一元一次方程.docx
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一元一次方程
3.1.1一元一次方程
(1)
教学目标
1、使学生通过处理实际问题,体验从算术方法到代数方法的转化。
2、使学生初步学会如何寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念;
培养学生获取信息,分析问题,处理问题的能力。
教学重难点
从实际问题中寻找相等关系
教学过程
一、情境引入
教师提出教科收第66页的问题,并用多媒体直观演示,同进出现下图:
问题1:
从上图中你能获得哪些信息?
(必要时可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。
)
问题2:
你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗?
(当学生列出不同算式时,应让他们说明每个式子的含义)
从不同的角度可以列出不同的算式:
问题3:
能否用方程的知识来解决这个问题呢?
二、学习新知
1、教师引导学生设未知数,并用含未知数的字母表示有关的数量.如果设王家庄到翠湖的路程为x千米,那么王家庄距青山千米,王家庄距秀水千米.
2、教师引导学生寻找相等关系,列出方程.
问题1:
题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思?
问题2:
汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示?
你能表示其他各段路程的车速吗?
问题3:
根据车速相等,你能列出方程吗?
教师根据学生的回答情况进行分析,如依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程
,
依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”可列方程:
3、给出方程的概念,介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念.
4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤:
(1)用字母表示问题中的未知数(通常用x,y,z等字母);
(2)根据问题中的相等关系,列出方程.
三、举一反三讨论交流
1、比较列算式和列方程两种方法的特点.
列算式:
只用已知数,表示计算程序,依据是问题中的数量关系;
列方程:
可用未知数,表示相等关系,依据是问题中的等量关系。
2、思考:
对于上面的问题,你还能列出其他方程吗?
如果能,你依据的是哪个相等关系?
如果直接设元,还可列方程:
如果设王家庄到青山的路程为x千米,那么可以列方程:
依据各路段的车速相等,先求出汽车到达翠湖的时刻:
,
再列出方程
=60
四、初步应用课堂练习
1、例题(补充):
根据下列条件,列出关于x的方程:
(1)x与18的和等于54;
(2)27与x的差的一半等于x的4倍.
解:
(1)x+18=54;
(2)
(27-x)=4x.
列出方程后教师说明:
“4x"表示4与x的积,当乘数中有字母时,通常省略乘号“X”,并把数字乘数写在字母乘数的前面.
2、练习(补充):
(1)列式表示:
①比a小9的数
②x的2倍与3的和③5与y的差的一半④a与b的7倍的和.
(2)根据下列条件,列出关于x的方程:
①12与x的差等于x的2倍;②x的三分之一与5的和等于6.
小结与作业
课堂小结本节课我们学了什么知识?
你有什么收获?
本课作业阅读教科书上70页的《阅读与思考》
第73页习题2.1第1,5题。
3.1.1一元一次方程
(2)
教学目标
1、使学生理解一元一次方程;方程的解等概念;掌握检验某个值是不是方程的解的方法。
2、培养学生根据间题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力;体验用估算方法寻求方程的解的过程,培养学生求实的态度。
教学重难点
对于复杂一点的方程,用估算的方法寻求方程的解,需要多次的尝试,也需要一定的估计能力重点是寻找相等关系、列出方程
教学过程
一、情境引入
问题1:
小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁,小雨、小思的年龄各是几岁?
如果设小雨的年龄为x岁,你能用不同的方法表示小思的年龄吗?
在学生回答的基础上,教师加以引导:
小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示,这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示.
由于这两个不同的式子表示的是同一个量,因此我们又可以写成:
25-x=2x-8.这样就得到了一个方程.
二、自主尝试
①尝试:
让学生尝试解答教科书第67页的例1。
(1)选择一个未知数,设为x,
(2)对于这三个问题,分别考虑:
用含x的式子表示这台计算机的检修时间;用含x的式子分别表示长方形的长和宽;
用含x的式子分别表示男生和女生的人数.
(3)找一个问题中的相等关系列出方程.
②交流:
在学生基本完成解答的基础上,请几名学生汇报所列的方程,并解释方程等号左右两边式子的含义.
③教师在学生回答的基础上作补充讲解,并强调:
(1)方程等号两边表示的是同一个量;
(2)左右两边表示的方法不同.
简单地说:
列方程就是用两种不同的方法表示同一个量.以第
(1)题为例:
方程左边的式子“1700+150x”表示计算机已使用的时间加上后来可使用的时间,也就是规定的检修时间.右边的"2450”也是规定检修的时间.这样就有“1700十150x=2450".
④讨论:
问题1:
在第
(1)题中,你还能用两种不同的方法来表示另一个量,再列出方程吗?
让学生在学习小组内讨论,然后分组汇报交流:
选“已使用的时间”可列方程:
2450-150x=1700.
选“还可使用的时间”可列方程:
150x=2450-1700.
问题2:
在第(3)题中,你还能设其他的未知数为x吗?
在学生独立思考、小组讨论的基础上交流:
设这个学校的男生数为x,那么女生数为(x+80),全校的学生数为(x+x+80).列方程:
x+80=52%(x+x+80).
三、建立概念
①概念的建立.
让学生在观察上述方程的基础上,教师进行归纳:
各方程都只含有一个未知数,并且未知数的指数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.“一元”:
一个未知数;“一次”:
未知数的指数是一次.
判断下列方程是不是一元一次方程:
(1)23-x=一7:
(2)2a-b=3(3)y+3=6y-9;
(4)0.32m-(3+0.02m)=0.7.(5)x2=1(6)
②引导学生归纳:
从上面的分析过程我们可以发现,用方程的方法来解决实际问题,一般要经历哪几个步骤?
在学生回答的基础上,教师用方框表示:
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法:
四、估算求植
列出方程后,还必须解这个方程,求出未知数的值.对于简单的方程,我们可以采用估算的方法.
①问题:
你认为该怎样进行估算?
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法:
让学生尝试后发现,要求出答案必须用一些具体的数值代入,看方程是否成立,最后教师进行归纳.
②在此基础上给出概念:
能使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.求方程的解的过程,叫做解方程.一般地,要检验某个值是不是方程的解,可以用这个值代替未知数代人方程,看方程左右两边的值是否相等.
课堂练习练习教科书第69页中练习
小结与作业
课堂小结:
①这节课我们学习了什么内容?
②用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么?
③列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量.④估算是一种重要的方法.
思考:
教科书第69页中的“思考”.(不一定让学生估算出方程的解,目的是体验用估算的方法有时会很麻烦)
本课作业
①必做题:
教科书第73页习题2.1第2,6,7,8题·
②选做题:
教科书第74页习题2.1第11题.
3.1.2等式的性质
(1)
教学目标
1、了解等式的两条性质;会用等式的性质解简单的(用等式的一条性质)一元一次方程。
2、培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力;渗透“化归”的思想。
教学重难点
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”;理解和应用等式的性质。
教学过程
一、提出问题
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?
(1)3x-5=22;
(2)0.28-0.13y=0.27y+1.第
(1)题要求学生给出解答,第
(2)题较复杂,估算比较困难,此时教师提出:
我们必须学习解一元一次方程的其他方法.
二、探究新知
①实验演示:
教师先提出实验的要求:
请同学们仔细观察实验的过程,思考能否从中发现规律,再用自己的语言叙述你发现的规律.然后按教科书第71页图2.1-2的方法演示实验.教师可以进行两次不同物体的实验.
②归纳:
请几名学生回答前面的问题.在学生叙述发现的规律后,教师进一步引导:
等式就像平衡的天平,它具有与上面的事实同样的性质.比如“8=8”,我们在两边都加上6,就有“8+6=8+6”;两边都减去11,就有“8-11=8-11”_.
③表示:
问题1:
你能用文字来叙述等式的这个性质吗?
在学生回答的基础上,教师必须说明:
等式两边加上的可以是同一个数,也可以是同一个式子.
问题2:
等式一般可以用a=b来表示.等式的性质1怎样用式子的形式来表示?
如果a=b,那么a±c=b±c
字母a、b、c可以表示具体的数,也可以表示一个式子。
④观察教科书第71页图2.1-3,你又能发现什么规律?
你能用实验加以验证吗?
在学生观察图2.1一3时,必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义.观察后再请一名学生用实验验证.然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
如果a=b,那么ac=bc
如果a=b(c≠0),那么
问题3:
你能再举几个运用等式性质的例子吗?
如:
用5元钱可以买一支钢笔,用2元钱可以买一本笔记本,那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本,15元钱就可以买3支钢笔.
相当于:
“5元一买1支钢笔的钱;2元一买1本笔记本的钱.
5元+2元=买1支钢笔的钱+买1本笔记本的钱.
3×5元=3×买1支钢笔的钱.”
三、应用举例
方程是含有未知数的等式,我们可以运用等式的性质来解方程。
例1教科书第72页例2中的第
(1)、
(2)题.
分析:
所谓“解方程”,就是要求出方程的解“x=?
’’因此我们需要把方程转化为“x=a(a为常数)”形式。
问题1:
怎样才能把方程x+7=26转化为x=a的形式?
学生回答,教师板书:
解:
(1)两边减7,得:
x+7-7=26-7,x=19.
问题2:
式子“-5x”表示什么?
我们把其中的-5叫做这个式子的系数.你能运用等式的性质把方程-5x=20转化为x=a的形式吗?
用同样的方法给出方程的解.
例2(补充)小涵的妈妈从商店买回一条裤子,小涵问妈妈:
“这条裤子需要多少钱?
”妈妈说:
“按标价的八折是36元.”你知道标价是多少元吗?
要求学生尝试用列方程的方法进行解答.在学生基本完成的情况下,教师给出示范.
解:
设标价是x元,则售价就是80%x元,根据售价是36元,可列方程:
80%x=36,两边同除以80%,得x=45.
答:
这条裤子的标价是45元.
四、课堂练习
①分别说出下列各式子的系数:
3x,-7m,
,a,-x,
2利用等式的性质解下列方程:
(1)x-5=6
(2)0.3x=45(3)-y=0.6(4)
③七年级3班有18名男生,占全班人数的45%,求七年级3班的学生人数。
小结与作业
1.课堂小结
①等式的性质有那几条?
用字母怎样表示?
字母代表什么?
②解方程的依据是什么?
最终必须化为什么形式?
③在字母与数字的乘积中,数字因数又叫做这个式子的系数.
2.本课作业
(1)利用等式的性质解下列方程:
①a+25=95②x-12=-4③0.3x=12④
(2)教科书第74页第9题
3.1.2等式的性质
(2)
教学目标
1、使学生进一步理解用等式的性质解简单的(两次运用等式的性质)一元一次方程;初步具有解方程中的化归意识。
2、培养言必有据的思维能力和良好的思维品质。
教学重难点
用等式的性质解方程;需要两次运用等式的性质,并且有一定的思维顺序。
教学过程
一、复习引入解下列方程:
(1)x+7=1.2;
(2)
在学生解答后的讲评中围绕两个问题:
1每一步的依据分别是什么?
②求方程的解就是把方程化成什么形式?
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。
二、探索新知
对于简单的方程,我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解,下列方程你也能马上做出选择吗?
例1利用等式的性质解方程:
(1)0.5x-x=3.4
(2)
先让学生对第
(1)题进行尝试,然后教师进行引导:
①要把方程0.5x-x=3.4转化为x=a的形式,必须去掉方程左边的0.5,怎么去?
2要把方程-x=2.9转化为x=a的形式,必须去掉x前面的“-”号,怎么去?
3然后给出解答:
解:
两边减0.5,得0.5-x-0.5=3.4-0.5化简,得
-x=-2.9,、两边同乘-1,系数猾lx=-2.9
小结:
(1)这个方程的解答中两次运用了等式的性质
(2)解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式,在运用性质进行变形时,始终要朝着这个目标去转化.
你能用这种方法解第
(2)题吗?
在学生解答后再点评.
解后反思:
①第
(2)题能否先在方程的两边同乘“一3”?
②比较这两种方法,你认为哪种方法更好?
为什么?
允许学生在讨论后回答.
例2(补充)服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童服装每套平均用布1.5米.现已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?
在学生弄清题意后,教师再作分析:
如果设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5x米,根据题意,你能列出方程吗?
解:
设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5米,根据题意,得80x×3.5+1.5x=355.化简,得280+1.5x=355,
两边减280,得280+1.5x-280=355-280,化简,得1.5x=75,
两边同除以1.5,得x=50.答:
用余下的布还可以做50套儿童服装.
解后反思:
对于许多实际间题,我们可以通过设未知数,列方程,解方程,以求出问题的解.也就是把实际问题转化为数学问题.
问题:
我们如何才能判别求出的答案50是否正确?
在学生代入验算后,教师引导学生归纳出方法:
检验一个数值是不是某个方程的解,可以把这个数值代入方程,看方程左右两边是否相等,例如:
把x=50代入方程80×3.5+1.5x=355的左边,
得80×3.5+1.5×50=280+75=355
方程的左右两边相等,所以x=50是方程的解。
你能检验一下x=-27是不是方程
的解吗?
三、课堂练习教科书第73页练习第(3)(4)题。
补充:
小聪带了18元钱到文具店买学习用品,他买了5支单价为1.2元的圆珠笔,剩下的钱刚好可以买8本笔记本,问笔记本的单价是多少?
(用列方程的方法求解)建议:
采用小组竞赛的方法进行评议
小结与作业
1、课堂小结
我应该注意什么问题?
2、本课作业:
必做题:
教科书第73页第4
(1)、
(2)、(4)题;
3.2一元一次方程的讨论
(1)
教学目标
1、使学生经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型;学会合并(同类项),会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。
2、能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程.初步体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化。
教学重难点
分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。
教学过程
一、设置情境,提出问题
出示教科书76页问题1:
某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍。
前年这个学校购买了多少台计算机?
二、探索分析,解决问题
设问1:
如何列方程?
分哪些步骤?
师生讨论分析:
设未知数:
前年购买计算机x台;找相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台列方程:
x+2x+4x=140
设问2:
怎样解这个方程?
如何将这个方程转化为x=a的形式?
学生观察、思考:
根据分配律,可以把含x的项合并,即x+2x+4x=(1+2+4)x=7x
老师板演解方程过程
三、课堂练习学生练习课本上第77面练习1、2
四、拓广探索,比较分析
对于问题1还有不同的未知数的设法吗?
学生思考回答:
若设去年购买计算机x台,得方程
若设今年购买计算机x台,得方程
五、综合应用,巩固提高
一个黑白足球的表面一共有32个皮块,其中有若干块黑色五边形和白色六边形,黑、白皮块的数目之比为3:
5,问黑色皮块有多少?
学生思考、讨论出多种解法,师生共同讲评。
小结与作业
课堂小结
解方程的步骤及依据分别是:
合并和系数化为1;总量=各部分量的和
本课作业课本P82页习题2.2中1、3①②、4、6
3.2一元一次方程的讨论
(2)
教学目标
1、使学生掌握移项方法,学会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程;通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题。
2、使学生理解解方程的目标,体会解法中蕴涵的化归思想。
教学重难点:
分析实际问题中的相等关系,列出方程建立方程;会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程。
教学过程
一、提出问题
出示教科书77页问题2:
把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.这个班有多少学生?
二、分析问题
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路。
1、设未知数:
设这个班有x名学生
2、找相等关系:
这批书的总数是一个定值,表示它的两个等式相等.
3、列方程:
3x+20=4x-25…
(1)
设问1:
怎样解这个方程?
它与上节课遇到的方程有何不同?
学生讨论后发现:
方程的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25).
设问2:
怎样才能使它向x=a的形式转化呢?
学生思考、探索:
为使方程的右边没有含x的项,等号两边同减去4x,为使方程的左边没有常数项,等号两边同减去20.3x-4x=-25-20…
(2)
设问3:
以上变形依据是什么?
等式的性质1。
归纳:
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
师生共同完成解答过程。
设问4:
以上解方程中“移项”起了什么作用?
学生讨论、回答,
师生共同整理:
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边,使方程更接近于x=a的形式。
三、课堂练习学生练习课本上第79面练习
四、拓广探索,比较分析
对于问题1还有不同的未知数的设法吗?
学生思考回答:
若设去年购买计算机x台,得方程
若设今年购买计算机x台,得方程
五、综合应用,巩固提高
现在你能解答课本74页的习题2.1第6题吗?
补充:
有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人,如果送还了一条船,正好每条船坐9人,问这个班共多少同学?
小结与作业
课堂小结
1解方程的步骤及依据分别是:
移项(等式的性质1)合并(分配律)
系数化为1(等式的性质2)
2“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”表示同一量的两个不同式子相等。
本课作业必做题:
课本第82页习题2.2第2、3(3)(4)、7、8题
3.2一元一次方程的讨论(3)
教学目标
1、经历运用方程解决实际问题的过程,发展抽象、概括、分析和解决问题的能力。
学会探索数列中的规律,建立等量关系。
2、能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性。
教学重难点
探索并发现实际问题中的等量关系,并列出方程
教学过程
一、创设情境,提出问题
前几节课,我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题,其实许多数列、游戏活动中也蕴含着方程知识。
出示教科书79页例1:
有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243……其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?
二、分析问题
引导学生观察这列数有什么规律?
(从符号和绝对值两方面)学生讨论后发现:
后面一个数是前一个数的-3倍。
师生共同分析,完成解答过程:
解:
设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为-3x,第3个数为-3×(-3x)=9x根据这三个数的和是-1710,
得x-3x+9x=-1710合并,得7x=-243所以-3x=729
9x=-2187答:
这三个数是-243、729、-2187
引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。
学生讨论、分析:
探索规律,找出相等关系。
如有学生提出不同的设未知数的方法,同样给予鼓励。
三、课堂练习①三个连续的奇数的和是27,求这三个奇数。
②如果三个连续奇数的和是29,你能求出这三个奇数吗?
四、综合应用,巩固提高
在某月内,李老师要参加三天的学习培训,现在知道这三天的日期的数字之和是39.
1,培训时间是连续的三天,你知道这几天分别是当月的哪几号吗?
2,若培训时间是连续三周的周六,那这几天又分是当月的哪几号?
学生练习,讲评
小结与作业
课堂小结①你是怎样分析数列中的规律的?
②你学会判明方程的解是否合理吗?
本课作业必做题:
(1)课本第82页习题2.2第5、9题
(2)三个连续偶数的和是30,求这三个偶数。
选做题:
小明和小红做游戏,小明拿出一张日历:
“我用笔圈出了2×2的一个正方形,它们数字的和是76,你知道我圈出的是哪几个数字吗?
”你能帮小红解决吗?
3.2一元一次方程的讨论(4)
教学目标
1、使学生掌握一元一次方程的基本解发法;经历由实际问题抽象为方程模型的过程,进一步体会模型化的思想。
2、通过探究实际问题与一元一次方程的关系,感受数学的应用价值,提高分析问题,解决问题的能力。
教学重难点
探究实际问题与一元一次方程的关系。
教学过程
一、创设情境,提出问题
信息社会,人们沟通交流方式多样化,移动电话已很普及,选择经济实惠的收费方式很有理实意义。
出示教科书80页的例2;观察下列两种移动电话计费方式表:
全球通
神州行
月租费
50元/月
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
设计以下问题:
1、你能从中表中获得哪些信息,试用自己的话说说。
2、猜一猜,使用哪一种计费方式合算?
3、一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式各需交费多少元?
对于某个本地通通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗?
二、探索分析解决问题
学生充分,交流讨论、整理归纳:
解:
1、用“全球通”每月收月租费50元,此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费,根据累计通话时间按0.60元/分收通话费。
2、不一定,具体由当月累计通话时间决定。
3、
全球通
神州行
200分
130元
120元
300分
170元
180元
4,设累计通话t分,则用“全球通”要收费(50+0.4t)元,用“神州行”要收费0.6t元,如果两种计费方式的收费一样,则0.6t=50+0.4t移项得0.6t-0.4t=50合并,得0.2t=50系数化为1,得t=250
答:
如果一个月内通话250分,那么两种计费方式的收费相同。
三、综合应用,巩固提高
一个周末,王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游(旅费统一支付),联系了标价相同的两家旅游公司,经洽谈,甲公司给出的优惠条件是:
教师全部付费,学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是:
全部师生按八折付费,请你参谋