第三章空间向量与立体几何知识点据福建考试说明.docx
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第三章空间向量与立体几何知识点据福建考试说明
第三章空间向量与立体几何
福建《2012年高考数学考试说明》16.空间向量与立体几何
（1空间向量及其运算
①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（2空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量.
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理.
④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用.
剖析:
一、1.空间向量的概念:
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注:
（1
（2向量具有平移不变性
2.空间向量基本定理:
如果三个向量,,abc
不共面,那么对空间任一向量
p
存在一个唯一的有序实
数组,,xyz,使pxaybzc=++
。
若三向量,,abc不共面,我们把{,,}abc
叫做空间的一个基底,,,abc
叫做基向量,空间任意
三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论:
设,,,OABC是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数
,xyz
使OPxOAyOBzOC
=++。
3.空间向量的直角坐标系:
（1空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系
Oxyz
-中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组
（,,
xyz,使
zk
yixiOA++=,有序实数组（,,xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz-中的坐标,记
作（,,Axyz,x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。
注:
①点A（x,y,z关于x轴的的对称点为（x,-y,-z,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z.即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均
相反。
②在y轴上的点设为（0,y,0,在平面yOz中的点设为（0,y,z（2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位
正交基底,用
{,,}ijk表示
。
空间中任一向量
k
zjyixa++==（x,y,z
4.空间向量的线性运算。
定义:
与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图。
OBOAABab=+=+;BAOAOBab
=-=-;
（OPaRλλ=∈
运算律:
⑴加法交换律:
abba
+=+
⑵加法结合律:
（（cbacba
++=++
⑶数乘分配律:
baba
λλλ+=+（
运算法则:
三角形法则、平行四边形法则5.空间向量的在空间直角坐标系中的运算公式:
若123（,,aaaa=
123（,,bbbb=,则:
加:
112233（,,abababab+=+++
减:
112233（,,abababab-=---
数与向量相乘:
123（,,（
aaaaRλλλλλ=∈
向量与向量相乘:
112233abababab⋅=++
两个向量平行（共线:
112233
//,,（ababababRλλλλ⇔===∈,abλ=两向量垂直:
112233
0abababab⊥⇔++=。
0abab⊥⇔⋅=向量在空间直角坐标系中的表示:
若
111（,,Axyz,222（,,Bxyz,
则212121（,,
ABxxyyzz=---
。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
模长公式:
若123（,,aaaa=,123（,,bbbb=
则||a=
=
||b==
夹角公式
:
cos||||
abababab
abab++⋅⋅=
=⋅
。
ΔABC中①0>∙ACAB<=>A为锐角②0<∙ACAB<=>A为钝角,钝角Δ
两点间的距离公式:
若111（,,Axyz,222（,,Bxyz,
则||AB=
=
或,ABd=
二、空间向量的应用
1、直线方向向量及平面的法向量（见书本2、线线平行⇔两线的方向向量平行
线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直面面平行⇔两面的法向量平行
线线垂直（共面与异面⇔两线的方向向量垂直线面垂直⇔线与面的法向量平行面面垂直⇔两面的法向量垂直
3、三垂线定理:
三线之间的关系,见书本4、线线夹角θ（共面与异面]90
0[O
O
⇔两线的方向向量2,1nn的夹角或夹角的补角,
><=2,1coscosnnθ
线面夹角θ]90
0[O
O
:
求线面夹角的步骤:
先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角,若为
锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,即是线面的夹角.>
<=nAP,cossinθ
面面夹角（二面角θ]180
0[O
O:
若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量2,1nn的
夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.
><±=21,coscosnnθ
同步导学中的基础练习
P53例2（1（2（3P541、3、4、7P55例2（1
P561、2、6、9P57例1、例2P58例3（11、3、10P601、2、4、8、10（1P61例1、例2P62-632、6、7P653P67例1、1P69例1
书本P126例2
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》基础训练题
一、选择题
1下列各组向量中不平行的是（
A4,4,2（,2,2,1（--=-=baB0,0,3（,0,0,1（-==dc
C0,0,0（,0,3,2（==fe
D40,24,16（,5,3,2（=-=hg
2已知点（3,1,4A--,则点A关于x轴对称的点的坐标为（
A4,1,3（--B4,1,3（---C4,1,3（D4,1,3（--
3若向量2,1,2（,2,,1（-==ba
λ,且a与b的夹角余弦为9
8,则λ等于（
A2B2-C2-或
55
22或55
2-
4若A1,2,1（-,B3,2,4（,C4,1,6（-,则△ABC的形状是（
A不等边锐角三角形直角三角形C钝角三角形D等边三角形
6空间四边形OABC中,OBOC=,3
AOBAOCπ
∠=∠=
则cos<,OABC
>的值是（
A
2
1
2
2C-
2
10
7.设a,b,c表示三条直线,βα,表示两个平面,下列命题中不正确的是（
A.⎭⎬⎫⊥βαα//aβ⊥⇒aB.cbacba⊥⇒⎪
⎭⎪⎬⎫
⊥内的射影在是内
在ββb
C.ααα////ccbc
b⇒⎪
⎭
⎪
⎬⎫
内不在内在D.αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥baba//
9若19
（0,2,
8A,5（1,1,8B-,5（2,1,8
C-是平面α内的三点,设平面α的法向量,,（zyxa=
则=zyx:
:
________________
A2:
3:
（
4
-B1:
1:
1C-2
1:
1:
1D3:
2:
4
10.如图:
在平行六面体1111DCBAABCD-中,M为11CA与11DB的交点。
若
ABa=,ADb=,1AAc=
则下列向量中与BM
相等的向量是（
（A1122abc-++（B1122abc++
（
C1122abc--+（Dcba+-2121二、填空题
1已知向量,2,4（,3,1,2（xba-=-=
若a⊥b,则=x______;若//ab则=x______
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