初中数学评好课笔记.docx

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初中数学评好课笔记

初中数学“函数的应用”的教学研究与案例评析

【课程简介】

研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，然后利用函数的性质得出结论，最后再把结论放到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果.这种研究问题的方法就是函数思想.

确定函数关系式是本节的重点，很多情况下是由几何图形建立函数关系式，也就是比较典型的数形结合问题，主要是利用相似性的性质、勾股定理、圆的有关性质、面积公式等建立量与量之间的函数关系.

反比例函数与一次函数综合问题，主要是利用k值与图像的位置关系，综合确定系数符号或图像的位置；解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答.

解决一些比较抽象、不易理解的实际应用题，可以建立与二次函数性关联的数学模型，结合函数的性质、函数图象等，使抽象的问题变得形象而具体.

运用函数知识与函数思想解决实际问题时，要善于分析问题中变量之间的函数关系，建立函数模型，注意有实际意义确定自变量的取值范围.

本专题主要探究了对函数的应用知识的深层次理解、教学策略及学生学习中问题和困惑的解决.

【学习要求】

（1）学习者首先要对教材有整体掌握和驾驭能力，对大纲和课标的要求要明确；

（2）学习者要对本专题的知识与其它各个知识的联系，如与其他知识点的衔接，与以后甚至高中将要学习的新知的衔接都要了然心中；

（3）学习者要对你所教的对象心中有数，面对不同层次的教学对象，能够灵活的去驾驭教材和处理教材,不能照搬照用.如何来学习，怎样来学习，学习后的方式方法如何来为自己服务这是关键，教学中如何利用建立数学模型及如何渗透有关的数学方法和思想是教者要深度思考的问题，教学的成功与否不仅仅与教者的知识水平有关，还与教者的教学艺术有关，所以我们每一名教师都应在把他人的方式方法如何转变成自己的方式方法上下功夫，如何将他人的东西融入到自己的知识链中上下功夫，只有这样才能事半功倍.

专题讲座

初中数学“函数的应用”的教学研究

孙晓佳（清华附中、高级教师）

一、对初中函数应用知识的深层次理解

（一）函数应用的知识结构与框图

初中函数应用主要包括一次函数、反比例函数以及二次函数的应用这三部分内容，

具体如下：

（1）一次函数的实际应用：

利用物理（运动过程）中的一次函数应用来渗透函数应用的思想．

（2）反比例函数的实际应用：

揭示社会问题、经济问题中的反比例关系．

（3）二次函数的实际应用：

利用二次函数的性质，结合一元二次方程来解决实际问题．利用函数知识解决应用问题的思路框图如下：

（二）函数应用在数学中的地位与作用

现实中存在大量问题涉及具有简单函数关系的变量，这为函数的学习提供了大量的现实素材．在实际的教学过程中，实际问题的情境也会多次出现，主要有以下作用：

（1）引入或解释函数等概念．几乎所有的概念都是通过实际问题来引入的，这样做的目的是借助直观的、具体的事物为理解抽象的内容服务．

（2）作为函数的应用举例．在解决实际问题的过程中运用函数这一工具，体现了数学建模的思想，反映了函数的广泛应用性．

找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是函数中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确的理解问题情境是基础．在函数的教学过程中，可以从多种角度思考，借助图象、表格、代数式等进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数关系的合理性．

（三）函数应用的教学内容的重点和难点

函数的应用主要包括以下几个方面的问题：

行程问题，生产中的问题，利润最大问题，花费最小问题，抛物线的刻画问题，体育比赛中的函数问题等等．

主要是让学生理解利用函数知识解决实际问题时，首先要梳理问题所提供的原始信息，从中提取有效信息加以分析，对问题的原始形态进行抽象化、数学化，联想和概括构建相应的数学模型——即函数关系，并利用数学知识方法加以解决．

教学重点：

1．有意识地运用函数思想将实际问题转化为函数问题，并能合理解实际问题；

2．体会数学中的变量与不变量的辩证关系；

3．合理确定问题中的变量，建立合适的函数关系式．

教学难点：

1．确定实际问题中变量的取值范围；

2．学会用分段函数来分析问题；

3．确定函数解析式的方法和步骤．

二、函数应用的教学策略

（一）怎样进行函数应用教学引入的设计

数学课的引入设计是至关重要的．好的引入会激发学生的学习兴趣，快速将学生引入教学情境，使整节课顺利进行．所以首先从引入的设计来看看我们在函数的教学中应该如何去做，下面以二次函数的起始课为例来进行说明．

（1）常规设计：

课本上引入二次函数是以实际问题（正方体的表面积）为切入点的．包括二次函数的图象的教学，是以投篮时篮球运动的轨迹作为引入．看上去这些实际生活中的例子都是非常鲜活的，应该能够起到刺激学生思维的过程．

但是事实却不是如此．

这是一个信息爆炸的时代，现代的学生每天都能够被大量的信息所影响．他们更关心的是与自己的生活息息相关的内容，而不是陈旧的、已经沿袭很久的实例．另外过于简单的实例（如投篮时篮球的轨迹）也许会带给他们一定刺激，但是能否刺激学生去思考这些例子背后的数学原理，能否对于二次函数的学习有所帮助就很难说了．面对不再新鲜，甚至说有些过时的例子，学生很难打起精神来．这就要求我们教师必须有所改变，我们应该与时俱进，了解学生在想什么，他们经常在做些什么？

才能设计出更好的、更贴切他们的生活的实例，并能为我们的教学带来帮助．

（2）突破设计：

通过以上的分析可以想到，实际生活中的二次函数还有那些？

运动轨迹是抛物线的还有哪些呢？

实际上有一个很好的资源可以供我们来使用，那就是《愤怒的小鸟》——可以说是现在最火爆的游戏（如图）．

相信当学生看到这幅图片时，一定会产生发自内心的共鸣．当然根据这个游戏可以设计出很多数学问题，学生自然会很有兴趣的去思考这些数学问题的解决途径，也就自然的引出了二次函数的概念，甚至是抛物线的定义了．下图是美国的一道考试题，在这方面，创新能力出众的美国教师已经走在了我们的前面，我们需要迎头赶上．

（二）怎样进行函数应用知识的渗透及教学

1．应用性问题的解决方法和规律是什么？

初中数学教育的理念中对应用能力的培养已经发生了一定的变化，近几年教材中、各类考试中不仅增加了实际问题的内容，还丰富了实际问题的类型，而且拓展了实际问题的意境，改变了以往取材仅限于工程、行程、浓度问题等老面孔，纷纷取材于国情大政、环保生态、市场决策、经济核算、生产生活，既展示数学应用的广阔空间，又着意体现新素材的德育功能．

应用题要解决的是实际问题，而实际问题是丰富多彩的．因此，在解决实际问题的过程中，不但需要扎实的基础知识和技能，更需要有多方面的能力．解答应用题一般程序是：

先读懂文字，理解题意，再将其翻译成数学语言，建立数学模型．

例1幸福村村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说（　　）

A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少．

B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量与3月持平

C．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产

D．1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产

此题讲解中注意：

图象显示1～3月为正比例函数表示总产量逐月累计增加，而并不表示“每月生产总量逐月增加”；4、5两月的“累计总产量”均同3月，则表示这两个月的产量均为0．应选D．

此题是函数图象信息型应用题．教师在讲解中注意引导学生明白解决这类问题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获得数据，培养的是运用数形结合思想解决实际问题的能力．

此题在设置过程中意境抓住了问题中的易错易混点来设计选择项，若读图能力差或审题不细，极易掉进陷井，错选成答案B．

例2：

A、B两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如图

（1）和

（2）．A调查表明：

每个甲鱼池平均年产量由第一年的l万只甲鱼上升到第6年的2万只；B调查表明：

甲鱼池个数由第一年的30个减少到第6年的10个．

请你根据所提供的信息说明：

（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；

（2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?

说明理由；

（3）哪处的规模最大？

说明理由．

教师在讲解此题时，要引导学生认真读图中的信息：

（1）读图

（2）知，第2年甲鱼池的只数为26；读图

（1）知，第2年每个甲鱼池平均产量为1.2万只，全县出产甲鱼的总数为1.2×26＝31.1（万只）

（2）规模缩小．因为第一年出产甲鱼30×1＝30（万只），而第6年出产甲鱼2×10＝20（万只）．

即第2年规模最大，生产甲鱼31.2万只．

这道应用题把图象信息、阅读理解、探索性问题巧妙地揉合在一起，要求学生在读懂文字、图形的基础上，把实际问题抽象转化，建立起符合题意的数学模型解决问题．这是学生解题的一个难点，所以教师如何启发学生整个认知过程，使之将实际问题转化为数学问题，引导学生发现转化后的数学问题并不复杂：

①根据函数图象求点的坐标；

②运用待定系数法求函数解析式；

③利用二次函数的性质求最大值．

例3：

为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用了不同的收费方式．其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如图所示．

（1）分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式．

（2）请帮用户计算一下，在一个月内使用哪种卡便宜?

教师讲解时，引导学生从阅读图中的信息入手，如

（1）由图象知y1、y2与通话时间之间的函数关系是一次函数的关系．设y1=k1x+b

把A（0，29），B（30，35）两点的坐标代入，可得

（2）要知道在一个月内使用哪种卡便宜，只需要比较出y1与y2的大小即可．

本题取材于我们日常生活中的手机话费问题，要求计算出两种电话卡哪种便宜．设计的问题并不难，但立意却比较深刻．

在市场经济的大潮中，诸如省钱划算，商品优惠的问题，销售价、成本价和销售利润的问题等等，司空见惯，不胜枚举．通过在应用题中的渗透，提醒同学们重视数学在生产、生活和经济建设中的应用，非常必要．在解决实际问题的过程中，逐步形成用数学的意识，树立数学来源于实践又应用于实践的辩证唯物主义观点，为同学们将来的学习和工作打下坚实的基础．这正是素质教育的发展方向所在．

（三）怎样突破函数应用教学中的难点

1．用二次函数求最大（小）值的应用题的方法步骤是什么？

利用二次函数的性质解决实际的规划设计问题（即最大最小值问题），其基本方法是将实际问题转化为二次函数的取值范围问题，然后按求二次函数最大值或最小值的方法求解．

其一般步骤是：

（1）利用题目中的已知条件明确函数关系式；

（2）把关系式转化为二次函数的解析式；

（3）求二次函数的最大值或最小值（注意自变量的取值范围）．

例4：

用12米长的木料做成如图所示的矩形窗框（包括中间的十字形），问当长、宽各是多少时，矩形窗框的面积最大?

最大的面积是多少?

此题关键是建立函数关系，

用二次函数表示变量之间的关系时，要抓住两点：

（1）要明确变量（自变量、因变量）的含义；

（2）为便于寻找各变量的关系，可根据实际情况列出相应的图或表或解析式来表示各量之间的关系．

在解决问题时可直接应用已建立的图、表或解析式关系，帮助进行思考，便于寻找较复杂的数量关系．

例5：

如图，已知三角形的两边和为20cm，这两边的夹角为120°．求它的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少?

教师在试题分析时，注意引导启发学生：

已知三角形两边之和为20cm，应设其中一边为xcm，并将这条边上的高用x表示，即可把该三角形的面积表示为x的函数．

本题讲解时，关键是如何建立两个变量关系，如果确定变量，如何从题的条件出发去发现量之间的关系，结合图形寻找解决问题的入手点.

教师讲解时，从形入手帮助学生分析建立函数关系的关键点，只要能引导学生正确的引出辅助线问题就得以解决

在如图所示的△ABC中，设BC边的长为xcm，则AB＝（20－x）cm．

过A作BC边上的高AD，与CB的延长线交于点D．

求几何图形的最大面积，应先在分析图形的基础上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数的关系式求出最值及取的最值时自变量的值．

在求几何图形的最大面积时，还应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中的每一个几何量的可能范围，一般有以下几种情况：

边长、周长、面积大于零，三角形中两边之和大于第三遍，圆的周长与半径的关系．

例6：

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销路，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）某商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

本题是获利问题，给学生交代清楚：

商场所获的利润是由售出的商品数量和这件商品的利润相乘而得到的．

这样问题就转化为如何建立两个变量的关系了.

如果每件衬衫降价x元，则每件盈利为（40－x）元，则可多售出2x件衬衫，即每天可售出（20＋2x）件衬衫，

问题

（1）可列出方程（20+2x）（40-x）=1200.转化为一元二次方程求解问题，这里要注意一元二次方程有两个根时要检验是否符合题意．

问题

（2）若设商场平均每天盈利为y．

则y=（20-2x）（40-x）.问题转化为求二次函数的最值问题.

从而可求出每天的利润．

由于这个关系式是一个二次项系数为负数的二次函数，所以可求出盈利的最大值，

通过解答上述的几个实际问题，让学生了解数学的美很大程度上在于它来源于实践，应用于实践．教师要交给学生会从生产、生活的实践中发现和总结规律，进而能根据客观规律指导实践，解决生产、生活中的一些实际问题．

教师在教学过程中，让学生逐步知晓初中数学中的一次函数、二次函数问题是与实际问题联系最紧密的内容之一．学生通过这些内容的学习，掌握把实际问题转化为函数问题这一重要的思想方法．

2．阅读理解题方法和规律是什么？

阅读和处理数学问题，不是一个被动接受的过程，而是一个主动建构的过程，让同学们学会读书，学会理解，学会分析，学会总结，从而学会求知，这就是阅读理解题潜在的素质教育功能．

实际应用问题与常规的数学问题相比最明显的区别就是阅读量的增加以及对学生理解能力要求的提高．不管是课本、考试中遇到的应用题，还是实际生活中的数学问题，都会出现很多干扰信息，需要学生对其进行甄别处理，从中提炼出数学的条件和结论．即需要经历一个将自然语言转化为数学语言（包括符号语言和图形语言）的过程．然后才能够运用数学方法来解决这些问题．而现在的学生阅读理解能力偏弱，其直接后果就是无法顺利地将实际问题建模化，更谈不上解决问题了．

阅读理解题在函数应用方面的主要类型是：

阅读一段短文，在理解题意的基础上，发现实际问题中的变量的数量关系，再求解答有关的问题．

例7：

某地防汛部门为做好当年的防汛抗洪工作，根据本地往年汛期特点和当年气象信息分析，利用当地一水库的水量调节功能，制订了当年的防汛计划：

从6月10日零时起，开启水库1号入水闸蓄水，每天经过1号水闸流入水库的水量为6万立方米；从6月15日零时起，打开水库的泄水闸泄水，每天从水库流出的水量为4万立方米；从6月20日零时起再开启水库2号入水闸，每天经过2号入水闸流入水库的水量为3万立方米；到6月30日零时，入水闸和泄水闸全部关闭．根据测量，6月10日零时，该水库的蓄水量为96万立方米．

（1）设开启2号入水闸后的第x天零时，水库的蓄水量为y万立方米，写出y（万立方米）与x（天）之间的函数关系式（只要求写出解析式）；

（2）如果该水库的最大蓄水量为200万立方米，该地防汛部门的当年汛期（到6月30日零时）的防汛计划能否保证水库的安全（水库的蓄水量不超过水库的最大蓄水量）?

请说明理由．

此题的题干较大，阅读量过多，如何从大容量的阅读中抓住数学问题去分析是关键，教师应该启发学生去发现不同时段问题的变化，即

（1）根据题目中给出的四个时刻，可分为三个时间段考虑y与x间的函数关系：

①6月10日零时，该水库的蓄水量为96万立方米．

②6月10日零时起，到6月20日零时止，该水库增加的蓄水量问题

③从6月20日零时起，到开启2号入水闸后的第x天的零时止，

该水库水量问题,于是可得：

y＝5x＋136，其中0≤x≤10，x取整数．

解决第

（2）个问题，注意引导学生此问题实际是解决函数中的最值问题，联系函数解析式，根据函数的性质即可解答．

本题取材于防汛抗洪问题，对阅读理解的能力要求高，要了解现实情景，必须读懂第二段文字，将四个时刻，开启（或关闭）入水（或泄水）闸，流量等要素搞懂，才能理清其数量关系；构思新颖，但设计的两个问题并不难，也没有繁杂的运算．

3．二次函数的实践与探究

有些实际问题中的变量存在着二次函数的关系，但问题中并不告诉存在二次函数，而是提到抛物线．如何描述和刻画抛物线？

显然用二次函数，而且需要建立适当的直角坐标系，这是有难度的问题．首先是如何建立平面直角坐标系，还有如何使用问题的条件来确定解析式．

例8：

有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4m，抛物线顶点处到边MN的距离是4m，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8m？

教师在讲解时，首先指导学生考虑如何建立坐标系，确定点的坐标，从而求出二次函数的解析式．通过形确定出数量关系，即建立方程解方程，用数将形的问题解决.这里的关键是如何建系，教师可以从不同角度分析建系，让学生体会其中的奥秘.同时引导学生学会从实际问题中去考虑自变量取值范围问题．

如图所示建立平面直角坐标系，引导学生求出抛物线的解析式，设出相关的量，从而通过解方程把问题答案找到.

例9：

目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图

（1）），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为85米．在所给的直角坐标系中（如图

（2）），假设抛物线的表达式为y=ax2+b，请你根据上述数据求出a、b的值，并写出抛物线的表达式.（不要求写自变量的取值范围，a、b的值保留两个有效数字）.

此题教师在讲解时，要交待清楚解决此类问题，必须建立恰当的直角坐标系，而坐标系的建立取决于已知点所在的位置，可以以已知的一部分作一个坐标轴，以它的垂直平分线作为另一个坐标轴，使图形关于坐标轴对称，可以使计算较简便．

例10：

有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．

（1）建立如图直角坐标系，求点B、D的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥280km（桥长忽略不计）货车以40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：

如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？

若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？

此题和例9类同，关键之一是建立平面直角坐标系的选择.关键之二分析清楚此题实际是一个行程的应用问题，如何建立行程中三个量的关系，如何找到已知的量是关键之二．

解：

（1）B（10，0），D（5，3）.

∴水位有CD上升到点E所用的时间为1÷0.25=4小时

设货车从接到通知到到达桥所用的时间为t．

则40（t＋1）＝280,

解得：

t＝6＞4．

故货车按原速行驶，不能安全通过此桥．

设货车速度为xkm／h，能安全通过此桥．

则4x+40≥280,解得x≥60．

故速度不小于60km／h，货车能安全通过此桥．

4．分段函数的应用

有些实际问题中的函数关系是用分段函数给出的，研究分段函数是学生需要面对的一个难点．

例11：

心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随着时间t的变化规律有如下关系式：

（1）讲课开始后，第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？

能持续多少分钟？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

解：

（1）当t=5时，y=195，当t=25时，y=205

∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．

（2）当0＜t≤10时，y=-t2+24t+100=-（t-12）2+244，

该图的对称轴为t=12，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，

所以，当t=10时，y有最大值240

当10＜t≤20时，y=240

当20＜t≤40时，y=-7t+380，y随x的增大而减小，

故此时y＜240

所以，当t=20时，y有最大值240