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机组组合问题
A题机组组合问题
摘要
随着国民经济的快速发展，每天对用电量的需求越来越大，而且存在明显的峰谷效应。
为了实现电力供需的平衡，并最合理的利用发电资源，需要预先对发电机组的启停和出力进行调度安排。
本文通过对负荷平衡、输电线传输容量限制等实际情况进行约束，建立机组组合优化模型，追求发电成本最小。
对于问题1，我们首先建立发电成本最小目标函数和各项约束条件的数学表达式，其中机组空载成本和增量成本之和随该机组发电出力增长呈分段线性关系，然后利用相应约束条件对目标函数进行约束，得出求解3母线系统问题的优化模型，用Lingo软件进行求解，得出最优机组组合计划及对应最小发电成本。
机组G1始终在运行，各小时的发电出力分别为100MW,100MW,110MW,140MW；机组G2在第2小时和第3小时运行，对应发电出力分别为30MW,60MW。
此时的总成本为6680￥。
对于问题2，在问题1的基础上，还需要满足机组的稳定运行出力约束，启动停运时的出力约束、最小停运及运行时间约束等，目标函数和其余约束条件同问题1，仍可利用Lingo软件对该问题的优化模型进行求解，得其最优机组组合计划及相应最小发电成本。
机组G1仍是始终在运行，各小时的发电出力分别为100MW,110MW,110MW,100MW；机组G2在第2，3，4小时运行，对应发电出力分别为20MW,60MW,40MW。
此时的总成本为6820￥。
对于问题3，通过IEEE118系统对问题2的模型进行测试，利用遗传算法对模型进行求解，可得出24小时的最优机组组合计划及对应总成本。
最后，对模型的优缺点进行分析，并作了相应的推广。
关键词：
机组组合优化模型遗传算法
一、问题的提出
当前的科学技术还不能有效地存储电力，所以电力生产和消费在任何时刻都要相等，否则就会威胁电力系统安全运行。
为了能够实时平衡变化剧烈的电力负荷，电力部门往往需要根据预测的未来电力负荷安排发电机组起停计划，在满足电力系统安全运行条件下，追求发电成本最小。
在没有电力负荷损耗以及一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变的前提下，假定所有发电机组的发电成本都是由3部分组成，它们是启动成本，2.空载成本和增量成本。
需要考虑的约束有：
负荷平衡约束、系统备用约束、输电线路传输容量约束、发电机组出力范围约束、机组增出力约束和机组降出力约束。
问题1：
3母线系统
有一个3母线系统，其中有2台机组、1个负荷和3条输电线路，已知4个小时的负荷和系统备用要求。
请求出这4个小时的最优机组组合计划。
最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。
图13母线系统接线示意图
问题2：
3母线系统
在问题1的基础上，考虑发电机组的下列物理特性约束：
发电机组的稳定出力范围约束、机组启动时的出力约束、机组停运时的出力约束、机组最小运行时间约束和机组最小停运时间约束，重新制定最优机组组合计划。
问题3：
IEEE118系统
用IEEE－118节点的电力系统对问题2的求解模型进行测试，试求出24个小时的最优机组组合计划。
最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。
二、问题的分析
随着国民经济的快速发展，每天对用电量的需求越来越大，而且存在明显的峰谷效应。
为了实现电力供需的平衡，并最合理的利用发电资源，预先对发电机组的启停和出力进行调度安排就是非常必要的。
机组优化组合和优化启停就是要在满足约束条件的情况下，优化地选定各时段参加运行的机组，求出机组的最佳运行方案，实现发电成本最小。
该机组组合问题是一个多变量、多约束的混合整数非线性规划问题。
对于问题1中的3母线系统问题，可分别对其目标函数和约束条件分别讨论分析，需满足负荷平衡约束、系统备用约束、输电线路传输容量约束、发电机组出力范围约束、机组增出力约束和机组降出力约束等。
而其目标函数是使发电总费用最小，可利用Lingo软件来求解该优化问题。
对于问题2，在问题1的基础上进行了进一步的讨论，还需要满足机组的稳定运行出力约束，启动停运时的处理约束、最小停运及运行时间约束等，目标函数与问题1相同，仍然是使总费用最小，同样可建立优化模型进行求解。
对于问题3，用IEEE—118节点的电力系统对问题2的求解模型进行测试，由于该问题属于大规模机组组合问题，可使用遗传算法进行求解，从而得出最优机组组合计划。
三、模型的假设
1）一个小时之内发电机发电出力和电力负荷均保持不变。
2）输电线路不存在电能的损耗。
3）3母线系统空载成本和增量成本之和随发电出力呈分段线性增长。
4）除题目所给的约束外，不受其它无关因素的影响。
四、符号的约定
机组i在t时段的发电出力
t时段的系统备用要求
机组i在t时段的运行状态，
机组i在t时段的空载成本和增量成本之和
机组i的启动成本
负荷j在t时段的负荷量
机组i的最大出力
机组i的最小稳定运行出力
t时段母线
上的注入功率
t时段第k根输电线路上流过的电能
第k根输电线路最大传输容量
第k根输电线路第l条母线的线性转移因子
机组i的最大增出力
机组i的最大减出力
Y
总成本
机组i的最小运行时间
机组i的最小停运时间
m
负荷数
n
机组台数
T
所研究的计划周期
N
母线数
M
输电线路数
i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;k=1,2,…,M;l=0,1,…,N;t=1,2,…,T
五、模型的建立与求解
5.13母线系统Ⅰ模型的建立及求解
5.1.1成本分析
机组组合是一个最优化问题，即在一定的约束条件下，确定某些可控制的合理取值，使选定的目标达到最优的问题[1]。
发电机组的成本包括启动成本、空载成本和增量成本三部分组成。
1）启动成本：
当机组从停运状态（不发电）变为运行状态（发电）时发生的成本。
2）空载成本：
只要机组处于运行状态，就会发生的成本。
3）增量成本：
与该机组发电量有关的成本。
发电机组的发电成本如下表1所示
表1机组成本（所有小时都相同）
机组
启动成本（￥）
空载成本（￥）
增量发电量（MWh）
增量成本（￥/MWh）
G1
350
100
100,100
10,14
G2
100
200
60,40
12,15
则该发电机组的空载成本和增量成本如图2所示。
G1：
当该机组的发电出力在[0,100]MW时范围时，每MWh的成本为10￥/MWh；
当该机组的发电出力在[100,200]MW时范围时，每MWh的成本为14￥/MWh。
G2：
当该机组的发电出力在[0,60]MW时范围时，每MWh的成本为12￥/MWh；
当该机组的发电出力在[60,100]MW时范围时，每MWh的成本为15￥/MWh。
图2空载成本和增量成本之和随该机组发电出力增长走势图
由上图可知，机组G1和机组G2在t（t=1,2,3,4）时段的的成本特性可表示为G1：
（1）
G2：
（2）
若用
表示机组i在t时段的运行状态，其中
表示运行，
表示停止，则
表示机组i在t-1时段的运行状态。
所以启动成本可表示为
（3）
其中
为机组i的启动成本。
由题意知，
总成本=启动成本+空载成本+增量成本
设所研究的计划周期为
，机组台数为
，则总成本Y可表示为
（4）
5.1.2约束条件分析
1）负载平衡约束：
任何小时，电力负荷之和必须等于发电机发出电力出力之和。
即
（5）
其中，
为负荷j在t时段的负荷量，m为负荷数。
该问题负荷L见下表2
表2Bus2负荷L
小时
1
2
3
4
L（MW）
100
130
170
140
2）系统备用约束：
发电机的备用容量为处于运行状态的发电机的最大发电能力减去其出力，其中处于停运状态的发电机的备用容量为0。
任何小时，发电机的容量之和必须大于系统备用要求。
即在t时段，
（6）
其中，
为机组i的最大出力，
为t时段的系统备用要求，如表3
表3系统备用要求
小时
1
2
3
4
备用（MW）
20
30
50
40
3）输电线路传输容量约束：
线路传输的电能必须在它的传输容量范围内。
线路k上流过的电能为
，（7）
其中，
为t时段母线
（busl）上的注入功率，
为第k根输电线路第l条母线的线性转移因子，
为t时段第k根输电线路上流过的电能，且k=1表示线路0-1，k=2表示线路0-2，k=3表示线路1-2。
线性转移因子如表4。
表4线性转移因子表
bus0
bus1
bus2
line-1
0
-0.6667
-0.3333
line-2
0
-0.3333
-0.6667
line-3
0
0.3333
-0.3333
由于线路传输的电能不能大于其最大传输容量，又知线路上的电流是有方向的，故
（8）
所以
（9）
其中
为第k根输电线路最大传输容量，见表5。
表5输电线路最大传输容量（所有小时都相同）
线路
line-1
line-2
line-3
线路容量（MW）
200
100
200
4）发电机组出力范围约束：
处于运行状态的发电机组i的发电出力必须小于其最大发电能力。
即
（10）
5）机组增降出力约束：
发电机组在增加发电出力时，增加出力的速度要小
于其最大增出力；发电机组在减少发电出力时，减少出力的速度要小于其最大减出力。
即
（11）
其中
为机组i的最大增出力，
为机组i的最大减出力。
机组G1和机组G2的物理特性及初始状态分别见表6和表7。
表6机组物理特性
机组
所在母线
最大出力（MW）
最大增出力（MW/h）
最大减出力（MW/h）
G1
Bus0
200
30
50
G2
Bus1
100
40
60
表7机组初始状态
机组
状态小时数
兆瓦（MW）
G1
运行2小时
100
G2
关机3小时
0
5.1.3模型的建立及求解
机组组合的目的是针对在指定的周期内，满足系统负荷、备用容量、发电出力、传输容量、增降出力等限制，优化确定各机组的启停机计划和优化分配其发电负荷，使发电总费用最小。
因此，要以机组的费用最小为依据建立相应的目标函数[3]。
故该3母线系统优化模型可建立如下：
（12）
用Lingo程序求解[3]（见附录1），可得结果如表8
表83母线系统Ⅰ的最优机组组合计划
发电机组
G1
G2
小时
1
状态
运行
停运
发电出力（MW）
100
0
备用容量（MW）
100
0
2
状态
运行
运行
发电出力（MW）
100
30
备用容量（MW）
100
70
3
状态
运行
运行
发电出力（MW）
110
60
备用容量（MW）
90
40
4
状态
运行
停运
发电出力（MW）
140
0
备用容量（MW）
60
0
总成本（￥）
6680
5.23母线系统Ⅱ模型的建立及求解
在问题1的基础上，考虑发电机组的下列物理特性约束，重新制定最优机组组合计划。
1）发电机组的稳定出力范围约束：
处于运行状态的发电机组i的发电出力必须大于其最小稳定运行出力，即发电机组不能在[0，pimin]出力范围内稳定运行。
故
（13）
其中，
为机组i的最小稳定运行出力。
2）机组启动和停运时的出力约束：
当机组从停运状态变为运行状态时，机组在该小时的发电出力必须为其最小稳定运行出力
，即运行状态的第一个小时出力必须为
。
故当
时，
（14）
当机组从运行状态变为停运状态时，机组在该小时的发电出力必须为其最小稳定运行出力
，即运行状态的第一个小时出力必须为
。
故当
时，
（15）
3）机组最小运行时间约束：
由表1和表7可知，机组G1的启动成本远高于G2，且增量发电量一定时的增量成本又低于G2，又已知机组G1已在运行，故在时间较短时，应避免使G1的停运和再次启动。
从问题一中不难看出，当费用最小时机组G1在各时段的状态均为运行，且其发电出力基本满足出力约束，所以该问题中不必对其运行的时间作限制。
当机组2在t时段停止且在t-1时段运行时
（16）
其中，
为机组i的最小运行时间。
否则
（17）
所以
（18）
4）机组最小停运时间约束：
当机组i在t时段运行且在t-1时段停止时
（19）
其中，
为机组i的最小停运时间。
否则
（20）
所以
（21）
机组G1和机组G2的物理特性（补充）见表9，
表9机组物理特性（补充）
机组
最小出力（MW）
最小运行时间（h）
最小停运时间（h）
G1
50
2
1
G2
20
2
1
目标函数和其它约束条件同问题1，故该3母线系统优化模型建立如下:
（22）
用Lingo程序求解[3]（见附录2），可得结果如表10
表103母线系统Ⅱ的最优机组组合计划
发电机组
G1
G2
小时
1
状态
运行
停运
发电出力（MW）
100
0
备用容量（MW）
100
0
2
状态
运行
运行
发电出力（MW）
110
20
备用容量（MW）
90
80
3
状态
运行
运行
发电出力（MW）
110
60
备用容量（MW）
90
40
4
状态
运行
运行
发电出力（MW）
100
40
备用容量（MW）
100
60
总成本（￥）
6820
5.3IEEE118系统模型的建立及求解
由于该问题中的机组规模较大，可采用二次函数对空载成本和增量成本曲线参数进行拟合，机组i在t时段的曲线方程为
其中
，
，
分别为曲线方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
同问题二，该IEEE118系统的数学模型如下：
（23）
可利用模拟退火算法对该模型进行测试，该算法的流程图如图3
图3遗传算法流程图
六、模型的评价
6.1模型的评价
6.1.1模型的优点
1）该问题对目标函数和约束条件分析透彻，采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
2）利用Lingo编程的方法对模型严格求解，具有科学性。
3）本文建立的模型与实际联系紧密，模型求解简便，可适用于其它类似的问题，通用性、推广性较强。
6.1.2模型的缺点
1）该问题中把空载成本和增量成本之和随发电出力的变化看成线性增长，因此计算误差可能较大；
2）该问题对机组发电出力的安排过于理想化，与现实情况存在一定的差距。
参考文献
[1]姜启源等．数学模型．北京：
高等教育出版社，2003
[2]吴建国．数学建模案例精编．北京：
中国水利水电出版社，2005
[3]谢金星等．优化建模与LINDO/LINGO软件．北京：
清华大学出版社，2005
附录
附录1求解3母线系统Ⅰ的Lingo程序
min=x11*（1-x10）*z1+x12*（1-x11）*z1+x13*（1-x12）*z1+x14*（1-x13）*z1+x21*（1-x20）*z2+x22*（1-x21）*z2+x23*（1-x22）*z2+x24*（1-x23）*z2+x11*y11+x12*y12+x13*y13+x14*y14+x21*y21+x22*y22+x23*y23+x24*y24;
100=x11*p11+x21*p21;130=x12*p12+x22*p22;
170=x13*p13+x23*p23;140=x14*p14+x24*p24;
x11*（200-p11）+x21*（100-p21）>20;x12*（200-p12）+x21*（100-p22）>30;
x13*（200-p13）+x23*（100-p23）>50;x14*（200-p14）+x24*（100-p24）>40;
-0.6667*x21*p21+0.3333*100<=200;-0.6667*x21*p21+0.3333*100>=-200;
-0.3333*x21*p21+0.6667*100<=100;-0.3333*x21*p21+0.6667*100>=-100;
0.3333*x21*p21+0.3333*100<=200;0.3333*x21*p21+0.3333*100>=-200;
-0.6667*x22*p22+0.3333*130<=200;-0.6667*x22*p22+0.3333*130>=-200;
-0.3333*x22*p22+0.6667*130<=100;-0.3333*x22*p22+0.6667*130>=-100;
0.3333*x22*p22+0.3333*130<=200;0.3333*x22*p22+0.3333*130>=-200;
-0.6667*x23*p23+0.3333*170<=200;-0.6667*x23*p23+0.3333*170>=-200;
-0.3333*x23*p23+0.6667*170<=100;-0.3333*x23*p23+0.6667*170>=-100;
0.3333*x23*p23+0.3333*170<=200;0.3333*x23*p23+0.3333*170>=-200;
-0.6667*x24*p24+0.3333*140<=200;-0.6667*x24*p24+0.3333*140>=-200;
-0.3333*x24*p24+0.6667*140<=100;-0.3333*x24*p24+0.6667*140>=-100;
0.3333*x24*p24+0.3333*140<=200;0.3333*x24*p24+0.3333*140>=-200;
p11<200;p21<100;p12<200;p22<100;p13<200;p23<100;p14<200;p24<100;
x11*p11-x10*p10>=-50;x11*p11-x10*p10<=30;
x21*p21-x20*p20>=-60;x21*p21-x21*p20<=40;
x12*p12-x11*p11>=-50;x12*p12-x11*p11<=30;
x22*p22-x21*p21>=-60;x22*p22-x21*p21<=40;
x13*p13-x12*p12>=-50;x13*p13-x12*p12<=30;
x23*p23-x22*p22>=-60;x23*p23-x22*p22<=40;
x14*p14-x13*p13>=-50;x14*p14-x13*p13<=30;
x24*p24-x23*p23>=-60;x24*p24-x23*p23<=40;
y11=（10*p11+100）*（（p11#ge#（-0.1））#and#（100.1#ge#p11））+（14*p11-300）*
（（p11#ge#100.1）#and#（200#ge#p11））;
y12=（10*p12+100）*（（p12#ge#（-0.1））#and#（100.1#ge#p12））+（14*p12-300）*
（（p12#ge#100.1）#and#（200#ge#p12））;
y13=（10*p13+100）*（（p13#ge#（-0.1））#and#（100.1#ge#p13））+（14*p13-300）*
（（p13#ge#100.1）#and#（200#ge#p13））;
y14=（10*p14+100）*（（p14#ge#（-0.1））#and#（100.1#ge#p14））+（14*p14-300）*
（（p14#ge#100.1）#and#（200#ge#p14））;
y21=（12*p21+200）*（（p21#ge#（-0.1））#and#（60.1#ge#p21））+（15*p21+20）*
（（p21#ge#60）#and#（100#ge#p21））;
y22=（12*p22+200）*（（p22#ge#（-0.1））#and#（60.1#ge#p22））+（15*p22+20）*
（（p22#ge#60.1）#and#（100#ge#p22））;
y23=（12*p23+200）*（（p23#ge#（-0.1））#and#（60.1#ge#p23））+（15*p23+20）*
（（p23#ge#60.1）#and#（100#ge#p23））;
y24=（12*p24+200）*（（p24#ge#（-0.1））#and#（60.1#ge#p24））+（15*p24+20）*
（（p24#ge#60.1）#and#（100#ge#p24））;
@bin（x11）;@bin（x12）;@bin（x13）;@bin（x14）;@bin（x21）;
@bin（x22）;@bin（x23）;@bin（x24）;
x10=1;x20=0;z1=350;z2=100;p10=100;p20=0;
结果：
Localoptimalsolutionfoundatiteration:
1381
Objectivevalue:
6679.800
VariableValueReducedCost
X111.0000000.000000
X101.0000000.000000
Z1350.00000.000000
X121.0000000.000000
X131.0000000.000000
X141.0000000.000000
X210.0000000.000000
X200.0000000.000000
Z2100.00000.000000
X221.0000000.000000
X231.0000000.000000
X240.0000000.000000
Y111100.0000.000000
Y121100.9990.000000
Y131240.0000.000000
Y141660.0000.000000
Y211520.0000.000000
Y22558.80060.000000
Y23920.00000.000000
Y24204.60550.000000
P11100.00000.000000
P21100.00000.000000
P12100.09990.000000
P2229.900050.000000
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