3A8s时，电纳值小于零。
所以，随着频率的增加，导纳圆是沿顺时针方向变化的。
另外，
在串联谐振频率的附近，还存在着两个频率点使得换能器总的电纳为零，此时电源信号经过
换能器之后只有幅值的改变，而没有相位的变化，也即电压和电流信号同相位。
这两个频率中，值较小的那个频率fr称为谐振频率，较大fa的称为反谐振频率。
另外还存在使得换
能器的导纳值取得最大的频率fm,导纳值最小的频率fn。
连接原点和串联谐振频率点，与导纳圆的交点处的频率fp称为并联谐振频率。
另外，需要特别指出的是，上述讨论是在一个振动模态谐振频率8s附近较小的频率变
化范围内进行的，并且只有在导纳圆的直径远大于这个频率范围内6c0的变化时才是正确
的，否则换能器的导纳曲线将变得十分复杂，具有蔓叶曲线的特征。
根据以上导纳圆图的推导过程，下面介绍一下压电陶瓷换能器等效电路中各个参数和导
纳圆图的关系，并给出各自的计算公式。
在换能器的导纳圆图中作平行于纵轴的直径，交导纳圆于两点，分别记作f1、f2。
在f1
点处，串联支路的动态电导和电纳值相等，即Gi=Bi。
由式（2-2）可得:
/I1、
-（'iLi--）11c1
Ri2（/Li--7）2
1C1
在f2点处，串联支路的动态电导和电纳值相等，但符号相反，即Gi=-Bi。
由式（2-2）
结合式（2-5）和式（2-6）,可得:
再由式（2-4）可得:
（2-8）
C一二
5一2,s
动态电阻的值可以通过导纳圆的直径求得:
（2-11）
Ro=1D
式中V。
为圆心的纵坐标。
静态电阻Ro的值可由导纳圆偏离纵轴的距离（或圆心的横坐标）来确定:
（2-13）
Ro=^T
X。
一一
2R
式中X。
为圆心的横坐标。
至此，我们已得到压电陶瓷换能器等效电路中所有参数的计算公式。
2.3测量原理
在上一节中，得到的压电陶瓷换能器等效电路参数的计算公式都是基于导纳圆的，也即
是基于各个频率下的电导和电纳值的，因此我们需要得到每个频率点的导纳值。
为此采用图2-8所示的测量原理图进行测量。
图2-8压电陶瓷换能器测量原理示意图
图2-8中，AC为频率可控的交流信号源，R表示源内阻，Rm称为精密电阻，Ua为
UB相对于Ua会有一个
加在压电陶瓷换能器山的电压信号Ub为经过换能器之后的电压信号。
根据前面章节所介
绍的压电陶瓷的导纳特性可以知道，在经过换能器之后的电压信号幅度和相位的变化。
不失一般性，在这里设定:
UA=UAmej/UB=UBmej或城（2-14）
其中：
UAm,UBm分别表示两路信号的幅值，0为信号的角频率，e为信号的初始
相位，日为两路信号的相位差。
按照习惯表达，先求压电陶瓷换能器的阻抗，再取倒数得到导纳。
7UUa-Ub
一I一Ub
Rm
将式（2-14）代入得
=Rm[（U^mcos"-1）-jU^msin"]二RjXUBmUBm
对应得到：
R=Rm（U^mcOS0-1）,X=-RmUAm-sin9（2-15）
UBmUBm
再由导纳和阻抗的关系可得
11-
YGjB
ZRjX
由以上推导可以看出，换能器的导纳和阻抗值仅与加在其两端的电压信号的幅值比和相
位差有关，因此只需要得到两路信号的幅值和相位信息即可得到换能器等效电路的各个参
数。
而实际中，只需要对两路信号进行采样，再通过对采样所得数据进行处理便可得到幅值
和相位信息。
2.4正弦信号的测量方法
根据上一节介绍的测量原理可知，要得到压电换能器在测试频率下的电导和电纳值，就
需要测得其两端正弦信号的幅值比和相位差。
但是实际中，硬件电路实现的仅是对两路信号
的A/D转换采集，也即是得到的是两路正弦信号的一系列的离散的点。
在这一节中，将介绍从这些采集到的离散的点计算其幅值和相位的方法。
2.4.1数字相关法
随着微处理器和大规模集成电路的迅速发展，在测试系统中，越来越多的传统的测量方
法被数字化测量方法所取代。
近年来，由于相关函数法具有提高测试精度，减少或简化硬件
设计，能够充分利用测试系统中的数据采集系统和微型计算机，提高测试系统的可靠性和可
维护性的诸多优点，使得相关技术原理在相位差的测量及数字信号处理中得到了广泛应用，
并展现出良好的应用前景
1、相关函数法原理
相关函数法利用两同频正弦信号的延时为零时的互相关函数值与其相位差的余弦值成
正比的原理获得相位差。
设两路被测信号为：
Nx（t）、Ny（t）分别表
x（t）和y（t）是相关的,
x（t）=Asin（2兀ft）+Nx（t）,y（t）=Bsing+甲）+Ny（t）（2-17）
其中：
A、B分别表示两路信号的幅值，f表示信号的频率,
示两路信号的干扰噪声信号，十表示两路信号的相位差。
显然，信号则两路信号的互相关函数为:
1丁
Rxy（）0x（t）y（t）dt
T（2-18）
1T
Rxy（）=~0[Asin（2二ft）Nx（t）][Bsin（2二f（t））Ny（t）]dt
，，、，，，1
式中T为信号的周期，即T=-f
当七二0时，有
1T
Rxy（Q）=-10[Asin（2nft）+Nx（t）][Bsin（2nft+中）+Ny（t）]dt
由于噪声信号之间不相关，噪声和信号之间也不相关，将上式进一步展开得:
1T
Rxy=-oABsin（2二ft）sin（2二ft）dt
1T
=丁。
ABsin（2二：
ft）[sin（2「：
ft）cos『+cos（2「：
ft）sin]dt
1T
=0ABsin（2「:
ft）sin（2「:
ft）cosdt=
所以，可以得到相位差的计算公式：
1_
ABcos:
2
2Rxy（Q）=arccos（）
AB
（2-19）
而信号幅值的大小可由信号的自相关函数求得
1，1-
Rx（）2rx（t）x（t）dt2TAsin（2：
ft）Asin（2：
f（t））dt（2-2Q）
TWT-2
当。
二Q时，有
1ccc
Rx（Q）2rA2sin2（2ft）dt=
Tw
A2
2
所以可得信号幅值的计算公式：
AiJ2Rx（Q）（2-21）
B=.2Ry（Q）
将上式代入式（2-19）,可得相位差计算公式的另一种表达式:
邛=arccos（.Rxy（。
）=）Rx（Q）Ry（Q）
（2-22）
而在实际中，是没有完整精确的信号的表达式的，有的是对信号的模数转换所得到的离
散的数据，离散序列的自相关和互相关的计算公式如下:
1n」Rxy（0）-x（i）y（i）nt1n12
Rx（0）=—vx（i）（2-23）
ni包1n」2
Ry（0）J'y（i）2n-
式中：
n表示采样个数，i表示第i个采样点，x（i）、y（i）分别表示两路信号的第i个
点的转换得到数值。
由式（2-23）分别求出两路信号的自相关和互相关函数值之后，再由式（2-21）和式（2-22）
即可得到两路信号各自的幅值和它们之间的相位差。
但是，需要指出的是，由数字相关法求
得的相位差，并不能区分是超前还是滞后，这就需要采用其他方法来确定相位差符号的正负
号。
根据前面测量原理中的介绍，由式（2-15）和式（2-16）可知，压电陶瓷换能器的电导
值仅取决于两路信号相位差的余弦值，而电纳的值是在电导值取得最大的时候发生变号。
由
此，可以先求得电导的值，再通过循环找其最大值，并从使电导取得最大值时的相位差开始，
把相位差变号，得到新的相位差序列，再由新的相位差序列求电纳的值即可。
图2-9表示
的为采用数字相关法对一号压电换能器测量数据的处理结果，其中（a）表示的是导纳圆图，
（b）表示的是电导和电纳值随测试频率的变化曲线。
（a）（b）
图2-9数字相关法处理结果
2、相关函数法的特点及误差分析
通过上面对相关函数法测量原理的理论推导过程可以看出，相关函数法测量信号的幅值
和相位差与信号的频率无关。
也即是说相关函数法不受频率的影响，可以用来测量未知频率
的信号的相位差。
同时，相关函数法测量原理的推导都是基于正弦函数的，因此，它只能用
于测量正弦或余弦信号，并不能测量一般的周期信号。
由于噪声干扰信号和原信号并不相关，所以相关函数法能够有效的抑制噪声干扰。
但是,
如果在系统中存在相关性较强的干扰信号，并且信噪比又比较低的情况下，相关函数法测量
误差就会比较大。
由相关函数法离散序列的最终计算公式可以看出，其计算结果与采样的点
数有关，也即是说测量误差的大小与采样点数是相关的，采样点数越大，计算结果越接近真
实值，测量误差也就越小。
综合以上对相关函数法的特点的分析，可知相关函数法对于采样转换信号中的直流偏移
和噪声等干扰具有很强的抑制能力，它的误差主要是因为采用有限长度的样本代替了高斯白
噪声和均匀分布的A/D量化误差，使得被检正弦信号与噪声信号并非完全不相关。
所以，相关函数法的测量误差与A/D转换的位数、信号的信噪比和采集点数有关。
2.4.2快速离散傅里叶变换法
现代信号分析采用数字化方式实现，其核心是离散傅立叶变换，它完成了从时域到频域
的转换，不仅可以实现线性谱分析，而且还是均方谱分析的关键。
离散傅立叶变换（DFT）
实现了信号首次在频域表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理，但由于用于实际
时计算量太大而使应用受到限制。
直到1965年由Cooly和Tukey建立了一种快速傅立叶
变换一一FFT时，DFT的应用才成为现实
1、FFT获取正弦波幅值和相位的原理
设采集正弦信号得到的离散序列为x（n）,n=1,2,…KN。
则该序列的离散傅里叶变换为：
N」口洛
X（k）=DFT[x（n）]x（n）eN
n-0
N」2-：
k2-：
k
=x（n）[cos（n）-jsin（n）]=Re[X（k）]Im[X（k）]n=0NN
k=0,1,2,……N-1（2-24）
则其初始相位为：
r+/Re[X（k）]、|f°d
a-arctan（）,k二-1
Im[X（k）]fs
其中：
fs是信号的采样频率，N是采样长度。
在对时域离散序列进行傅立叶变换之后，可以得到其离散的幅度谱和相位谱，在幅度谱
和相位谱中找到对应时域波形的频率的谱线就可以得到时域的正弦波形的幅值和相位信息。
图2-10所示的是采用快速离散傅里叶变换法对采集到的数据处理的结果。
（a）（b）
图2-10快速离散傅里叶变换法处理结果
2、FFT的特点及误差分析
通过傅里叶变换可以只提取基波参数，因此谐波的存在并不影响基波成分，所以谐波的
存在对应用这种方法测量相位差几乎没有影响；对于噪声干扰，只有当高斯白噪声接近基波
的频率分量时才会影响到基波的相位，所以应用FFT法测量相位差也能有效地抑制高斯白
噪声干扰。
但是，实际上信号是连续的无限长的序列，用FFT对其进行谱分析时，必须截短形成有限长序列，再进行周期延拓，这样就不可避免的造成信号频谱的泄漏，由此便产生
了相位差测量误差。
误差现象主要是：
混叠现象、栅栏效应和截断效应。
要想减小相位差测量误差，就必须提高谱分辨率。
实际中可通过提高采样频率或者增加采样数据长度来提高谱分辨率，进而达到减小相位差测量误差的目的。
2.4.3正弦曲线参数拟合法
设被测的正弦信号为：
f（t）=A0Sin（2：
ft）D（2-25）
其中：
f表示信号频率，Ao表示被测信号幅值，中表示被测信号的初始相位角，D表
示被测信号的直流分量。
由于被测信号的频率为已知的，故只需对测得的数据进行三参数的
正弦曲线拟合，即可得到被测信号的幅值和相位信息。
为此，进一步将上式展开可得：
f=Asin（2ft）Bcos（2二ft）D（2-26）
其中：
A=A0cos,B=Aqsin：
从而将被测信号的幅值和初始相角转化为对参数A、B的求取。
其基本思想就是寻找合适的A、B和D的值，使得其测量残差的平方和取得最小。
、_，1,、
设每个频率下测量的时间序列为ti=',（i=1,2,3…n）,
fs
n为测量数据的个数，fs为采样
频率，fi为每个点的测量值。
则测量残差的表达式为:
n
一一一_2
=〉，[f（t）一Asin（2二fti）一Bcos（2二fti）一D]（2-27）
i4
要使得上式取得最小值，可对其参数求偏导，并令其为零。
即:
czd
AcA
d
■-=
田田
nn
/[f（i）-Asin（2Tifti）-Bcos（27if
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