一元一次方程.docx

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一元一次方程

3.1.1一元一次方程

（1）

教学目标

1、使学生通过处理实际问题，体验从算术方法到代数方法的转化。

2、使学生初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；

培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

教学重难点

从实际问题中寻找相等关系

教学过程

一、情境引入

教师提出教科收第66页的问题，并用多媒体直观演示，同进出现下图：

问题1：

从上图中你能获得哪些信息？

（必要时可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。

）

问题2：

你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗？

（当学生列出不同算式时，应让他们说明每个式子的含义）

从不同的角度可以列出不同的算式：

问题3：

能否用方程的知识来解决这个问题呢？

二、学习新知

1、教师引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量．如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山千米，王家庄距秀水千米．

2、教师引导学生寻找相等关系，列出方程．

问题1:

题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？

问题2:

汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？

你能表示其他各段路程的车速吗？

问题3：

根据车速相等，你能列出方程吗？

教师根据学生的回答情况进行分析，如依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程

，

依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”可列方程：

3、给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念．

4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤：

（1）用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z等字母）；

（2）根据问题中的相等关系，列出方程．

三、举一反三讨论交流

1、比较列算式和列方程两种方法的特点．

列算式：

只用已知数，表示计算程序，依据是问题中的数量关系；

列方程：

可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。

2、思考：

对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？

如果能，你依据的是哪个相等关系？

如果直接设元，还可列方程：

如果设王家庄到青山的路程为x千米，那么可以列方程：

依据各路段的车速相等，先求出汽车到达翠湖的时刻：

，

再列出方程

=60

四、初步应用课堂练习

1、例题（补充）：

根据下列条件，列出关于x的方程：

（1）x与18的和等于54；

（2）27与x的差的一半等于x的4倍．

解：

（1）x＋18=54；

（2）

（27－x）＝4x.

列出方程后教师说明：

“4x"表示4与x的积，当乘数中有字母时，通常省略乘号“X”，并把数字乘数写在字母乘数的前面．

2、练习（补充）：

（1）列式表示：

①比a小9的数

②x的2倍与3的和③5与y的差的一半④a与b的7倍的和．

（2）根据下列条件，列出关于x的方程：

①12与x的差等于x的2倍；②x的三分之一与5的和等于6.

小结与作业

课堂小结本节课我们学了什么知识？

你有什么收获？

本课作业阅读教科书上70页的《阅读与思考》

第73页习题2.1第1，5题。

3.1.1一元一次方程

（2）

教学目标

1、使学生理解一元一次方程；方程的解等概念；掌握检验某个值是不是方程的解的方法。

2、培养学生根据间题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力；体验用估算方法寻求方程的解的过程，培养学生求实的态度。

教学重难点

对于复杂一点的方程，用估算的方法寻求方程的解，需要多次的尝试，也需要一定的估计能力重点是寻找相等关系、列出方程

教学过程

一、情境引入

问题1：

小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？

如果设小雨的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小思的年龄吗？

在学生回答的基础上，教师加以引导：

小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示，这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示．

由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们又可以写成：

25-x=2x-8．这样就得到了一个方程．

二、自主尝试

①尝试：

让学生尝试解答教科书第67页的例1。

（1）选择一个未知数，设为x，

（2）对于这三个问题，分别考虑：

用含x的式子表示这台计算机的检修时间；用含x的式子分别表示长方形的长和宽；

用含x的式子分别表示男生和女生的人数．

（3）找一个问题中的相等关系列出方程．

②交流：

在学生基本完成解答的基础上，请几名学生汇报所列的方程，并解释方程等号左右两边式子的含义．

③教师在学生回答的基础上作补充讲解，并强调：

（1）方程等号两边表示的是同一个量；

（2）左右两边表示的方法不同．

简单地说：

列方程就是用两种不同的方法表示同一个量．以第

（1）题为例：

方程左边的式子“1700＋150x”表示计算机已使用的时间加上后来可使用的时间，也就是规定的检修时间．右边的"2450”也是规定检修的时间．这样就有“1700十150x=2450".

④讨论：

问题1：

在第

（1）题中，你还能用两种不同的方法来表示另一个量，再列出方程吗？

让学生在学习小组内讨论，然后分组汇报交流：

选“已使用的时间”可列方程：

2450-150x=1700.

选“还可使用的时间”可列方程：

150x=2450-1700.

问题2：

在第（3）题中，你还能设其他的未知数为x吗？

在学生独立思考、小组讨论的基础上交流：

设这个学校的男生数为x，那么女生数为（x+80），全校的学生数为（x+x+80）.列方程：

x＋80=52％（x+x＋80）．

三、建立概念

①概念的建立．

让学生在观察上述方程的基础上，教师进行归纳：

各方程都只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．“一元”：

一个未知数；“一次”：

未知数的指数是一次．

判断下列方程是不是一元一次方程：

（1）23-x=一7：

（2）2a-b=3（3）y+3＝6y-9；

（4）0.32m-（3＋0.02m）=0.7.（5）x2＝1（6）

②引导学生归纳：

从上面的分析过程我们可以发现，用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？

在学生回答的基础上，教师用方框表示：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法：

四、估算求植

列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值．对于简单的方程，我们可以采用估算的方法．

①问题：

你认为该怎样进行估算？

可以采用“尝试—发现—归纳”的方法：

让学生尝试后发现，要求出答案必须用一些具体的数值代入，看方程是否成立，最后教师进行归纳．

②在此基础上给出概念：

能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代人方程，看方程左右两边的值是否相等．

课堂练习练习教科书第69页中练习

小结与作业

课堂小结：

①这节课我们学习了什么内容？

②用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么？

③列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量．④估算是一种重要的方法．

思考：

教科书第69页中的“思考”．（不一定让学生估算出方程的解，目的是体验用估算的方法有时会很麻烦）

本课作业

①必做题：

教科书第73页习题2.1第2,6,7,8题·

②选做题：

教科书第74页习题2.1第11题．

3.1.2等式的性质

（1）

教学目标

1、了解等式的两条性质；会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程。

2、培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力；渗透“化归”的思想。

教学重难点

应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”；理解和应用等式的性质。

教学过程

一、提出问题

用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解．你能用这种方法求出下列方程的解吗？

（1）3x-5＝22；

（2）0.28-0.13y=0.27y＋1.第

（1）题要求学生给出解答，第

（2）题较复杂，估算比较困难，此时教师提出：

我们必须学习解一元一次方程的其他方法．

二、探究新知

①实验演示：

教师先提出实验的要求：

请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律．然后按教科书第71页图2.1-2的方法演示实验．教师可以进行两次不同物体的实验．

②归纳：

请几名学生回答前面的问题．在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：

等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．比如“8=8”，我们在两边都加上6，就有“8＋6=8＋6”；两边都减去11，就有“8－11=8－11”_.

③表示：

问题1：

你能用文字来叙述等式的这个性质吗？

在学生回答的基础上，教师必须说明：

等式两边加上的可以是同一个数，也可以是同一个式子．

问题2：

等式一般可以用a=b来表示．等式的性质1怎样用式子的形式来表示？

如果a=b，那么a±c=b±c

字母a、b、c可以表示具体的数，也可以表示一个式子。

④观察教科书第71页图2.1－3，你又能发现什么规律？

你能用实验加以验证吗？

在学生观察图2.1一3时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义．观察后再请一名学生用实验验证．然后让学生用两种语言表示等式的性质2.

如果a=b，那么ac=bc

如果a=b（c≠0），那么

问题3：

你能再举几个运用等式性质的例子吗？

如：

用5元钱可以买一支钢笔，用2元钱可以买一本笔记本，那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本，15元钱就可以买3支钢笔．

相当于：

“5元一买1支钢笔的钱；2元一买1本笔记本的钱．

5元＋2元=买1支钢笔的钱＋买1本笔记本的钱．

3×5元=3×买1支钢笔的钱．”

三、应用举例

方程是含有未知数的等式，我们可以运用等式的性质来解方程。

例1教科书第72页例2中的第

（1）、

（2）题．

分析：

所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？

’’因此我们需要把方程转化为“x=a（a为常数）”形式。

问题1：

怎样才能把方程x＋7=26转化为x=a的形式？

学生回答，教师板书：

解：

（1）两边减7，得：

x+7－7=26－7，x=19.

问题2：

式子“－5x”表示什么？

我们把其中的－5叫做这个式子的系数．你能运用等式的性质把方程－5x=20转化为x=a的形式吗？

用同样的方法给出方程的解．

例2（补充）小涵的妈妈从商店买回一条裤子，小涵问妈妈：

“这条裤子需要多少钱？

”妈妈说：

“按标价的八折是36元．”你知道标价是多少元吗？

要求学生尝试用列方程的方法进行解答．在学生基本完成的情况下，教师给出示范．

解：

设标价是x元，则售价就是80％x元，根据售价是36元，可列方程：

80%x=36，两边同除以80％，得x=45.

答：

这条裤子的标价是45元．

四、课堂练习

①分别说出下列各式子的系数：

3x，－7m，

，a，－x，

2利用等式的性质解下列方程：

（1）x－5=6

（2）0.3x=45（3）－y=0.6（4）

③七年级3班有18名男生，占全班人数的45%，求七年级3班的学生人数。

小结与作业

1.课堂小结

①等式的性质有那几条？

用字母怎样表示？

字母代表什么？

②解方程的依据是什么？

最终必须化为什么形式？

③在字母与数字的乘积中，数字因数又叫做这个式子的系数．

2.本课作业

（1）利用等式的性质解下列方程：

①a＋25=95②x－12=－4③0.3x=12④

（2）教科书第74页第9题

3.1.2等式的性质

（2）

教学目标

1、使学生进一步理解用等式的性质解简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程；初步具有解方程中的化归意识。

2、培养言必有据的思维能力和良好的思维品质。

教学重难点

用等式的性质解方程；需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。

教学过程

一、复习引入解下列方程：

（1）x＋7=1.2;

（2）

在学生解答后的讲评中围绕两个问题：

1每一步的依据分别是什么？

②求方程的解就是把方程化成什么形式？

这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。

二、探索新知

对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？

例1利用等式的性质解方程：

（1）0.5x－x=3.4

（2）

先让学生对第

（1）题进行尝试，然后教师进行引导：

①要把方程0.5x－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.5，怎么去？

2要把方程－x=2.9转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？

3然后给出解答：

解：

两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5化简，得

－x=－2．9，、两边同乘－1，系数猾lx=－2.9

小结：

（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质

（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．

你能用这种方法解第

（2）题吗？

在学生解答后再点评．

解后反思：

①第

（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？

②比较这两种方法，你认为哪种方法更好？

为什么？

允许学生在讨论后回答．

例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3．5米，儿童服装每套平均用布1．5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？

在学生弄清题意后，教师再作分析：

如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？

解：

设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5米，根据题意，得80x×3.5＋1.5x＝355．化简，得280＋1.5x＝355，

两边减280，得280＋1.5x－280＝355－280，化简，得1.5x＝75，

两边同除以1.5，得x＝50．答：

用余下的布还可以做50套儿童服装．

解后反思：

对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．

问题：

我们如何才能判别求出的答案50是否正确？

在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：

检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：

把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左边，

得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355

方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解。

你能检验一下x=－27是不是方程

的解吗？

三、课堂练习教科书第73页练习第（3）（4）题。

补充：

小聪带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？

（用列方程的方法求解）建议：

采用小组竞赛的方法进行评议

小结与作业

1、课堂小结

我应该注意什么问题？

2、本课作业：

必做题：

教科书第73页第4

（1）、

（2）、（4）题；

3.2一元一次方程的讨论

（1）

教学目标

1、使学生经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程。

2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程．初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。

教学重难点

分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程，会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程。

教学过程

一、设置情境，提出问题

出示教科书76页问题1：

某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。

前年这个学校购买了多少台计算机？

二、探索分析，解决问题

设问1：

如何列方程？

分哪些步骤？

师生讨论分析：

设未知数：

前年购买计算机x台；找相等关系：

前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140台列方程：

x＋2x＋4x=140

设问2：

怎样解这个方程？

如何将这个方程转化为x=a的形式？

学生观察、思考：

根据分配律，可以把含x的项合并，即x＋2x＋4x=（1＋2＋4）x=7x

老师板演解方程过程

三、课堂练习学生练习课本上第77面练习1、2

四、拓广探索，比较分析

对于问题1还有不同的未知数的设法吗？

学生思考回答：

若设去年购买计算机x台，得方程

若设今年购买计算机x台，得方程

五、综合应用，巩固提高

一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：

5，问黑色皮块有多少？

学生思考、讨论出多种解法，师生共同讲评。

小结与作业

课堂小结

解方程的步骤及依据分别是：

合并和系数化为1；总量=各部分量的和

本课作业课本P82页习题2.2中1、3①②、4、6

3.2一元一次方程的讨论

（2）

教学目标

1、使学生掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程；通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题。

2、使学生理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想。

教学重难点：

分析实际问题中的相等关系，列出方程建立方程；会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程。

教学过程

一、提出问题

出示教科书77页问题2：

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？

二、分析问题

引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路。

1、设未知数：

设这个班有x名学生

2、找相等关系：

这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等．

3、列方程：

3x＋20=4x-25…

（1）

设问1：

怎样解这个方程？

它与上节课遇到的方程有何不同？

学生讨论后发现：

方程的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与－25）．

设问2：

怎样才能使它向x=a的形式转化呢？

学生思考、探索：

为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20.3x－4x=－25－20…

（2）

设问3：

以上变形依据是什么？

等式的性质1。

归纳：

像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

师生共同完成解答过程。

设问4：

以上解方程中“移项”起了什么作用？

学生讨论、回答，

师生共同整理：

通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。

三、课堂练习学生练习课本上第79面练习

四、拓广探索，比较分析

对于问题1还有不同的未知数的设法吗？

学生思考回答：

若设去年购买计算机x台，得方程

若设今年购买计算机x台，得方程

五、综合应用，巩固提高

现在你能解答课本74页的习题2.1第6题吗？

补充：

有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还了一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？

小结与作业

课堂小结

1解方程的步骤及依据分别是：

移项（等式的性质1）合并（分配律）

系数化为1（等式的性质2）

2“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”表示同一量的两个不同式子相等。

本课作业必做题：

课本第82页习题2.2第2、3（3）（4）、7、8题

3.2一元一次方程的讨论（3）

教学目标

1、经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析和解决问题的能力。

学会探索数列中的规律，建立等量关系。

2、能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性。

教学重难点

探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程

教学过程

一、创设情境，提出问题

前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题，其实许多数列、游戏活动中也蕴含着方程知识。

出示教科书79页例1：

有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243……其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？

二、分析问题

引导学生观察这列数有什么规律？

（从符号和绝对值两方面）学生讨论后发现：

后面一个数是前一个数的－3倍。

师生共同分析，完成解答过程：

解：

设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为－3x，第3个数为－3×（－3x）=9x根据这三个数的和是－1710，

得x－3x＋9x=－1710合并，得7x=－243所以－3x=729

9x=－2187答：

这三个数是－243、729、－2187

引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。

学生讨论、分析：

探索规律，找出相等关系。

如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。

三、课堂练习①三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数。

②如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？

四、综合应用，巩固提高

在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39.

1，培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？

2，若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？

学生练习，讲评

小结与作业

课堂小结①你是怎样分析数列中的规律的？

②你学会判明方程的解是否合理吗？

本课作业必做题：

（1）课本第82页习题2.2第5、9题

（2）三个连续偶数的和是30，求这三个偶数。

选做题：

小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：

“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？

”你能帮小红解决吗？

3.2一元一次方程的讨论（4）

教学目标

1、使学生掌握一元一次方程的基本解发法；经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想。

2、通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题，解决问题的能力。

教学重难点

探究实际问题与一元一次方程的关系。

教学过程

一、创设情境，提出问题

信息社会，人们沟通交流方式多样化，移动电话已很普及，选择经济实惠的收费方式很有理实意义。

出示教科书80页的例2;观察下列两种移动电话计费方式表：

全球通

神州行

月租费

50元/月

0

本地通话费

0.40元/分

0.60元/分

设计以下问题：

1、你能从中表中获得哪些信息，试用自己的话说说。

2、猜一猜，使用哪一种计费方式合算？

3、一个月内在本地通话200分和300分，按两种计费方式各需交费多少元？

对于某个本地通通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？

二、探索分析解决问题

学生充分，交流讨论、整理归纳：

解：

1、用“全球通”每月收月租费50元，此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费，根据累计通话时间按0.60元/分收通话费。

2、不一定，具体由当月累计通话时间决定。

3、

全球通

神州行

200分

130元

120元

300分

170元

180元

4，设累计通话t分，则用“全球通”要收费（50+0.4t）元，用“神州行”要收费0.6t元，如果两种计费方式的收费一样，则0.6t=50+0.4t移项得0.6t－0.4t=50合并，得0.2t=50系数化为1，得t=250

答：

如果一个月内通话250分，那么两种计费方式的收费相同。

三、综合应用，巩固提高

一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游（旅费统一支付），联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：

教师全部付费，学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是：

全部师生按八折付费，请你参谋