高考数学空间几何高考真题.docx
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高考数学空间几何高考真题
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2017年高考数学空间几何高考真题
一．选择题（共9小题）
1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）
A．B．C．
D．
2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
则该圆柱的体积为（）
A．πB．C．D．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．60B．30C．20D．10
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2）5．某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积（单位：
cm
是（）
A．+1B．+3C．+1D．+3
6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为
AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，
D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A．90πB．63πC．42πD．36π
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1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三
角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中
有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10B．12C．14D．16
2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=12°0，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线
AB1与BC1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平
面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面
积为．
9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的
表面积为．
10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，
则这个球的体积为．
11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
体积为．
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12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．
三．解答题（共9小题）
13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=D，C∠APD=9°0，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱
锥的侧面积．
14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：
直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
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15．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：
AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且
AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长
分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=，2D
为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：
PA⊥BD；
（2）求证：
平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
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18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，
BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：
PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC
∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2C，BE为PD的中点．
（Ⅰ）证明：
CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
20．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，
四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：
A1O∥平面B1CD1；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：
平面A1EM⊥平面B1CD1．
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21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、
F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=D，C∠APD=9°0，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
4．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：
直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣
AB﹣D的余弦值．
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5．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=
∠CBD，AB=BD．
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两
部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，
点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：
M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为
棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=，4AB=2．
（Ⅰ）求证：
MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线
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段AH的长．
8．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在
直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
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2017年高考数学空间几何高考真题
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：
对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足
题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；
所以选项A满足题意，
故选：
A．
2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
则该圆柱的体积为（）
A．πB．C．D．
【解答】解：
∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球
面上，
∴该圆柱底面圆周半径r==，
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∴该圆柱的体积：
V=Sh==．
故选：
B．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
【解答】解：
法一：
连B1C，由题意得BC1⊥B1C，
∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1?
平面B1BCC1，
∴A1B1⊥BC1，
∵A1B1∩B1C=B1，
∴BC1⊥平面A1ECB1，
∵A1E?
平面A1ECB1，
∴A1E⊥BC1．
故选：
C．
法二：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），
A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），
∵?
=﹣2，=2，=0，=6，
∴A1E⊥BC1．
故选：
C．
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4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．60B．30C．20D．10
【解答】解：
由三视图可知：
该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积==10．
故选：
D．
2）5．某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积（单位：
cm
是（）
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A．+1B．+3C．+1D．+3
【解答】解：
由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的
高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，
故选：
A
6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为
AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，
D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
【解答】解法一：
如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．
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不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6），
Q，R，
=，=（0，3，6），=（，5，0），=，
=．
设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，
可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．
则cos==，取α=arccos．
同理可得：
β=arccos．γ=arccos．
∵＞＞．
∴α＜γ＜β．
解法二：
如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：
OE⊥PR，OF⊥PQ，
OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．
设OD=h．
则tanα=．
同理可得：
tanβ=，tanγ=．
由已知可得：
OE＞OG＞OF．
∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：
B．
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7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A．90πB．63πC．42πD．36π
【解答】解：
由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的
一半，
2×10﹣?
π?
32×6=63π，
V=π?
3
故选：
B．
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1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角
三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面
中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10B．12C．14D．16
【解答】解：
由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S梯形=×2×（2+4）=6，
∴这些梯形的面积之和为6×2=12，
故选：
B
2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=12°0，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线
AB1与BC1所成角的余弦值为（）
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A．B．C．D．
【解答】解：
【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，]），
可知MN=AB1=，
NP=BC1=；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ=1，MQ=AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB?
BC?
co∠sABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣）
=7，
∴AC=，
∴MQ=；
在△MQP中，MP==；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP===﹣；
又异面直线所成角的范围是（0，]，
∴AB1与BC1所成角的余弦值为．
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【解法二】如图所示，
补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；
BC1=，BD==，
C1D=，
∴+BD2=，
∴∠DBC1=90°，
∴cos∠BC1D==．
二．填空题（共5小题）
8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平
面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面
积为36π．
【解答】解：
三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，
若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得，解得r=3．
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球O的表面积为：
4πr2=36π．
故答案为：
36π．
9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的
表面积为14π．
【解答】解：
长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，
可知长方体的对角线的长就是球的直径，
所以球的半径为：
=．
则球O的表面积为：
4×=14π．
故答案为：
14π．
10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，
则这个球的体积为．
【解答】解：
设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a=，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即a=2R，
即R=，
则球的体积V=π?
（）
3=；
故答案为：
．
11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
体积为2+．
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【解答】解：
由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×1
2×1=，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，
故答案为：
2+．
12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．
【解答】解：
设球的半径为R，则球的体积为：
R3，
2?
2R=2πR3．圆柱的体积为：
πR
则==．
故答案为：
．
三．解答题（共9小题）
13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
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（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=D，C∠APD=9°0，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱
锥的侧面积．
【解答】证明：
（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=9°0，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB?
平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：
（2）设PA=PD=AB=DC=，a取AD中点O，连结PO，
∵PA=PD=AB=D，C∠APD=9°0，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，
∴VP﹣ABCD=
====，
解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=，2AD=BC=2，PO=，
∴PB=PC==2，
∴该四棱锥的侧面积：
S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S
△PBC
=+++
=
=6+2．
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14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：
直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】
（1）证明：
四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=9°0．∴BC∥AD，∵
AD?
平面PAD，BC?
平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
（2）解：
四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=，xCD=，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：
E，连接OE，
则OE=，PO=，PE==，
△PCD面积为2，可得：
=2，
即：
，解得x=2，PE=2．
则VP
﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO==4．
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15．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：
AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且
AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【解答】证明：
（1）取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD?
平面BDO，∴AC⊥BD．
解：
（2）法一：
连结OE，由
（1）知AC⊥平面OBD，
∵OE?
平面OBD，∴OE⊥AC，
设AD=CD=，则OC=OA=1，
∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=，
由余弦定理得：
cos∠CBD==，
即，解得BE=1或BE=2，
∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
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∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
法二：
设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=，2AO=CO=DO=，1
∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），
解得E（0，，1﹣λ），
∴=（1，），=（﹣1，），
∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，
由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长
分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．
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【解答】解：
（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：
V=S△ABC×AA1
=
==20．
（2）连结AM，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，
∴AA1⊥底面ABC，AM==，
∴∠A1MA是直线A
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