展开，例 123 1 6 2 6 3 6 516 2 1 0 （2）10 进制转其他进制，短除，倒取余数。应用题板块一、归一、归总问题正归一：总工作量=每份工作量份数反归一：份数=总工作量每份工作量每份工作量=总工作量份数二、和差倍1、和差问题：已知： 较大的数-较小的数=两数的差较大的数+较小的数=两数的和那么我们可以求出：较小的数 = (和 差)2较大的数 = (和 + 差)22、和倍问题已知： 较大的数+较小的数=两数的和较大的数=倍数较小的数那么我们可以求出：较小的数=

18、和(倍数+1)较大的数=较小的数倍数 或 较大的数=和-较小的数3、差倍问题已知： 较大的数-较小的数=两数的差较大的数=倍数较小的数那么我们可以求出：较小的数=差(倍数1)较大的数=倍数较小的数 或 较大的数=和-较小的数三、盈亏问题1、盈亏型： (盈 亏) 两次分得之差 人数或单位数2、盈盈型： (盈 盈) 两次分得之差 人数或单位数3、亏亏型： (亏 亏) 两次分得之差 人数或单位数四、鸡兔同笼问题常用方法：假设法，方程总差 单位差 = 单位数五、平均数问题平均数 总数量总份数六、页码问题19 页：1 9 9个数码1099 页： 2 90 180个数码七、植树问题通用公式：全长 株距 段

19、数1、不封闭的植树路线. 两端都植树： 段数 = 棵数 1 一端植树： 段数 棵数 两端都不植树：段数 = 棵数 + 12、封闭的植树路线：圆、正方形、长方形、闭合曲线等棵数 段数 周长 株距.八、方阵问题通用公式：每层总数 = 每边人（或物）数 - 14每边人（或物）数 每层总数 4 11、实心方阵： 总数 = 最外层每边人（或物）数 22、空心方阵：总人（或物）数 （最外层每边人（或物）数 层数） 层数 4 （最外层 人（或 物）数 最内层人（或物）数） 层数 2九、牛吃草问题思路：假设 1 头牛 1 天吃草量为“1”；草长型：第一步：草生长速度 (较少牛数 较多天数 较多牛数 较少天数)

20、 (较多天数 较少天数)；第二步：原来的草量 （牛数 草的生长速度） 天数；第三步：天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度)；牛数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度草减型：第一步：草减少速度 (较多牛数 较少天数 较少牛数 较多天数) (较多天数 较少天数)；第二步：原来的草量 （牛数草的生长速度） 天数；第三步：天数 原来的草量 (牛数草的减少速度)；牛数 原来的草量 天数草的减少速度十、工程问题思路：工作总量一般抽象成单位“1”常用公式： 工作总量=工作效率工作时间，工作效率=工作总量工作时间，工作时间=工作总量工作效率；十一、经济问题常用公式： 售价 成本 利润利润率利润 售价 成

21、本 100% 100%成本 成本售价 成本 （ 利润率） 1 成本 售价利润率 1 利息=本金利率期数；十二、浓度问题溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量浓度溶质质量溶液质量100% =溶质质量溶质质量+溶剂质量100溶质质量=溶液质量浓度十字交叉法（令 A 溶液浓度大于 B 溶液浓度）：几何板块1、角：（1）锐角、直角、钝角、劣角、平角、优角、周角（2）内角： n 边形内角和180 n 2 度，正 n 边形内角 180 n 2度n（3）外角：凸多边形外角和均为 360（4）常用：等腰三角形两底角相等；直角 90；正三角形每个角 60；等腰直角三角形底角452、一笔画与多笔画：（1）偶点、奇点：

22、一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点，相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点（2）对于连通图形：有 0 个奇点，可以从任意点出发一笔画成并回到该点结束；有 2 个奇点，可以一笔画，但是必须从一个奇点出发，另一个奇点结束；有 2n n 0 个奇点，需 n 笔画（3）多笔画变一笔画：在两奇点之间添线或去线3、周长：（1）公式：长方形： C a b 2；正方形： C 4a ；圆：C 2 r d n弧：l r 180 （2）巧求周长：平移、拉角、标向（3）周长拼割：每剪一刀增加两条拼接处的边长，每拼一次减少对应拼接处的两条边长4、面积：（1）公式：长方形： S ab，正方形： S a2三角形： 1S ah 2