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1、第三章 空间向量与立体几何知识点据福建考试说明第三章 空间向量与立体几何福建 2012年高考数学考试说明 16.空间向量与立体几何(1空间向量及其运算 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (2空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理 . 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平

2、面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何 问题中的应用.剖析:一、 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:(1(2向量具有平移不变性2. 空间向量基本定理:如果三个向量 , , a b c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组 , , x y z ,使 p xa yb zc =+。若三向量 , , a b c 不共面,我们把 , , a b c叫做空间的一个基底, , , a b c叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论:设 , , , O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数,

3、, x y z,使 O P xO A yO B zO C=+ 。3. 空间向量的直角坐标系: (1空间直角坐标系中的坐标: 在 空 间直 角 坐标 系O xyz-中 ,对 空 间任 一点 A , 存 在 唯一 的 有序 实数 组(, , x y z , 使zkyi x i OA +=,有序实数组 (, , x y z 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz -中的坐标,记作 (, , A x y z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。注:点 A (x,y,z 关于 x 轴的的对称点为 (x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称 点为 (x,y,-z.即点关于什么轴 /平面对

4、称,什么坐标不变,其余的分坐标均 相反。在 y 轴上的点设为 (0,y,0,在平面 yOz 中的点设为 (0,y,z (2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为 1,这个基底叫单位正 交 基 底 , 用, , i j k 表 示。 空 间 中 任 一 向 量kz j y i x a +=(x,y,z 4. 空间向量的线性运算。定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图 。 OB OA AB a b =+=+ ; BA OA OB a b=-=- ;( O P a R =运算律:加法交换律:a b b a+=+加法结合律: ( (c b a c b a+=+数乘分配

5、律:b a b a+=+ (运算法则:三角形法则、平行四边形法则 5. 空间向量的在空间直角坐标系中的运算公式:若 123(, , a a a a =, 123(, , b b b b = ,则:加 :112233(, , a b a b a b a b +=+,减 :112233(, , a b a b a b a b -=-,数与向量相乘 :123(, , (a a a a R =,向量与向量相乘 :112233a b a b a b a b =+,两个向量平行(共线 :112233/, , ( a b a b a b a b R = , a b = 两向量垂直:1122330a b a

6、b a b a b += 。 0a b a b = 向量在空间直角坐标系中的表示 :若111(, , A x y z , 222(, , B x y z ,则 212121(, , AB x x y y z z =-。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。模长公式:若 123(, , a a a a = , 123(, , b b b b =,则 |a =, |b = 夹角公式:cos |a b a b a b a ba b a b +=。 ABC 中 0AC AB A为锐角 0AC AB A为钝角,钝角 两点间的距离公式 :若 111(, , A

7、x y z , 222(, , B x y z ,则 |AB =, 或 , A B d = 二、空间向量的应用1、直线方向向量及平面的法向量(见书本 2、线线平行 两线的方向向量平行线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行 两面的法向量平行线线垂直(共面与异面 两线的方向向量垂直 线面垂直 线与面的法向量平行 面面垂直 两面的法向量垂直3、三垂线定理 :三线之间的关系,见书本 4、 线 线 夹 角 (共 面 与 异 面 90, 0OO两 线 的 方 向 向 量 2, 1n n 的 夹 角 或 夹 角 的 补 角 ,=21, cos cos n n 同步导学中的基础练习P 53 例 2

8、(1 (2 (3 P 54 1、 3、 4、 7 P 55 例 2 (1P 56 1、 2、 6、 9 P 57 例 1、例 2 P 58 例 3 (1 1、 3、 10 P 60 1、 2、 4、 8、 10(1 P 61 例 1、例 2 P 62-63 2、 6、 7 P 65 3 P 67 例 1、 1 P 69 例 1书本 P 126 例 2选修 2-1第三章空间向量与立体几何基础训练题一、选择题1 下列各组向量中不平行的是( A 4, 4, 2(, 2, 2, 1(-=-=b a B 0, 0, 3(, 0, 0, 1(-=d cC 0, 0, 0(, 0, 3, 2(=f eD 4

9、0, 24, 16(, 5, 3, 2(=-=h g2 已知点 (3,1, 4 A -,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A 4, 1, 3(- B 4, 1, 3(- C 4, 1, 3( D 4, 1, 3(-3 若向量 2, 1, 2(, 2, , 1(-=b a,且 a 与 b 的夹角余弦为 98,则 等于( A 2 B 2- C 2-或552 2或 552-4 若 A 1, 2, 1(-, B 3, 2, 4(, C 4, 1, 6(-,则 ABC 的形状是( A 不等边锐角三角形 直角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形6 空间四边形 O A B C 中, O B O C

10、 =, 3A O B A O C =,则 cos 的值是( A2122 C -21 07. 设 a , b,c 表示三条直线, , 表示两个平面,下列命题中不正确的是( A . /a a B . c b a c b a 内的射影 在 是 内在 bC . /c c b cb 内 不在 内 在 D . b a b a /9 若 19(0,2,8A , 5(1,1, 8B -, 5(2,1, 8C -是平面 内的三点,设平面 的法向量 , , (z y x a =,则 =z y x :_A 2:3:(4- B 1:1:1 C - 21:1:1 D 3:2:4 10. 如图:在平 行六面 体 1111D C B A ABCD -中, M 为 11C A 与 11D B 的交点。若A B a = , AD b = , 1A A c =,则下列向量中与 BM相等的向量是( ( A 1122a b c -+ ( B 1122a b c +(C 1122a b c -+ ( D c b a +-2121 二、填空题1 已知向量 , 2, 4(, 3, 1, 2(x b a -=-=,若 a b ,则 =x _;若 /a b 则 =x _