全国一卷理科数学高考真题及答案7969.docx
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全国一卷理科数学高考真题及答案7969
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
x
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|31
}，则
A．AB{x|x0}B．ABRC．AB{x|x1}D．AB
2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．
1
4
B．
π
8
C．
1
2
D．
π
4
3．设有下面四个命题
p：
若复数z满足
1
1
z
R，则zR；p2：
若复数z满足
2
zR，则zR；
p：
若复数
3
z1,z2满足
zzR，则
12
zz；
12
p：
若复数zR，则zR.
4
其中的真命题为
A．
p1,p3B．p1,p4C．p2,p3D．p2,p4
4．记
S为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为
n
A．1B．2C．4D．8
5．函数f（x）在（,）单调递减，且为奇函数．若f
（1）1，则满足1f（x2）1的x的取值范
围是
A．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]
6．
1
6
（1）（1x）
展开式中
2
x
2
x的系数为
A．15B．20C．30D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10B．12C．14D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3
n-2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入
A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1000和n=n+2
9．已知曲线C1：
y=cosx，C2：
y=sin（2x+
2π
），则下面结论正确的是
3
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度，得
6
到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
个单位长度，
12
得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度，得
6
到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
个单位长度，
12
得到曲线C2
2
10．已知F为抛物线C：
y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
xyz
11．设xyz为正数，且235
，则
A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列1，1，2，1，2，
4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是
20，21，22，依此类推。
求满足如下条件的最小整数N：
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。
那么该
款软件的激活码是
A．440B．330C．220D．110
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.
x2y1
14．设x，y满足约束条件2xy1，则z3x2y的最小值为.
xy0
15．已知双曲线C：
22
xy
221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线
ab
C的一条渐近线交于M、N两点。
若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
D、E、F为圆O
上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以
BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变
化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为_______。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
2
a
3sin
A
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量
其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布
2
N（,）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件
数，求P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
经计算得
161616
111
2222
xx，
9.97sxxxx，其中xi为抽取
（）（16）0.212
i
ii
16
1616
i1
i1i1
的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．
用样本平均数x作为的估计值?
，用样本标准差s作为的估计值?
，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？
剔除（?
3?
?
3?
）之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：
若随机变量Z服从正态分布N（,2），则P（3Z3）0.9974，
16
0.99740.9592，0.0080.09．
20.（12分）
已知椭圆C：
22
xy
22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
ab
3
2
），P4（1，
3
2
）中恰有
三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：
l
过定点.
21.（12分）
已知函数（fx）ae2x+（a﹣2）e
2x+（a﹣2）e
x
﹣x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x
y
3cos,
sin,
（θ为参数），直线l的参数方程为
xa4t,（t为参数）.y1t,
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
19.A2．B3．B4．C5．D6．C
7．B8．D9．D10．A11．D12．A
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2314．-515．
23
3
16．
3
15cm
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
2
a
3sin
A
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
解：
（1）
由题意可得
2
1a
SbcsinA
ABC
23sin
A
，
化简可得
22
2a3bcsinA，
根据正弦定理化简可得：
222
2sinA3sinBsinCsinAsinBsinC。
3
（2）
由
2
sinBsinC
cosBcosC
12
3
cosAcosABsinBsinCcosBcosCA
123
6
，
因此可得
BC，
3
将之代入
2
sinBsinC中可得：
3
31
2
sinCsinCsinCcosCsinC0，
322
化简可得
3
tanCC,B，
366
_
利用正弦定理可得sin313
a
bB
sinA2
3
2
，
同理可得c3，
故而三角形的周长为323。
20.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值.
（1）证明：
AB//CD,CDPDABPD,
又ABPA,PAPDP,PA、PD都在平面PAD内，
故而可得ABPAD。
又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。
（2）解：
不妨设PAPDABCD2a，
以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标：
P0,0,2a,A2a,0,0,B2a,2a,0,C2a,2a,0，
因此可得PA2a,0,2a,PB2a,2a,2a,PC2a,2a,2a，
假设平面PAB的法向量
n1x,y,1，平面PBC的法向量n2m,n,1，
故而可得
nPA2ax2a0x1
1
nPB2ax2ay2a0y0
1
，即n11,0,1，
同理可得
nPC2am2an2a0m0
2
nPB2am2an2a0n
2
2
2
，即
2
n0,,1。
2
2
_
因此法向量的夹角余弦值：
13
cosn,n。
12
3
3
2
2
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为
3
3
。
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量
其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布
2
N（,）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件
数，求P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.279.9110.1310.029.2210.0410.059.95
经计算得
161616
1
11
2222
xx，
9.98s（xx）（x16x）0.212，其中xi为抽取
i
ii
16
1616
i1
i1i1
的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．
用样本平均数x作为的估计值?
，用样本标准差s作为的估计值?
，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？
剔除（?
3?
?
3?
）之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：
若随机变量Z服从正态分布
2
N，则P（3Z3）0.9974，
（,）
16
0.99840.9592，0.0080.09．
解：
（1）
16
PX11PX010.997410.95920.0408
由题意可得，X满足二项分布X~B16,0.0016，
因此可得EX16,0.0016160.00160.0256
（2）
○1由
（1）可得PX10.04085%，属于小概率事件，
故而如果出现（3,3）的零件，需要进行检查。
○2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606，
故而在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。
此时：
21.169.22
x10.02，
15
15
1
15i
1
xx0.09。
10.28（12分）
已知椭圆C：
22
xy
22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P
3（–1，
ab
3
2
），P4（1，
3
2
）中恰有
三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：
l
过定点.
解：
（1）
根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，
3
2
）不可能同时在椭圆上，
P3（–1，
3
2
），P4（1，
3
2
）一定同时在椭圆上，
因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（–1，
3
2
），P4（1，
3
2
），
代入椭圆方程可得：
13
b1,1a2
2
a4
，
故而可得椭圆的标准方程为：
2
x
4
21
y。
（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，
不妨设直线P2A为：
ykx1,P2B为：
y1kx1.
ykx1
联立
2
x
4
2
y1
22
4k1x8kx0
，
假设
Ax1,y1，Bx2,y2此时可得：
2
2
8k14k81k141k
A,,B,
2222
4k14k141k141k1
，
22
141k14k
此时可求得直线的斜率为：
k
AB
22
4k1
yy
41k1
21
xx81k8k
21
22
4k1
41k1
，
化简可得
k
AB
1
12k
2
，此时满足
1
k。
2
○1当
1
k时，AB两点重合，不合题意。
2
○2当
1
k时，直线方程为：
2
2
18k14k
yx
222
4k14k1
12k
，
即
y
2
4k4k1x
2
12k
，当x2时，y1，因此直线恒过定点2,1。
22.（12分）
已知函数（fx）ae2x+（a﹣2）e
2x+（a﹣2）e
x
﹣x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
解：
（1）对函数进行求导可得
2xxxx
f'x2aea2e1ae1e1。
xx
○1当a0时，f'xae1e10恒成立，故而函数恒递减
○2当a0时，
xx
f'xae1e10xln
1
a
，故而可得函数在
ln
1
a
上单调递
减，在
1
ln,
a
上单调递增。
（2）函数有两个零点，故而可得a0，此时函数有极小值
11
flnlna1
，
aa
要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，
故而可得
1
lna10a0
a
，令
1
galna1
a
，
对函数进行求导即可得到
a1
g'a0
2
a
，故而函数恒递增，
又g10，
1
galna10a1
a
，
因此可得函数有两个零点的范围为a0,1。
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x
y
3cos,
sin,
（θ为参数），直线l的参数方程为
xa4t,（t为参数）.y1t,
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.
解：
将曲线C的参数方程化为直角方程为
2
x
9
21
y，直线化为直角方程为
11
yx1a
44
（1）当a1时，代入可得直线为
13
yx，联立曲线方程可得：
44
13
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