学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 36 指数函数幂函数对数函数增长的.docx

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学年高中数学第三章指数函数和对数函数36指数函数幂函数对数函数增长的

3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

[核心必知]

1．三种函数的增长特点

（1）当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．

（2）当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．

（3）当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．

2．三种函数的增长比较

在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝xn（n＞0），指数函数y＝ax（a＞1）增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有ax＞xn＞logax.

[问题思考]

1．2x＞log2x，x2＞log2x，在（0，＋∞）上一定成立吗？

提示：

结合图像知一定成立．

2．2x＞x2在（0，＋∞）上一定成立吗？

提示：

不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.

讲一讲

1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数型函数变化的变量是________．

[尝试解答]　以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．

答案：

y2

解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．

练一练

1．下面是f（x）随x的增大而得到的函数值列表：

试问：

（1）随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？

（2）各函数增长的快慢有什么不同？

解：

（1）随x的增大，各函数的函数值都在增大；

（2）由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f（x）＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f（x）＝log2x，而且增长的幅度越来越小．

讲一讲

2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：

每天回报40元；

方案二：

第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：

第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

[尝试解答]　设第x天所得回报是y元．

由题意，方案一：

y＝40（x∈N＋）；

方案二：

y＝10x（x∈N＋）；

方案三：

y＝0.4×2x－1（x∈N＋）．

作出三个函数的图像如图：

由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．

通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.

∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．

（1）解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．

（2）一般地：

指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．

练一练

2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：

元/102kg）与上市时间t（单位：

天）的数据如下表：

时间t

50

110

250

种植成本Q

150

108

150

（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；

（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

解：

（1）由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q＝at2＋bt＋c.

即

解得Q＝

t2－

t＋

.

（2）Q＝

（t－150）2＋

－

＝

（t－150）2＋100，

∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.

若x2＜logmx在x∈

内恒成立，求实数m的取值范围．

[巧思]　将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在

内的上下位置关系，再构建不等式求解．

[妙解]　设y1＝x2，y2＝logmx，作出符合题意的两函数的大致图像（如图），可知0＜m＜1.

当x＝

时，y1＝

，若两函数在x＝

处相交，

则y2＝

.由

＝logm

得m＝

，

又x2＜logmx在x∈

内恒成立，

因此，实数m的取值范围为

.

1．下面对函数f（x）＝

与g（x）＝

x在区间（0，＋∞）上的增减情况的说法中正确的是（　　）

A．f（x）的增减速度越来越慢，g（x）的增减速度越来越快

B．f（x）的增减速度越来越快，g（x）的增减速度越来越慢

C．f（x）的增减速度越来越慢，g（x）的增减速度越来越慢

D．f（x）的增减速度越来越快，g（x）的增减速度越来越快

解析：

选C　在同一坐标下分别作出函数y＝

和y＝（

）x的图像，由图像知C正确．

2．下列所给函数，增长最快的是（　　）

A．y＝5x　　　B．y＝x5

C．y＝log5xD．y＝5x

答案：

D

3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是（　　）

A．y＝0.2xB．y＝

（x2＋2x）

C．y＝

D．y＝0.2＋log16x

解析：

选C　当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A.

4．已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的大小关系为________．

解析：

在同一直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图像，如图所示，

由于函数f（x）＝3x的图像在函数g（x）＝2x图像的上方，则f（x）＞g（x）．

答案：

f（x）＞g（x）

5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．

解析：

设湖水量每年为上年的q%，则（q%）50＝0.9，

，

∴x年后湖水量y＝m·（q%）x＝

答案：

y＝

6．函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图像如图所示．

（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）比较两函数的增长差异（以两图像交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．

解：

（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lgx；

（2）当x＜x1时，g（x）＞f（x）；当x1＜x＜x2时，f（x）＞g（x）；当x＞x2时，g（x）＞f（x）．

一、选择题

1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是　　（　　）

A．y＝10x　　　B．y＝lgx

C．y＝x10D．y＝10x

解析：

选D　由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．

2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f（x）的大致图像为（　　）

解析：

选D　y＝f（x）＝（1＋10.4%）x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0,1,2,3,4…}，由单调性，结合图像知选D.

3．函数y＝2x－x2的图像大致是（　　）

解析：

选A　由图像可知，y＝2x与y＝x2的交点有3个，说明函数y＝2x－x2与x轴的交点有3个，故排除B、C选项，当x2x成立，即y<0，故排除D.

4．当0＜x＜1时，f（x）＝x2，g（x）＝x

，h（x）＝x－2的大小关系是（　　）

A．h（x）＜g（x）＜f（x）

B．h（x）＜f（x）＜g（x）

C．g（x）＜h（x）＜f（x）

D．f（x）＜g（x）＜h（x）

解析：

选D　在同一坐标下作出函数f（x）＝x2，g（x）＝x

，h（x）＝x－2的图像，由图像知，D正确．

二、填空题

5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．

解析：

1年后，y＝15（1＋x）；2年后，y＝15（1＋x）2；3年后，y＝15（1＋x）3，…，10年后，y＝15（1＋x）10.

答案：

y＝15（1＋x）10

6．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y＝f（x）的图像恰好经过k个格点，则称函数y＝f（x）为k阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．

①y＝x2；②y＝x－1；③y＝ex－1；④y＝log2x.

解析：

这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点（1,1），（－1，－1）；而③y＝ex－1除了（0,0）外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故③符合．

答案：

③

7．若a＝

x，b＝x3，c＝

，则当x＞1时，a，b，c的大小关系是________．

解析：

∵x＞1，∴a＝

x∈（0,1），b＝x3∈（1，＋∞），

c＝

∈（－∞，0）．∴c＜a＜b.

答案：

c＜a＜b

8．已知a＞0，a≠1，f（x）＝x2－ax，当x∈（－1,1）时，均有f（x）＜

，则实数a的取值范围是________．

解析：

当a＞1时，作出函数y1＝x2，y2＝ax的图像：

要使x∈（－1,1）时，均有f（x）＜

，只要当x＝－1时，有（－1）2－a－1≤

，解得a≤2，∴1＜a≤2.

当0＜a＜1时，同理，只需12－a1≤

，即a≥

.

∴

≤a＜1.

综上所述，a的取值范围是

∪（1,2]．

答案：

∪（1,2]

三、解答题

9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：

“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？

解：

在一个月（按31天计算）的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310（万元）．而吉米，

第一天得到1分，

第二天得到2分，

第三天得到4分，

第四天得到8分，

第20天得到219分，

……

第31天得到230分，

使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2147483647分≈2147.48（万元）．

所以在这份合同中吉米纯获利2147.48－310＝1837.48（万元）．所以吉米将在合同中获利．

10．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：

y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

解：

借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像（如图），观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．

对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当x∈（20,1000）时，y＞5，因此该模型不符合要求；

对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间（805,806）内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求；

对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,

1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．

再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有

＝

≤0.25成立．

令f（x）＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,

1000]．

利用计算器或计算机作出函数f（x）的图像（如图），

由图像可知它是单调递减的，因此

f（x）＜f（10）≈－0.3167＜0，log7x＋1＜0.25x.

所以，当x∈[10,1000]时，

＜0.25.

说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.

综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．