全国一卷理科数学高考真题及答案7969.docx

1、全国一卷理科数学高考真题及答案79692017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1已知集合 A= x| x1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中， 可以分别填入AA1 000 和 n=n+1 BA1 000 和 n=n+2 CA 1 000 和 n=n+1 DA 1 000 和 n=n+29已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2 x+2) ，则下面结论正确的是3A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单

2、位长度，得6到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，12得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得6到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，12得到曲线 C2210已知 F为抛物线 C：y =4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C交于 A、B两点，直线 l 2 与 C交于 D、E两点，则 | AB|+| DE| 的最小值为A16 B14 C12 D10x y

3、 z11设 xyz 为正数，且 2 3 5，则A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x100且该数列的前N项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是A440 B330 C 220 D110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a， b 的夹角为 60， | a|=2 ，| b|=1 ，则| a +2 b |= .x 2y 114设x，y 满足约束条件 2x y 1，则z 3x 2y 的最小值为 .x y 015已知双曲线 C：2 2x y2 2 1（a0，b0）的右顶点为 A，以 A为圆心， b 为半径做圆 A，圆 A与双曲线a bC的一

4、条渐近线交于M、N两点。若 MAN=60，则C的离心率为 _。16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。D、E、F 为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA， AB为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm 3）的最大值为 _。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要

5、求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分） ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ABC的面积为2a3sinA（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求 ABC的周长.18. （ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB/CD，且 BAP CDP 90 .（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验

6、，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N( , ) （1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数，求 P( X 1)及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.2

7、2 10.04 10.05 9.95经计算得16 16 161 1 12 2 2 2x x ，9.97 s x x x x ，其中 xi 为抽取( ) ( 16 ) 0.212ii i1616 16i 1i 1 i 1的第 i 个零件的尺寸， i 1, 2, ,16 用样本平均数 x 作为 的估计值 ?，用样本标准差 s作为 的估计值 ?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据， 用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01 ）附：若随机变量 Z 服从正态分布 N( , 2 ) ，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，160.997 4

8、 0.959 2 ， 0.008 0.0920. （12 分）已知椭圆 C：2 2x y2 2 =1（ab0），四点 P1（1,1 ），P2（0,1 ），P3（1，a b32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C上.（1）求 C的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A，B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 1，证明： l过定点 .21. （12 分）已知函数 （f x) ae 2x+( a2) e2x+( a2) exx.（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23

9、 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为xy3cos ,sin ,（ 为参数），直线l 的参数方程为x a 4t , （t为参数）. y 1 t,（1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.23 选修4 5：不等式选讲 （10 分）已知函数 f （ x）= x 2+ax+4，g( x)=x+1+ x 1.（ 1）当 a=1 时，求不等式 f （ x） g（x）的解集；（ 2）若不等式 f （x） g（x）的解集包含 1，1 ，求 a

10、 的取值范围.2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。19. A 2B 3B 4C 5D 6C7B 8D 9D 10A 11D 12A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 2 3 14-5 152 3316315cm三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分） ABC的内角 A，

11、B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ABC的面积为2a3sinA（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求 ABC的周长 .解：（1）由题意可得21 aS bc sin AABC2 3sinA，化简可得2 22a 3bc sin A ，根据正弦定理化简可得：2 2 22sin A 3sin B sinCsin A sin B sinC 。3（2）由2sin B sinCcos B cosC1 23cos A cos A B sin B sinC cos B cosC A1 2 36，因此可得B C ，3将之代入2sin B sinC 中可得：33 12si

12、n C sin C sin C cos C sin C 0 ，3 2 2化简可得3tan C C ,B ，3 6 6_利用正弦定理可得 sin 3 1 3ab Bsin A 2 32，同理可得 c 3，故而三角形的周长为 3 2 3 。20. （12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB/CD，且 BAP CDP 90 .（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .（1）证明：AB / /CD , CD PD AB PD ,又 AB PA, PA PD P , PA、PD都在平面 PAD内，故而可得 AB P

13、AD 。又 AB在平面 PAB内，故而平面 PAB平面 PAD。（2）解：不妨设 PA PD AB CD 2a ，以 AD中点 O为原点， OA为 x 轴，OP为 z 轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标： P 0,0, 2a , A 2a,0,0 , B 2a,2 a,0 ,C 2a,2 a,0 ，因此可得 PA 2a,0, 2a ,PB 2a,2 a, 2a , PC 2a,2 a, 2a ，假设平面 PAB 的法向量n1 x, y,1 ，平面 PBC 的法向量 n2 m, n,1 ，故而可得n PA 2ax 2a 0 x 11n PB 2ax 2ay 2a 0 y 01，即 n1 1,

14、0,1 ，同理可得n PC 2am 2an 2a 0 m 02n PB 2am 2an 2a 0 n222，即2n 0, ,1 。22_因此法向量的夹角余弦值：1 3cos n ,n 。1 2 332 2很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为33。19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N( , ) （1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数，求 P( X 1)及 X 的

15、数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.27 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16 16 1611 12 2 2 2x x ，9.98 s (x x) ( x 16x ) 0.212，其中 xi 为抽取ii i1616 16i 1i 1 i

16、1的第 i 个零件的尺寸， i 1, 2, ,16 用样本平均数 x 作为 的估计值 ?，用样本标准差 s作为 的估计值 ?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据， 用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01 ）附：若随机变量 Z 服从正态分布2N ，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，( , )160.998 4 0.959 2 ， 0.008 0.09解：（1）16P X 1 1 P X 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408由题意可得， X满足二项分布 X B 16,0.0016 ，因此可得 EX 16,0.0

17、016 16 0.0016 0.0256（2）1 由（ 1）可得 P X 1 0.0408 5% ，属于小概率事件，故而如果出现 ( 3 , 3 ) 的零件，需要进行检查。2 由题意可得 9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606，故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时：21. 16 9.22x 10.02 ，1515115 i1x x 0.09 。10.28 （12 分）已知椭圆 C：2 2x y2 2 =1（ab0），四点 P1（1,1 ），P2（0,1 ），P3（1，a b32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C上.

18、（1）求 C的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A，B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 1，证明： l过定点 .解：（1）根据椭圆对称性可得， P1（1,1 ）P4（1，32）不可能同时在椭圆上，P3（1，32），P4（1，32）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过 P2（0,1 ），P3（1，32），P4（1，32），代入椭圆方程可得：1 3b 1, 1 a 22a 4，故而可得椭圆的标准方程为：2x42 1y 。（2）由题意可得直线 P2A与直线 P2B的斜率一定存在，不妨设直线 P2A为： y kx 1, P2B为： y 1 k x 1.y kx 1联立

19、2x42y 12 24k 1 x 8kx 0，假设A x1, y1 ， B x2, y2 此时可得：228k 1 4k 8 1 k 1 4 1 kA , ,B ,2 2 2 24k 1 4k 1 4 1 k 1 4 1 k 1，2 21 4 1 k 1 4k此时可求得直线的斜率为：kAB2 24k 1y y4 1 k 12 1x x 8 1 k 8k2 12 24k 14 1 k 1，化简可得kAB11 2k2，此时满足 1k 。 21 当1k 时，AB两点重合，不合题意。22 当1k 时，直线方程为：221 8k 1 4ky x2 2 24k 1 4k 11 2k，即y24k 4k 1 x2

20、1 2k，当 x 2时， y 1，因此直线恒过定点 2, 1 。22. （12 分）已知函数 （f x) ae 2x+( a2) e2x+( a2) exx.（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .解：（1）对函数进行求导可得2x x x xf x 2ae a 2 e 1 ae 1 e 1 。x x1 当 a 0 时， f x ae 1 e 1 0恒成立，故而函数恒递减2 当 a 0 时，x xf x ae 1 e 1 0 x ln1a，故而可得函数在,ln1a上单调递减，在1ln ,a上单调递增。（2）函数有两个零点，故而可得 a 0，此时函

21、数有极小值1 1f ln ln a 1，a a要使得函数有两个零点，亦即极小值小于 0，故而可得1ln a 1 0 a 0a，令1g a ln a 1a，对函数进行求导即可得到a 1g a 02a，故而函数恒递增，又g 1 0，1g a ln a 1 0 a 1a，因此可得函数有两个零点的范围为 a 0,1 。（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为xy3cos ,sin ,（ 为参数），直线 l 的参数方程为x a 4t , （t为参数）. y 1 t,（1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.解：将曲线 C 的参数方程化为直角方程为2x92 1y ，直线化为直角方程为 1 1y x 1 a 4 4（1）当 a 1时，代入可得直线为1 3y x ，联立曲线方程可得：4 4 1 3