数论中的基础概念.docx
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数论中的基础概念
1群、环、域概念
A1:
加法的封闭性：
如果a和b届于G,则a+b也届于G
A2：
加法结合律：
对G中的任意元素a,b,c,a+（b+c）=（a+b）+c
A3:
加法单位元：
G中存在一个元素0,使得对于G中的任意元素a,有a+0=0+a
A4:
加法逆元：
对于G中的任意元素a,G中一定存在一个元素a,使得
a+（-a）=（-a）+a=0
A5:
加法交换律：
对于G中的任意元素a和b,有a+b=b+a
M1：
乘法的封闭性：
如果a和b届于G,则ab也届于G
M2：
乘法结合律：
对于G中的任意元素a,b,c有a（bc）=（ab）c
M3:
乘法分配了：
对于G中的任意元素a,b,c,有a（b+c）=ab+ac和（a+b）c=ac+bc
M4：
乘法交换律：
对于G中的任意元素a,b有ab=ba
M5:
乘法单位元：
对于G中的任意元素a,在G中存在一个元素1,使得a1=1a=a
M6:
无零因子：
对于G中的元素a,b,若ab=0,则必有a=0或b=0
M7：
乘法逆元：
如果a届于G,且a不为0,则G中存在一个元素a1,使得
aa1a1a1
满足A1---A4称为群
满足A1---A5称为可交换群
满足A1---M3称为环
满足A1---M4称为可交换换
满足A1---M6称为整环
满足A1---M7称为域
2循环群：
如果群中的每一个元素都是一个固定元素a（aG）的籍ak（k为整数），
则称群G是循环群。
我们认为元素a生成了群G,或者说a是群G的生成元。
循环群总是交换群
3模运算
（amodn）（bmodn）则称整数a和b是模n同余的，可以表小为：
ab（modn）
若b整除a。
则用符号：
b|a表示。
其性质可表示如下：
1如果a|1,那么a=-1或1。
2如果a|b，且b|a,那么a=b或a=-b
3任何不等于零的数整除0
4如果b|g且b|h，那么对任意整数m,n都有b|（mg+nh
证明性质④：
如果b|g，那么gbgi,g为整数。
如果b|h，那么hb^1,h为整数。
于是：
mgnhmbginbhib（mginhi）因此b整除mg+nh.
同余的性质：
1如果n|（a-b）,，那么abmodn
2abmodn隐含bamodn
3abmodn,bcmodn隐含acmodn
性质1证明:
如果n|（ab）,那么k,k为整数。
使得abkn,
即得abmodn。
性质2证明：
由abmodn得：
（amodn）（bmodn）即k〔,k2,rZ,满足
ak1nr……①bk2nr
由①可推出ba（k2k〔）n,由性质1可知bamodn成立
则得证。
性质3证明：
由性质2证明过程知：
k1,k2,k3,rZ满足：
ba（k2k1）n
cb（k3k2）n
由②可以推出ac（k1k2）n，由性质1可知acmodn
模算术运算有如下性质:
1amodnbmodnmodnabmodn
2amodn-bmodnmodna-bmodn
3amodnbmodnmodnabmodn
性质1证明:
那么有：
abmodnrajnrbknmodnrarbjknmodnrarbmodnamodnbmodnmodn
即得证
性质2证明:
那么有：
a-bmodnrajn-rb-knmodnra-rbj-knmodnra-rbmodn
amodn-bmodnmodn
性质3证明：
前半段证明如上，
abmodnrarbrbjnraknjkn2modn
2rarbrbjraknjknmodn
rarbmodn
amodnbmodnmodn
模n的剩余类。
Zn中每一个整数都代表一个剩余类，我们可以将模n的剩余类表示为：
[0],[1],[2],,[n1],其中[r]（a:
a是-一个整数，armodn｝。
如果abacmodn，那么bcmodn
若a与n互素,如果abacmodn，那么bcmodn
交换律：
w
w
xmodn（x
xmodn（x
w）modn
w）modn
结合律：
w
xymodn
（xwy）modn
w
xymodn
（wxy）modn
分配律：
w
xymodn
（wy）xy）modn
单位兀：
w
0modnwmodn
w
1modnwmodn
加法逆元（-w）:
对于Zn中的任意w,存在一个z使得wz0modn
加法逆元：
对每一个Zn,存在一个u,使得w+u=0modn,记为u=-w，显然在模n下,-w=n-wo
如果abmodn,cdmodn,贝U有
acbdmodn,
特例Jacbcmodn,
更一般式：
axcybxdymodn,x,yZ
acbdmodn
特例：
acbcmodn
fafbmodn其中f（x）为任意给定的一个整系数多项式
最大公约数:
gcd（a,b）max[k,满足k|a^k|b]
欧几里得算法：
对丁任意非负整数a和任意正整数b有gcd（a,b）gcd（b,amodb）
算法描述如下：
设整数ab0,EUCLID（a,b）
（1）Xa;Yb;
（2）如果Y=0，返回X=gcd（a,b）,否则继续；
（3）R=XmodY
（4）XY；
（5）YR；
（6）返回
（2）
扩展的欧几里得算法描述如下：
ExtendedEUCLID（a,n）
（1）Xi,X2,X31,0,n；Y1,Y2,Y30,1,a;
（2）如果Y30,返回X3gcd（a,n）,无逆元；否则继续；
（3）如果丫31,返回Y3gcd（a,n）;方a1modn；
（4）QX%；
（5）T1,T2,T3X1QY,X2QY2,X3QY3；
（6）X1,X2,X3Y1,Y2,Y3;
（7）Y1,Y2,Y3T1,T2,T3；
（8）返回
（2）。
有限域GF（P）:
阶为pn的有限域一般记为GFpn,GF代表伽罗瓦域。
给定一个素数p,元素个数为p的有限域GF（p）被定义为整数
0,1,,p-1的集合Zp,其运算为模p的算术运算。
没有落日般的瑰丽，没有流云般的飘逸，但可以有水晶般的清纯与透明。
没有大山般的巍峨，没有湖水般的轻柔，但可以有岩石般的坚毅与稳重。
没有大海般的浩瀚，没有瀑布般的飞泻，但可以有泥土般的朴素与随和。
乘法逆元-1:
任意Zp,0,存在zZp使得zImodp
求最大公因式：
我们可以通过定义最大公因式来扩展域上的多项式和整数运算之间的类比。
如果：
1.c（x）能同时整除a（x）和b（x）。
2.a（x）和b（x）的任何因式都是c（x）的因式。
就称多项式c（x）为a（x）和b（x）的最大公因式。
此定义等价定义与：
gcd[a（x）,b（x）]是能同时整数a（x）和b（x）的多项式中次数最高的一个。
多项式模运算：
如果定义了合适的运算，那么每一个这样的集合S都是一个有限域。
定义由
如下几条组成：
1.该运算遵循基本代数规则中的普通多项式运算规则
2.系数运算以P为模，即遵循有限域Zp上的运算规则
3.如果乘法运算结果是次数大于n-1的多项式，那么必须将其除以某个次数为n的既约多项式m（x）并取余式。
对于多项式f（x）,这个余式可表示为r（x）=f（x）modm（x）
素数
任意整数a1都可以惟一地因子分解为：
ap/p22?
七，，其中a,p2,pt均为素
数，pip2pt且指数皆为正整数。
费马定理：
p是素数，a是与p互素的正整数，则
ap11modp或者apamodp
显然有akakmod（p1）modp,kZ
欧拉函数：
欧拉函数n是一个定义在正整数集上的函数，n的值等于小于n
且与n互素的正整数的个数欧拉函数有性质如下：
1.如果n是素数，则nn-1
2.如果npq,p和q是素数，且p不等于q则
npqpqp1q1
欧拉定理：
对任何互素的两个整数a和n,有an1modn。
欧拉定理有如下推论。
1.n为素数时，有anan11modn,即费马定理。
2.由欧拉定理，有an1amodn进一步有akn1amodn,kZ
3.若n=pq,p和q是素数，p不等丁q,则有an1a（p1）（q1）1amodn。
4.若n=pq,p和q是素数,p不等丁q,而gcd（a,n）p或q，仍有an1amodn
中国剩余定理：
设正整数m1,m2,,mk两两互素，记Mmi,贝U同余
i1
x访modm1xb2modm2xbsmodm3
xbkmodmk
k
在模M同余的意义下，有唯一解x
biMiyimodM,其中:
i1
Mi一,1ir;yiMi1modmi,1ik
mi
如果a,n1,则至少有一个整数m（即mn）满足am1modn满足上式的最小正整数m为模n下a的阶（乂称次数）。
本原根：
如果a的阶等丁n,则称a为n的本原根（乂称素根）
性质：
如果a是n的本原根，贝Ua,a2,a3,,an在模n下互不相同，且均与n互素。
注意：
模n下的本原根并不具备唯一性，且并非所有的整数n都有本原根，只有
以下形式的整数才有本原根：
2,4,pa,2pa，其中a为整数，p为奇素数。
离散对数：
设p为以素数，a是p的本原根，则在模p下a,a2,a3,,ap1产生1到p-1之间的所
有值，且每一个值仅出现一次。
因此：
这样，模p下a的方藉运算为：
yaxmodp,1xp1
称x为模p下以a为底y的对数，记为：
xinda,py,1yp1
以上运算定义在模p有限域上的，所以称为离散对数运算。
性质：
1.inda,p1p1
2.inda,pa1
3.inda,pxyinda,pxinda,pymodp
4.inda,pxyyinda,pxmodp
5.若axaymodn，其中a,n互素，a是n的本原根，则有：
xymodn。
平方剩余：
设p是一素数，a小于p,如果方程x2amodp有解，称a是模p的平方剩余（也称二
次剩余），否则称为非平方剩余。
设p是素数，a是一整数，a是p的平方剩余的充要条件是：
ap121modp
a是p的非平方剩余的充要条件是：
ap12-1modp.
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