抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（?
用含m的代数式表示）．
（3）在条件
（2）的状况下，连结OM，BM，能否存在m的值，使△BOM的面积S最大若存在，恳求出若不存在，请说明原因．
y
x=m
N
OP
A
M
m的值，
y=x
B
x
同步练习
1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，?
点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线
L从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1?
个单位长度的速度挪动，设直线L与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线L的运动时间为ts（0≤t≤6），试求S与t?
的函数表达式；
（3）在
（2）的条件下，t为什么值时，S的面积最大最大面积是多少
2.正方形ABCD的边长为４，BE∥AC交DC的延伸线于E。
（1）如图１，连结AE，求△AED的面积。
（2）如图２，设P为BE上（异于B、E两点）的一动点，连结AP、CP，请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD
的面积有如何的大小关系并说明原因。
（3）如图３，在点P的运动过程中，过
P作PF⊥BC交AC于F，将正方形ABCD折叠，使点
D与点F重合，其折
线
与
的延伸线交于点
，以正方形的
、
为Ｘ轴、Ｙ轴成立平面直角坐标系，设点
Q
的坐标为（x，y），
MNPF
Q
BC
BA
求y与x之间的函数关系式。
3、如图，在矩形ABCD中，AB
9，
AD33，点P是边BC上的动点（点
P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，
再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求CQP的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上
（3）①求y与x之间的函数关系式；
7
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
27
Q
DCDCDC
P
ARBABAB
（备用图1）（备用图2）
二、存在性问题
（一）、因动点产生的直角三角形问题
例4．如图，对称轴为直线x
7
A（6，0）和B（0，4）．
的抛物线经过点
2
（1）求抛物线分析式及极点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写
出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF能否为菱形
②能否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形若存在，求出点E的坐标；若
不存在，请说明原因．
y7
x
2
B（0,4
）
F
OA（6,0x
E）
例5.如下图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC的长分剔为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.
（1）求抛物线的分析式；
（2）假如点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B挪动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向
点C挪动.
①挪动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S获得最小值时,在抛物线上能否存在点R,使得以P、B、Q、R为极点的四边形是平行四边形假如存在,
求出R点的坐标,假如不存在,请说明原因.
y
C
Ox
Q
A
P
B
1、已知抛物线yx2
4x
m与x轴订交于A，B两点（B点在A点的左侧），
与y轴的负半轴订交于点
C,AB6
（1）求抛物线的分析式；
y
（2）在抛物线上能否存在点
P，使△AOP≌△COP假如存在，请确立点
P的位
置，并求出点P的坐标：
假如不存在，请说明原因．
BO
A
x
A
C
2、如图,抛物线
yx
2
（1）
3
m
6
与x轴交于点
A、B两点，抛物线的对称轴为直线
x=1,
mx
（1）求m的值及抛物线的分析式；
（2）过A的直线与抛物线的另一交点C的横坐标为2.直线AC的分析式；
（3）点Q是抛物线上的一个动点,在x轴上能否存在点F,使得以点A、C、F、Q为极点四边形是平行四边形若存在，
恳求出全部知足条件的点
F的坐标；若不存在，请说明原因．
y
AO
Bx
QC
3、如图，已知二次函数yax22ax3的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交
于点
C
，其极点为
D
，直线
DC
的函数关系式为
y
kx3，又
tanOBC1
．
（1）求二次函数的分析式和直线DC的函数关系式；
（2）抛物线上能否存在一点P，使△PBC以BC为直角边的直角三角形若存，求出点P的坐标；若不存在，说明原因．
y
D
C
AOBx
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x=2,该抛物线与x轴交干A、B两点（B在A的右边）,
与y轴交于点C,且B、C的坐标分别为（3,0）、（0,3）.
（1）求此抛物线的分析式；
（2）抛物线上能否存在一点P，使△PAC是直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．
y
C
OABx
A
（三）、因动点产生的三角形相像问题
6
x
3
与
x
轴，
y
轴分别订交于点
B
，点C，经过
B，C
两
例．如图，直线y
点的抛物线yax2
bx
c与x
轴的另一交点为
A，极点为P，且对称轴是直线
x2．
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结AC．请问在x轴上能否存在点Q，使得以点P，B，Q为极点的三角
形与△ABC相像，若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明原因．
同步练习
1、如图，在直角坐标系中，
O为原点，抛物线yx2
bx
3与x轴的负半轴交于点
Btan
ACO=
1
2
kx（k0）与线段
BC
交
，
∠
1
．（）求抛物线的分析式；（）若直线l:
y
3
于点D（不与点B，C重合），则能否存在这样的直线
l，使得以B，O，D为极点
的三角形与△BAC相像若存在，求出该直线的函数表达式及点
D的坐标；若不存
在，请说明原因.
y
x2
C
x
OABP
A，与y轴的正半轴交于点
y
C
AB
Ox
（五）、其余二次函数的综合问题
例7、如图，一元二次方程
x2
2x3
0的二根x1，x2（x1x2）是抛物线yax2
bxc与x轴的两个交点
B，C的横坐标，且此抛物线过点
A（3，6）
．
（1）求此二次函数的分析式．
y
（2）设此抛物线的极点为
P，对称轴与线段AC订交于点Q，求点P和点Q的坐标．
A（3，6）
（3）在x轴上有一动点M，当MQMA获得最小值时，求M点的坐标．
Q
x
COB
P
1、如下图，在平面直角坐标系中，
抛物线y
ax2
bxc经过点A（3，0）、B（5，
0）、C（0，5）三点.
y
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的极点为
D，求△BCD的面积；
C
（3）在抛物线的对称轴上有一个动点P，当△0CP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.
OABx
2、如图，已知抛物线yx2
mx3与x轴的一个交点A（3，0）.
（1）分别求出这条抛物线与
x轴的另一个交点B及与y轴的交点C的坐标；
（2）设抛物线的极点为D，求直线CD的分析式；
（3）求tan∠DAC的值.
y
D
C
3
2
B
1
A
-2-1
O1234x
-1
-2
-3
3.已知经过原点的抛物线
y=-2x2+4x（如下图）与
x的另一交点为
A现将它向右平移
m（m＞0）位，所得抛物线
与x轴交于
C、D点，与原抛物线交于点
P
（1）求点
P的坐标（可用含
m式子表示）
（2）设△PCD的面积为s，求s对于m关系式．
（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问能否存在m，使以点E、O、A、F
为极点的四边形为平行四边形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明原因．
中考数学第
23题的分类试题
1解：
⑴依据题意：
AP＝tcm，BQ＝tcm．△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3－t）cm
．△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝1
BP．即t＝1
（3－t）
，t＝1（
秒）．当∠BPQ＝90°时，BP＝1
BQ．3－t＝1
t，
2
2
2
2
t＝2（秒）．答：
当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
⑵过P作PM⊥BC于M．Rt△BPM中，sin∠B＝PM，∴PM＝PB·sin∠B＝
3
A
（3－t）．
PB
2
P
∴S＝BQ·PM＝
1
·t·
3
（3－t）．
△PBQ1
2
2
2
∴y＝S△ABC－S△PBQ＝
1
2
3
－
1
·t
·
3
＝
3
2
3
3
9
3
B
Q
M
C
×3×
（3－t）
t
t
2
2
2
2
4
4
．
4
∴y与t的关系式为：
y＝
3
t2
33
t
9
3
．
假定存在某一时辰
t，使得四边形
APQC的面积是△
ABC面
4
4
4
2
S△ABC．∴
3
t
2
3
3
9
3
2
×
1
2
3
．∴t
2
－3t
＋3＝0．
积的2，则S四边形APQC＝
4
t
＝
3
×3×
2
3
3
4
4
2
∵（－3）2－4×1×3＜0，∴方程无解．∴不论t取何值，四边形APQC的面积都不行能是△ABC面积的2．3
1
2解：
（1）易知△CDO∽△BED，因此CD
CO
，即3
1
，得BE=2，则点E的坐标为E（1，7）．设直线DE
1
BE
BD
BE
1
9
9
3
的一次函数表达式为
y=kx+b，直线经过两点
D（1，1）和E（1，7），代入y=kx+b得k
1，b
10，故所求直线
3
9
3
9
的函数表达式为
y
=
1
10
．
（注：
用其余三角形相像的方法求函数表达式，参照上述解法给分
）
DE
x
9
3
（2）存在
S
的最大值．求最大值：
易知△
∽△
，因此
CD
CO
，即
t
1
，
COD
BDE
BE
DB
BE
1t
BE=t－t2，S
1×1×（1＋t－t
2）
1
（t
1
）2
5．故当t=
1时，S有最大值5．
2
2
2
8
2
8
3解：
（1）由题意得
b
c
6
解得∴此抛物线分析式为
y=x
2－2x－4．
2b
c
0
（2）由题意得：
y
x
x1
1
x2
4
∴点B的坐标为（4，
yx2
2x4
解得
1
y2
4
y1
4）将x=m代入y=x得y=m，∴点N的坐标为（m，m）．
同理，点M的坐标为（m，m2－2m－4），点P的坐标为（m，
0）．
∴PN=│m│，MP=│m2－2m－4│，∵01
1
2
（3）作BC⊥MN于点C，则BC=4－m，OP=m．S=
MN·OP+
MN·BC，=2（－m+3m+4），
2
2
3
2
25
3
3
时，S有最大值．
=－2（m－
）+
．∵－2<0，∴当m－
=0，即m=
2
2
7
2
2
7
4解：
（1）由抛物线的对称轴是x
，可设分析式为y
a（x
）2
k．把A、B两点坐标代入上式，得
2
2
a（6
7
）2
k
0,
2
25
2
7
25
2
解之，得a
）
2
7）2
k
.故抛物线分析式为y
（x
，极点为
a（0
k
4.
3
6
3
2
6
2
（7,25）.
（2）∵点E（x,y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标合适
26
y
2（x
7）2
25
，∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是YOEAF的对角线，
3
2
6
1OA
7）2
∴S2SVOAE
2
y
6y
4（
25．由于抛物线与
x轴的两个交点是（
1，0）的（6，0），所
2
1＜x＜6．
2
以，自变量x的取值范围是
依据题意，当
S=24时，即
4（x
7）2
25
24．化简，得（x
7）2
1.
解之，得x1
3,x2
4.
2
2
4
故所求的点E有两个，分别为
E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）知足OE=AE，因此YOEAF是菱形；
点E2（4，－4）不知足OE=AE，因此YOEAF不是菱形．
①当OA⊥EF，且OA=EF时，YOEAF是正方形，此时点
E的坐标只好是（
3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点
E，使YOEAF为正方形．
5
解:
（1）
据题意知:
A（0,
－12）,B（6,
－12）∵A点在抛物线上,
∴C=－12
∵18a+c=0,
∴a=2
3
由AB=6知抛物线的对称轴为
:
x=3
即:
b3
b
4∴抛物线的分析式为
:
y2x2
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