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最新第四章图形的初步认识能力培优资料
第4章图形的初步认识
4.1生活中的立体图形
专题一立体图形的认识
1.如图是将三角形绕直线l旋转一周得到的，那么可以得到图中所示立体图形的是（ ）
ABCD
2.一个蛋筒冰淇淋类似于体，有个面，其中有个平面，有个曲面．
3.如图，这个几何体的名称是；它由个面组成；它有个顶点；经过每个顶点有条边，它（填“是”或“不是”）多面体．
五棱柱
专题二立体图形的计算
4.嫦娥一号卫星在未打开太阳翼时，外形是长222厘米、宽172厘米、高220厘米的长方体．若在表面包裹1厘米厚的防震材料层，在这外面还有1厘米厚的木板包装箱，则木板包装箱所
需木材的体积至少是（ ）立方厘米．
A．224×174×222﹣222×172×220B．223×173×221﹣221×171×219
C．225×175×223﹣224×174×222D．226×176×224﹣224×174×222
5.用边长为1的小正方体粘合成如图所示的模型，要在模型表面上涂油漆（粘合部分
和底面不涂），求模型的涂漆面积．
状元笔记
【知识要点】
1.常见的立体图形：
生活中的很多物体都可以看作立体图形，常见的立体图形有柱体、锥
体和球体等.
常见的柱体可以分为圆柱、棱柱，常见的锥体可以分为圆锥、棱锥.
2.多面体：
围成棱柱、棱锥等立体图形的每一个面都是平的，这样的立体图形，又称为多
面体.
【温馨提示（针对易错）】
对立体图形分类时要注意把握特征，做到不重不漏、标准统一.
【方法技巧】
要注重对生活实例的观察，感受具体事物抽象出立体图形的过程；对易混的概念，要通过比较掌握其异同.
答案
1.B
2.圆锥211
3.五棱柱，7，10，3，是
4.D【解析】由题意知木板包装箱所需木材的体积至少=木板包装箱外形的体积﹣防震材料层外形的体积=226×176×224﹣224×174×222，故选D
5.【解析】顶层5个面外漏，5个面被涂漆；二层2个正方体外漏，6个侧面和2﹣1=1个顶面，7个面被涂漆；三层8个正方体外漏，12个侧面和8﹣2=6个顶面，18个面被涂漆．
解：
图形中11个正方体共有11×6=66（个）面；
被涂漆面共有：
5+7+18=30（个）；
所以被涂漆的表面积为30×1×1=30．
答：
模型的涂漆面积为30．
4.2立体图形的视图
专题一投影与视图
1.幻灯机的投影是（ ）
A．平行投影B．中心投影
C．平行投影或中心投影D．以上均不是
2.下列实例中不是中心投影的是（ ）
A．工程图纸B．小孔成像C．相片D．人的视觉
3.下面说法正确的是（ ）
①长方形的平行投影一定是长方形；
②梯形的平行投影一定是梯形；
③两相交的直线的平行投影可能是平行的；
④如果一个三角形的平行投影是三角形，那么平分它面积的一条直线的平行投影也一定平分这个三角形平行投影的面积．
A．①②B．④C．②③D．①④
专题二物体的三视图
4.如图①是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分，得到一个工件如图②．对于这个工件，俯视图、主视图依次是（ ）
A．c，aB．c，dC．b，dD．b，a
5.如图是一个几何体的三视图，根据图示，可计算出该几何体的侧面积为．
104π
6.用小立方体搭成的几何体，主视图和俯视图如图，问这样的几何体有多少可能？
它最多需要多少小立方体，最少需要多少小立方体？
请画出最少和最多时的左视图.
状元笔记
【知识要点】
1.投影：
物体在光线下的影子称为投影，当光线是从一点发出时，这种投影为中心投影；当光线是平行光线时，这种投影称为平行投影.
2.视图：
视图是一种特殊的平行投影.从正面进行平行投影，得到的投影称为主视图；从上面进行平行投影，得到的投影称为俯视图；从侧面进行平行投影，得到的投影称为侧视图，依投影方向的不同，有左视图和右视图.
3.三视图：
通常将主视图、俯视图与左（或右）视图称作一个物体的三视图.物体与其三视图可以相互唯一确定.
【温馨提示（针对易错）】
1.画物体的视图时，要搞清投影的方向，看不到的轮廓线要画成虚线.
2.物体的摆放位置不同，其视图也会有区别.
【方法技巧】
1.判断中心投影和平行投影，关键在于区别得到投影的光线是从一点发出的、还是互相平行的.
2.解决三视图和物体的转换问题时，要学会想象，从不同方向进行平行投影，可能得到什么结果，多结合实物变换角度观察，在实践中提高想象能力.
答案
1.B【解析】中心投影有一个固定的投影中心，原象和象连线都经过该中心，其光线是由一点向四周扩散的，正好与幻灯机的投影原理相吻合，幻灯机的投影是以灯头为光源点向四周发散的．所以选B．
2.A
3.B【解析】当长方形和投影面垂直时，矩形的平行投影可以是一条线段，①错误；当梯形和投影面垂直时，梯形的投影可以是一条线段，②错误；两条相交直线的平行投影一定相交，③错误；根据平行投影的性质，显然④正确．故选B．
4.D【解析】从物体上面看是一个三角形，比较b，c，应该是b；从物体正面看，是一个直角梯形，是a．故选D．
5.104π【解析】该几何体是一个底面直径为8，高为13的圆柱体，其侧面积为：
8π×13=104π．
6.【解析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4个，由主视图可得第二层最少为2个，最多的正方体的个数为3个，第三层只有一个，相加即可．
解：
有两种可能.
由主视图可得：
这个几何体共有3层；由俯视图可得：
第一层正方体的个数为4个，由主视图可得第二层最少为2个，最多的正方体的个数为3个，第三层只有一个，
故：
最多为3+4+1=8（个）小立方块，最少为2+4+1=7（个）小立方块．
最多时的左视图是：
最少时的左视图为：
4.3立体图形的表面展开图
4.4平面图形
专题一立体图形的表面展开图
1.如图是一个正四面体，现沿它的棱AB、AC、AD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
ABCD
2.如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同（填序号）.
3.某包装盒的展开图，尺寸如图所示（单位：
cm）．
（1）写出这个几何体的名称.
（2）求这个包装盒的表面积．
专题二认识平面图形
4.如图是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（ ）
A．①⑤B．②④C．③⑤D．②⑤
5.如图，图中共有10
个梯形，图中四边形的对角线共有条、六边形的对角线
共有条．
状元笔记
【知识要点】
1.立体图形的表面展开图：
有些立体图形的表面，可以展开成平面图形，这个平面图形称
为相应立体图形的表面展开图.同一个立体图形，按不同方式展开得到的表面展开图是
不同的.
2.正方体的表面展开图：
共有11种展开图，分以下类型——
（1）141型，共6种；
（2）
231型，共3种；（3）222型，只有1种；（4）33型，只有1种.
3.平面图形：
分为由曲线围成的和线段围成的，圆是由曲线围成的平面图形，由线段围成
的平面图形叫做多边形，按组成多边形的边的条数，多边形可以分为三角形、四边形、
五边形、六边形……
三角形是最基本的多边形，每一个多边形可以用不同方法分割成若干个三角形.
【温馨提示（针对易错）】
1.并非所有的立体图形都能展开成平面图形.
2.把多边形分割成三角形时，要正确审题、搞清分割要求.
【方法技巧】
1.亲自动手操作是提高空间想象能力的好方法，可以“先想象，然后操作，再回顾”.
2.正方体的表面展开图中一定不包含“7”、“凹”、“田”形结构.
3.图形记数的关键是不重不漏，要按照一定的规律，有次序、有条理地数.
答案
1.B
2.
（2）（4）【解析】∵
（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是⊙；
（2）菱形
对面是×，⊙对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，
正方形，菱形）；（3）菱形对面是×，⊙对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，
左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；（4）菱形对面是×，⊙对面是※，+对面是
正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．∴两个完全相
同的是
（2）（4）．
3.【解析】
（1）根据题中包装盒的展开图为两个圆和一个矩形，可知几何体为圆柱；
（2）要求包装盒的表面积即要求圆柱的表面积，即要求圆柱的侧面积加上两个底面的面
积，由图形找出圆柱的底面半径r及高h，根据圆柱的侧面积公式及圆的面积公式，即
可求出表面积．
解：
（1）根据图形得到这个几何体为圆柱.
（2）由图形可知：
圆柱的底面半径r=5cm，高h=20cm，
∴S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2=200π+50π=250π（cm2）．
4.D【解析】分析原图可得：
原图由②⑤两种图案组成．故选D．
5.10，9，3【解析】由图形的特点可知，一个平行四边形和一个三角形可组成一个梯形，
且图形中的梯形的形状、大小相同，共有10个梯形；四边形的对角线共9条（都是平行
四边形的）；六边形只有一个，其对角线共有3条.
4.5最基本的图形——点和线
专题一认识点和线
1.经过四个点中的每两个点画直线共可以画（ ）
A．2条，4条或5条B．1条，4条或6条
C．2条，4条或6条D．1条，3条或6条
2.如图，数轴上有6个点，且相邻两点间的距离都相等，则与D点所表示的数最接近的整
数是．
3.如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小．
专题二比较线段的长短
4.如图，点A、B、C、D在同一直线上，下列语句错误的是（ ）
A．直线AC和BD是不同的直线
B．AD=AB+BC+CD
C．射线DC和DB是同一条射线
D．射线BA和BD不是同一条射线
5.如图，若C是线段AB的中点，D是线段AC上的任一点（端点除外），则（ ）
A．AD•DB＜AC•CB
B．AD•DB=AC•CB
C．AD•DB＞AC•CB
D．AD•DB与AC•CB大小关系不确定
6.如图，粗线和细线是公交车从体育馆到少年宫的两条行驶路线．
（1）比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
（2）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，假设出租车的收费标准为：
起步价为7元，3千
米以后每千米1.8元，用代数式表示出出租车的收费m元与行驶路程s（s＞3）千米之
间的关系；
（3）如果这段路程长4.5千米，小丽身上有10元钱，够不够呢？
专题三与点和线有关的探究题
7.直线上有2010个点，我们进行如下操作：
在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有16073个点．
8.一条直线上有若干个点，以任意两点为端点可以确定一条线段，线段的条数与点的个数
之间的对应关系如下表所示．请你探究表内数据间的关系，根据发现的规律，则表中
n=21
．
点的个数
2
3
4
5
6
7
线段的条数
1
3
6
10
15
n
状元笔记
【知识要点】
1.点、直线、射线、线段：
（1）意义：
点通常表示一个物体的位置；直线是直的，并且是向两个方向无限延伸的线．直
线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫射线的端点．直线上两个点和它们之间的部
分叫线段，这两个点叫线段的端点．
（2）表示：
一个点可以用一个大写字母表示；一条直线可以用一个小写字母表示，也可
以用在这条直线上的两个点来表示；一条射线可以用端点和射线上另一点来表示（表示
端点的字母要写在前面），也可以用一个小写字母来表示；一条线段可用表示它端点的
两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示.
（3）性质
①过一点的直线有无数条，一条直线上有无穷多个点．
②直线公理：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单的说成：
过两点有
且只有一条直线．
③线段公理：
两点之间，线段最短．
2.两点间的距离：
连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．
3.比较线段的大小：
线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
4.线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.
【温馨提示（针对易错）】
表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段.
直线和射线无长度，线段有长度；直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．
【方法技巧】
当一点是给定的一条线段的中点时，可以得出三个数学式子，解题时要灵活运用.
答案
1.B【解析】如图，分以下三种情况：
故经过四个点中的每两个点画直线共可以画1条，4条或6条．故选B．
2.2【解析】数轴上标出了6个点，相邻两点之间的距离都相等．已知点A表示﹣5，
点F表示7，∴AF=|7﹣（﹣5）﹣|=12，∴相邻两点之间的距离=12÷5=2.4，∴点D表
示的有理数是﹣5+2.4×3=2.2，∴与D点所表示的数最接近的整数是2．
3.【解析】要使OM+ON的值最小，只需M、N、O三点共线即可．
解：
∵两点之间线段最短，
∴所求的点与M、N两点同线时，它到点M、N的距离最小，
∴连接MN．MN与a的交点O即为所求．
4.A
5.A【解析】因为AB=AC+BC，BD=BC+CD，又因为AC=BC，那么可得出：
AD•BD=（AC﹣CD）•（BC+CD）=AC•BC﹣CD2，因此AD•DB＜AC•CB，
故选A．
6.【解析】
（1）利用平移，可知两条路线的长相等；
（2）因为出租车的收费标准为：
起步价为7元，3千米后每千米为1.8元，
所以m=7+1.8（s﹣3）即m=1.8s+1.6（s＞3）；
（3）令s=4.5，将其代入m=1.8s+1.6，求出相应的m值，与10元作比较，即可解决
问题．
解：
（1）如图所示：
∵BH+GF+ED=AC，HG+FE+DA=BC，
∴粗线A→C→B和细线A→D→E→F→F→G→H→B的长相等．
（2）根据题意得：
m=7+1.8（s﹣3）=（1.8s+1.6）（元），即m=1.8s+1.6.
（3）当s=4.5时，m=7+1.8（4.5﹣3）=7+1.8×1.5=7+2.7=9.7＜10．
所以小丽能坐出租车由体育馆到少年宫．
7.16073【解析】第一次：
2010+（2010﹣1）=2×2010﹣1，
第二次：
2×2010﹣1+2×2010﹣2=4×2010﹣3，
第三次：
4×2010﹣3+4×2010﹣4=8×2010﹣7．
∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2010﹣7=16073个点．
9.21【解析】当有2个点时，确定的线段有1条；
当有3个点时，确定的线段有1+2=3条；
当有4个点时，确定的线段有1+2+3=6条；
…
当有n个点时，确定的线段有1+2+3+…+（n﹣1）=
条．
故有7个点时，确定的线段共
=21（条）．
4.6角
专题一认识角
1.从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（ ）
A．28B．21C．15D．6
2.2时32分时，时针与分针的夹角是116
度，这个角是一个角．
3.一艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC
的度数是度.
4.将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
∠α
∠β
∠C
∠θ
∠ABC
∠BAD
专题二角的比较和运算
5.若∠A=30°18′，∠B=30°15′30″，∠C=30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
6.如果∠AOB+∠BOC=180°，则∠AOB与∠BOC的平分线相交成直角或锐角
（填“直
角”、“钝角”或“锐角”）．
7.如图1，∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC=50°．
（1）指出图1中∠BOC的余角.
（2）求∠AOB和∠DOC的度数，∠AOB和∠DOC有何大小关系？
（3）若∠BOC的具体度数不固定，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？
说明理由．
（4）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余，还是互补关系？
（5）当∠BOD绕点O旋转到图2的位置时，（4）中的猜想还成立吗？
说明理由．
状元笔记
【知识要点】
1.角的定义：
（1）静态定义：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，
这两条射线叫做角的边．
（2）动态定义：
也可以把角看作是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线的端点
叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．我们
把射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部．
2.角的表示：
角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有以下
四种表示方法：
用数字表示单独的角，如图中的
1，
2，
3等．
用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图中的
等．
用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如图中的
等．
用三个大写英文字母表示任一个角，这时要把顶点字母写在中间，如图中的
等．
3.特殊的角：
（1）平角：
一条射线绕其端点旋转到角的终边和始边成一条直线时，所成的角叫平角.
1平角＝180°.
（2）周角：
一条射线绕其端点旋转到角的终边和始边再次重合时所成的角叫做周角．
1周角＝360°.
（3）锐角、直角、钝角：
大于0°且小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角；
大于90°且小于180°的角是钝角.
（4）方向角：
指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．一般记
为“北（或南）偏东（或西）××°”．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向
线成45°的角，此时的方向可以说成是“西（或东）北（或南）方向”.
4.角的度量：
把一个周角等分成360份，每一份就是1度的角，1度记作1°；把1度等分成60份，
每一份就是1分，记作1′；把1分再60等分等分成60份，每一份就是1秒，记作
1″．不是整数度数的角可以只用单位“度”表示，也可以同时用度、分、秒表示.
1°＝60′，1′＝60″.
5.角的比较和运算：
角的大小可以度量，可以比较大小．角可以参与运算．
6.角平分线：
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫
做这个角的平分线．
7.余角和补角：
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个
角的余角．
两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做
另一个角的补角．
同角或等角的余角相等，同角和等角的补角相等.
【温馨提示（针对易错）】
1.角的大小与边的长短无关．
2.用数字或小写的希腊字母或一个大写英文字母不能表示两个或几个小角拼成的角，用这
种方法表示角时，要在图中相应角的内部标清楚数字或小写希腊字母.
3.直线不是平角，射线不是周角.
4.角的运算中单位不统一时要先化单位再计算.
【方法技巧】
1.在复杂图形中数角的原则是不重不漏，要从某一条线开始，按照一定的顺序和方向进行.
2.角度的加减时要用相同的单位分别相加减，若被减数的分或秒不够减，要从上一级单位
里借1当60来用.
The鍙戣Chuai鍖?
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答案
1.B【解析】共有角的个数是
=21．故选B．
2.116°，钝【解析】如图，
分针由起始位置12开始，旋转了32分钟，∴共计6°×32=192°，时针由起始位置2开始，
旋转了192°×
=16°，∴时针与分针的夹角为192°﹣（30°×2+16°）=116°，它是钝角．
3.105
4.解：
由于以B为顶点的角只有一个，所以∠ABC直接用∠B表示；∠α、∠β、∠C可用
三个大写英文字母表示，即∠ADC、∠ADB、∠ACB；∠BAD可用一个希腊字母表示，
即∠γ；∠θ也可用三个大写字母表示，即∠CAD．
答案为：
∠B
∠γ
∠ADC
∠ADB
∠ACB
∠CAD
5.D【解析】∵∠C=30.25°=30°+0.25°，0.25°=0.25×60′=15′，，∴∠C=30°15′．
∵∠A=30°18′，∠B=30°15′30″，∴∠A＞∠B＞∠C．故选D．
6.直角或锐角【解析】如图
（1），
∠AOB与∠BOC的平分线相交成的角=
（∠AOB+∠BOC）=90°；
如图
（2），∠AOB与∠BOC的平分线相交成的角=
（∠AOB﹣∠BOC）＜90°．
故∠AOB与∠BOC的平分线相交成直角或锐角．
7.解：
（1）图1中∠BOC的余角是∠AOB、∠DOC.
（2）∠AOB＝∠AOC－∠BOC=90°－50°=40°，
∠DOC＝∠BOD－∠BOC=90°－50°=40°，所以∠AOB和∠DOC相等.
（3）这种关系仍然成立，理由是：
∠AOB和∠DOC都是∠BOC的余角.
（4）∠AOD与∠COB互补.
（5）当∠BOD绕点O旋转到图2的位置时，（4）中的猜想还成立.理由是：
∠AOC＋∠COB＋∠BOD＋∠AOD＝360°，所以∠AOD＋∠COB＝360°－∠AOC－
∠BOD＝360°－90°－90°＝180°，所以∠AOD与∠COB仍然互补.
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