一元一次方程专题复习.docx

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一元一次方程专题复习

一元一次方程复习

专题一：

和差倍分问题

例题1：

一根绳子，第一次剪去它的一半多一米，第二次剪去剩下的一半少一米，最后剩下2.5米长,问：

这根绳子全长是多少米？

例题2：

两个长方形，大长方形与小长方形的长和宽之比都为2：

1，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，大长方形的宽比小长方形的宽多3厘米，求这两个长方形的面积？

例题3：

某公司今年的收入同去年比增长了20％，支出同去年比减少20％，而今年盈利（收入减去支出）为80万元，去年的盈利为30万元，问今年和去年的收入与支出分别是多少？

例题4：

孙子问爷爷：

“您今年多大年龄了啊？

”爷爷说：

“如果我再活现在岁数的三分之一，加上4岁，正好是100岁。

”问爷爷现在多少岁？

例题5：

粗蜡烛和细蜡烛的长短一样，粗蜡烛可以点6小时，细蜡烛可以点4小时，如果同时点燃这两支蜡烛，过了一段时间后，剩余的粗蜡烛比细蜡烛长2倍，问这两支蜡烛已点燃了多少时间。

专题二：

行积变化问题

例题1：

有一个底面积20×20长方体玻璃杯（已满水）向一个内底面积16×5，内高是10的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯的水的高度下降多少？

例题2：

有9×7×3长方体的蜡烛和棱长为5厘米的正方体蜡烛，现要把这两块蜡烛融化成直径为2厘米的圆柱形蜡烛，问此圆柱形蜡烛有多高？

（π≈3.14）

例题3：

一只乌鸦口渴需要喝水，来到一个底面积为5平方厘米圆柱体玻璃瓶且水面只有20厘米，要喝水需要30厘米高的水面，玻璃杯旁有堆石头，每块7.5克，每1立方厘米重5克，问需要多少石头乌鸦才能喝到水？

例题4：

两个容器共有48kg水，甲容器给乙容器加水一倍，然后乙容器又给甲容器加甲容器剩余水的一倍，则两容器的水量相等，问最初两个容器各有多少水？

专题三：

调配问题

例题1：

甲队人数为272人，乙队人数为196人，要使得乙队人数为甲队人数的1/3,应该怎样调配？

例题2：

甲队人数为57人，乙队人数75人，现从甲乙两队调出45人，使得甲队人数是乙队人数的1/2，应该怎样调配？

例题3：

某车间28人，生产螺丝和螺母，已知每人每天平均生产螺丝12个或螺母18个，一个螺丝配2个螺母，为了使每天的产品配套，怎么安排工人生产？

例题4：

甲、乙、丙三个加油站共存油340吨，其中甲：

乙＝1：

3，乙：

丙＝2：

3，问三个加油站各有多少油？

专题四:

余缺问题

例1：

两枝一样高的蜡烛,同时点燃后,第一枝蜡烛每小时缩短8cm,第二枝蜡烛每小时缩短6cm,2h后,第二枝蜡烛的高度是第一枝蜡烛的1.5倍,求这两枝蜡烛原来的高度?

例2：

有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，原有多少只鸽子和多少个鸽笼？

例3：

某中学组织同学们春游，如果每辆车坐45人，有15人没座位，如果每辆车坐60人，那么空出一辆车，其余车刚好座满，问有几辆车，有多少同学？

专题五:

数字问题

例1.

一个两位数,十位数字比个位数字的2倍多1，将这两个数字对调,所得的数比与原来小27,求原来的两位数.

例2.

一个三位数，从左至右的3个数字正好是从大到小排列的3个连续的正整数，这个数除以3所得的商比百位数字和个位数字交换位置后所得的新数小238，求原来的三位数.

例3.

一个三位数的个位数字是1，如果把这个1移到最左边的位置上，那么所得的新三位数的2倍比原数多15，求原来的三位数。

例4.

甲是两位数，乙是三位数，乙是甲的30倍，甲放在乙左边组成的五位数比乙放在甲左边组成的五位数少21681，求甲、乙两数。

专题六:

行程问题之航行问题

航行问题常用的等量关系是：

（1）顺水速度=静水速度+水流速度

（2）逆水速度=静水速度-水流速度（3）顺速—逆速=2水速；顺速+逆速=2船速（4）顺水的路程=逆水的路程问题1：

一架飞机飞行在两个城市之间,风速为24千米/时.顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时.求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.

问题2:

汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时。

已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？

分析：

本题是行程问题，但涉及水流速度，必须要掌握：

顺水速度=船速+水速逆水速度=船速－水速

解：

（直接设元）设甲、乙两地的距离为x千米等量关系：

逆水所用时间－顺水所用时间=1.5依题意得：

专题七:

行程问题之火车问题

例1.

某列车匀速前进，从它驶上300米的桥到完全通过，一共用了1/3min又知桥上一盏固定的灯光一直照射列车10s，求这列车的长度？

例题2：

甲乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米，两列火车相向而行，从相遇到全部错开需要9秒，问两列火车速度各是多少？

例3.

一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶，客车的长度是200m，货车的长度是280m，客车与货车的速度之比为5：

3，客车赶上货车的交叉时间是1min，求当相向行驶时交叉时间为多少？

例4.

甲乙两人分别后，沿着铁路反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，火车在甲身旁开过用了14秒，然后在乙身旁开过用了16秒，已知两人的步行速度均为3.6千米/小时，求火车的长度？

例题5：

从甲地到乙地，先下山后走平路。

某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，又以每小时9千米的速度通过平路，到乙地用了55分钟。

他回来时以每小时8千米的速度通过平路，又以每小时4千米的速度上山，回到甲地用了1.5小时。

求甲乙两地的距离。

例6：

已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解,那么满足条件的所有整数k的值为_________

专题八:

：

行程问题之钟表上的追及问题

新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。

例如：

在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：

（1）重合；

（2）成平角；（3）成直角。

许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。

实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。

因此上面这类问题也可看做追及问题。

通常有以下两种解法：

一.格数法

钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转

分格，分针一分钟转1个分格。

因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。

解析

（1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走

个分格。

因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程

，解得

。

所以3点16

分时，时针与分针重合。

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。

因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程

，解得

。

所以3点

分时，时针与分针成平角。

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。

此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程

，解得

。

所以3点

分时，时针与分针成直角。

二.度数法

对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。

故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。

解析

（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角度是6x°。

整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程

，解得

。

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。

此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程

，解得

。

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。

此时分针比时针多转了

，于是得方程

，解得

。

练一练

1.钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？

2.钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？

3.钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？

4.钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？

（参考答案：

1.9点49

分；2.5点43

或5点10

分；3.3点9

分或3点23

分；4.2点43

分。

）

专题九:

：

行程问题之环形跑到追及问题

知识要点

在封闭的环形道上（圆形）同向运动属于追及问题，反向运动属于相遇问题。

同时同地同向出发，其追及路程就是环形道一周的长。

例1一个圆形荷花池的周长为400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，现在甲在乙后面50米，甲第二次追上乙需要多少分钟？

例2甲、乙二人骑自行车从环形公路上的同一地点出发，背向而行。

现在已知甲走一圈的时间为75分钟，如果在出发后第50分钟甲、乙两人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？

例3有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙二人相背而行。

甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。

甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。

这个花圃的周长是多少米？

例4一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。

求他后一半路程用了多少时间？

例5一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。

这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。

它们每爬1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），就调头爬行。

那么，它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？

专题十:

工程问题

工程问题中，工作效率、工作时间、工作总量的关系是：

工作效率×工作时间＝工作总量

例:

如果一个人完成一项工程需8小时，则工作效率为1/8。

当总工程量不知道时，一般把总工程量看作1。

整理一批图书，由10个人共要做4小时完成，此时每人每小时的工作效率是______（1/40）

一项工程，由m个人共要n天完成，则每人每天的工作效率是_________.（1/mn）

例题1:

一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由两个工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？

例题2:

两根同样长的蜡烛，粗蜡烛可燃4小时，细蜡烛可燃3小时，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电同时吹灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的两倍，求停电时间。

例题3:

一项工程.甲单独做要9天完成,乙单独做要12天完成,丙单独做要15天完成,若甲,丙先做3天后.甲因故离开,由乙接替甲的工作,问还要多少天完成这项工程的5/6?

例题4:

整理一批数据，由一个人做需80小时完成，现在计划由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的3/4，怎样安排参与整理数据的具体人数？

拔高题:

用A型和B型机器生产同样的产品，已知：

5台A型机器一天的产量装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产量装满11箱后还剩1个。

每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品求每箱装多少个产品。

专题十一：

营销问题

●售价、进价、利润的关系：

商品利润＝商品售价—商品进价

●进价、利润、利润率的关系：

商品利润

利润率＝--------×100%

商品进价

●标价、折扣数、商品售价关系:

折扣数

商品售价＝标价×--------

10

●商品售价、进价、利润率的关系：

商品售价＝商品进价×（1+利润率）

试一试

1、500元的9折价是______元，x折是_______元.

2、某商品的每件销售利润是72元，进价是120，则售价是__________元.

3、某商品利润率13﹪，进价为50元，则利润是________元.

探索乐园

某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25﹪，另一件亏损25﹪，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?

1.盈利率、亏损率指的是什么？

2.这一问题情境中有哪些已知量?

哪些未知量?

如何设未知数?

相等关系是什么？

3.如何判断是盈是亏？

盈利：

售价大于进价

亏损：

进价大于售价

每件商品的利润=商品售价-商品成本价

商品利润

每件商品的盈利率=----------×100%

商品进价

商品亏损额

每件商品的亏损率=----------×100%

商品进价

相等关系：

售价=进价+利润（或-亏损额）

解：

设其中盈利25%的那件衣服进价为x元，它的商品利润是0.25x元,根据进价与利润的和等于售价,列得方程___________,解得x=___,设另一件衣服的进价为y元,它的商品利润是-0.25y元，列出方程是____________，解得y=___。

x＋25﹪x＝60

y－25﹪y＝60

两件衣服的进价是x+y=___元，而两件衣服的售价是60+60=120元，进价__于售价，由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是_______.

例2:

某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%,则该商品的标价为多少元？

分析思路：

售价－进价＝利润＝进价×利润率

解：

设该商品的标价为x元，根据题意可知：

0.8x－1980=1980×10%

解之得：

x=2722.5（元）

答：

该商品标价为2722.5元．

小试牛刀

1.某商场一天内销售两种服装的情况是，甲种服装共卖1560元，乙种服装共卖得1350元，若按两种服装的成本分别计算，甲种服装盈利25%，乙种服装亏本10%，试问该商场这一天是盈利还是亏本？

盈或亏多少元？

2.一商店把某商品按标价的九折出售，则可获利25元，若按标价的八折出售则亏损20元，问该商品的进价是多少元？

3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可降多少元出售此商品？

4.在我们的身边有一些股民，在每一次的股票交易中是或盈利或亏损。

某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出1500元，盈利20%，乙种股票卖出1600元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损?

盈利或亏损多少元?

专题十二:

决策问题

小江一家三口准备国庆节外出旅游．现有两家旅行社，它们的收费标准分别为：

甲旅行社：

大人全价，小孩半价；

乙旅行社：

不管大人小孩，一律八折．

这两家旅行社的基本价一样．你认为应该选择哪家旅行社较为合算？

解：

设每人的收费标准为x元，则由题意可知：

甲旅行社需要花：

x+0.5x=2.5x（元）

乙旅行社需要花（x+x+x）×8=2.4x（元）

因为：

2.5x>2.4x，所以选择乙旅行社较合算。

例1:

两种移动电话计费方式表

问题:

什么情况下用“全球通”优惠一些?

什么情况下用“神州行”优惠一些?

（1）一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式各须交费多少元?

（2）对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗?

交费=月租费＋当月通话时间×单价（元/分）

全球通

神州行

月租费

50元/月

0

本地通话费

0.40元/分

0.60元/分

全球通

神州行

200分

300分

0.6t=50＋0.4t

解此方程得:

0.2t=50

∴t=250

答:

如果一个月内通话250分,那么两种计费方式相同.

例2:

小明想在两种灯中选购一种,其中一种是11瓦（即0.011千瓦）的节能灯,售价60元;另一种是60瓦（即0.06千瓦）的白炽灯,售价3元.两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同（3000小时以上）.节能灯售价较高,但是较省电;白炽灯售价低,但是用电多.如果电费是0.5元/（千瓦时）,选哪种灯可以节省电费（灯的售价加电费）?

分析:

问题中有基本等量关系:

总费用

售价

电费

节能灯

60元

白炽灯

3元

由两组数值可以说明,照明时间不同,为了省钱而选择用哪种灯的答案也不同.

费用=灯的售价＋电费;如果取t=2500呢?

请你算一算节能灯与白炽灯哪个费用较低?

电费=0.5×灯的功率（千瓦）×照明时间（时）.

（1）设照明时间为t小时,则

0.5×0.011t

60＋0.5×0.011t

3＋0.5×0.06t

0.5×0.06t

（2）用特殊值试探:

如果取t=2000时,

节能灯的总费用为:

60＋0.5×0.011t=60＋0.5×0.011×2000=71;

白炽灯的总费用为:

3＋0.5×0.06t=3＋0.5×0.06×2000=63;

解:

设照明时间为t小时,则节能灯的总费用为[60＋0.5×0.011t]元;白炽灯的总费用为[3＋0.5×0.06t]元;

如果两个总费用相等,则有

60＋0.5×0.011t=3＋0.5×0.06t

解此方程得:

t≈2327（小时）

因此我们可以取t=2000小时和t=2500小时,分别计算节能灯和白炽灯的总费用

当t=2000时,

节能灯的总费用为:

60＋0.5×0.011t=60＋0.5×0.011×2000=71;

白炽灯的总费用为:

3＋0.5×0.06t=3＋0.5×0.06×2000=63;

当t=2500时,

节能灯的总费用为:

60＋0.5×0.011×2500=73.75;

白炽灯的总费用为:

3＋0.5×0.06×2500=78;

因此由方程的解和试算判断:

在t<2327小时时,选择白炽灯优惠一些;

在t=2327小时时,两种等的总费用一样;

在t>2327小时而不超过使用寿命时,选择节能灯优惠一些.

例2:

小明想在两种灯中选购一种,其中一种是11瓦（即0.011千瓦）的节能灯,售价60元;另一种是60瓦（即0.06千瓦）的白炽灯,售价3元.两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同（3000小时以上）.节能灯售价较高,但是较省电;白炽灯售价低,但是用电多.如果电费是0.5元/（千瓦时）,选哪种灯可以节省电费（灯的售价加电费）?

问题:

如果灯的使用寿命都是3000小时,而计划照明3500小时,则需要购买两个灯,试设计你认为能省钱的选灯方案.你的方案的总费用是多少?

参考方案:

买白炽灯和节能灯各一只,用白炽灯照明500小时,节能灯照明3000小时.

在这种方案中的总费用为:

60＋0.5×0.011×3000＋3＋0.5×0.06×500

=60＋16.5＋3＋15

=94.5（元）

练一练：

1:

某工厂出售一种产品，其成本价为每件28元，若直接由厂家门市部销售，每件产品售价35元，消耗其他费用每月2100元，若委托商店销售，出厂价每件32元

（1）求在这两种销售方式下，每月售出多少件时，所得利润平衡；

（2）若销量每月达到1000件时，采用哪一种销售方式取得利润较多？

水费问题：

我市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：

每月每户用水不超过10吨部分按0.45元／吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.8元／吨收费，超过20吨部分按0.50元／吨收费，某月甲户比乙户多交水费3.75元，已知乙户交水费3.15元．

问：

（1）甲、乙两户该月各用水多少吨？

（自来

水按整吨收费）

（2）根据你家用水情况，设计出最佳用水方案．

补充：

某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米的污水派出，所以为净化环境工厂计划了两种处理水的方案

方案一：

工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用费用为2元，并且每月排污设备损耗费30000元、

方案二：

工厂将污水排到污水长统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：

你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下会选择哪种处理污水的方案？

请通过计算加以说明。