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1、高考数学空间几何高考真题. WORD格式整理 . .2017 年高考数学空间几何高考真题一选择题（共 9 小题）1如图，在下列四个正方体中， A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ 不平行的是（ ）A B C D2已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B C D3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E为棱 CD的中点，则（ ）AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A60 B30 C20 D10.

2、.专业知识分享 . . WORD格式整理 . .2） 5某几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积（单位： cm是（ ）A +1 B +3 C +1 D +36如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角 DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为 、，则（ ）ABCD7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A90B63C42D36. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .1某多面体的三

3、视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D162已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D二填空题（共 5 小题）8已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O 的球面上， SC是球 O的直径若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O的表面积为 9长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球

4、 O 的球面上，则球 O 的表面积为 10已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 11由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 . .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .12如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 三解答题（共 9 小题）13如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=D，CAPD=90，且四棱锥 PABC

5、D的体积为 ，求该四棱锥的侧面积14如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90（1）证明：直线 BC平面 PAD；（2）若PCD面积为 2 ，求四棱锥 PABCD的体积. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .15如图四面体 ABCD中，ABC是正三角形， AD=CD（1）证明： ACBD；（2）已知 ACD是直角三角形， AB=BD，若 E为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AEEC，求四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比16如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB和AC的

6、长分别为 4 和2，侧棱 AA1 的长为 5（1）求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积；（2）设 M 是 BC中点，求直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小17如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=，2 D为线段 AC的中点， E为线段 PC上一点（1）求证： PABD；（2）求证：平面 BDE平面 PAC；（3）当 PA平面 BDE时，求三棱锥 EBCD的体积. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .18如图，在四棱锥 PABCD中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求异面直线 AP与 BC所成

7、角的余弦值；（）求证： PD平面 PBC；（）求直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值19如图，已知四棱锥 PABCD，PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形， BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2C，BE为 PD的中点（）证明： CE平面 PAB；（）求直线 CE与平面 PBC所成角的正弦值20由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD为正方形，O为 AC与 BD 的交点，E为 AD的中点，A1E平面 ABCD，（）证明： A1O平面 B1CD1；（）设 M 是 OD的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1. .专业知识

8、分享 . . WORD格式整理 . .21如图，在三棱锥 ABCD中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F（E与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD上，且 EFAD求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC3如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=D，CAPD=90，求二面角 APBC的余弦值4如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E是PD的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 P

9、C 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .5如图，四面体 ABCD中，ABC是正三角形， ACD是直角三角形， ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC的余弦值6如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB上，PD平面 MAC，PA=PD= ，AB=4（1）求证： M 为 PB的中点；（2）求二面角 BPDA 的大

10、小；（3）求直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值7如图，在三棱锥 PABC中，PA底面 ABC，BAC=90点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC的中点，M 是线段 AD的中点，PA=AC=，4 AB=2（）求证： MN平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为 ，求线. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .段 AH的长8如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB边所在直线为旋转轴旋转 120得到的，G是 的中点（）设 P是 上的一点，且 APBE，求CBP的大小；（）当

11、 AB=3，AD=2时，求二面角 EAGC 的大小. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .2017 年高考数学空间几何高考真题参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1如图，在下列四个正方体中， A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ 不平行的是（ ）A B C D【解答】 解：对于选项 B，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足题意；对于选项 C，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知 C不满足题意；对于选项 D，由于 ABNQ，结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意；所以选项 A 满足题意，故选

12、：A2已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B C D【解答】 解：圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径 r= = ，. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .该圆柱的体积： V=Sh= = 故选：B3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E为棱 CD的中点，则（ ）AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC【解答】 解：法一：连 B1C，由题意得 BC1B1C，A1B1平面 B1BCC1，且 BC1? 平面 B1BCC1，A1B1BC1，A1B1B1C=B

13、1，BC1平面 A1ECB1，A1E? 平面 A1ECB1，A1EBC1故选：C法二：以 D 为原点，DA为 x 轴，DC为y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为 2，则 A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（2，1，2）， =（0，2，2）， =（2，2，0），=（2，0，2）， =（2，2，0）， ? =2， =2， =0， =6，A1EBC1故选：C. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的

14、体积为（ ）A60 B30 C20 D10【解答】 解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积 = =10故选：D2） 5某几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积（单位： cm是（ ）. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .A +1 B +3 C +1 D +3【解答】 解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为 3，故该几何体的体积为 1 2 3+ 3= +1，故选：A6如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R

15、分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角 DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为 、，则（ ）ABCD【解答】 解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面 ABC的中心为 O. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .不妨设 OP=3则O（0，0，0），P（0，3，0），C（0，6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，= ， =（0，3，6 ）， =（ ，5，0）， = ，= 设平面 PDR的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ，可得 = ，取平面 ABC的法向量 =（0，0，1）则 cos = = ，取 =arccos 同理可得： =arccos =a

16、rccos 解法二：如图所示，连接 OP，OQ，OR，过点 O分别作垂线： OEPR，OFPQ，OGQR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG设 OD=h则 tan= 同理可得： tan= ，tan= 由已知可得： OEOGOFtantantan， ，为锐角故选：B. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A90B63C42D36【解答】 解： 由三视图可得， 直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半， 2 10 ?32 6=6

17、3，V=?3故选：B. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .1某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D16【解答】 解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形= 2 （2+4）=6，这些梯形的面积之和为 6 2=12，故选：B2已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）. .专业知识分享 . . WORD

18、格式整理 . .A B C D【解答】 解：【解法一】如图所示，设 M、N、P分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点，则 AB1、BC1 夹角为 MN 和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（ 0， ），可知 MN= AB1= ，NP= BC1= ；作 BC中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ= AC，ABC中，由余弦定理得AC 2=AB2+B C22AB?BC?cos ABC=4+12 2 1 （ ）=7，AC= ，MQ= ；在MQP中，MP= = ；在PMN 中，由余弦定理得cosMNP= = = ；又异面直线所成角的范围是（ 0， ，AB1 与BC1 所成角的余弦值为 .

19、 .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .【解法二】如图所示，补成四棱柱 ABCDA1B1C1D1，求BC1D 即可；BC1= ，BD= = ，C1D= ， +BD2= ，DBC1=90，cosBC1D= = 二填空题（共 5 小题）8已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O 的球面上， SC是球 O的直径若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O的表面积为 36 【解答】 解：三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O 的球面上，SC是球 O 的直径，若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC的体积为 9，可知三角形

20、 SBC与三角形 SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为 r，可得 ，解得 r=3. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .球 O的表面积为： 4r2=36故答案为： 369长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 14 【解答】 解：长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为： = 则球 O的表面积为： 4 =14故答案为： 1410已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 【解答】 解：设正方体的棱长为 a，这个正方体

21、的表面积为 18，6a2=18，则 a2=3，即 a= ，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即 a=2R，即 R= ，则球的体积 V= ?（ ）3= ；故答案为： 11由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2+ . .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .【解答】 解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V1=2 1 1=2，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 V2= 12 1= ，则该几何体的体积 V=V1+2 V1=2+ ，故答案为： 2+ 12如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与

22、圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 【解答】 解：设球的半径为 R，则球的体积为： R3，2?2R=2R3 圆柱的体积为： R则 = = 故答案为： 三解答题（共 9 小题）13如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=D，CAPD=90，且四棱锥 PABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积【解答】 证明：（1）在四棱锥 PABCD中，BAP=CDP=90，ABPA，CDPD，又 ABCD，ABP

23、D，PAPD=P，AB平面 PAD，AB? 平面 PAB，平面 PAB平面 PAD解：（2）设 PA=PD=AB=DC=，a取 AD中点 O，连结 PO，PA=PD=AB=D，CAPD=90，平面 PAB平面 PAD，PO底面 ABCD，且 AD= = ，PO= ，四棱锥 PABCD的体积为 ，VPABCD= = = = ，解得 a=2，PA=PD=AB=DC=，2 AD=BC=2 ，PO= ，PB=PC= =2 ，该四棱锥的侧面积：S侧=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC= + + += 6+2 . .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .14如图，四棱锥 PABCD中，侧面 P

24、AD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90（1）证明：直线 BC平面 PAD；（2）若PCD面积为 2 ，求四棱锥 PABCD的体积【解答】（1）证明：四棱锥 PABCD中，BAD=ABC=90BCAD，AD? 平面 PAD，BC?平面 PAD，直线 BC平面 PAD；（2）解：四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90设 AD=2x，则 AB=BC=，x CD= ，O是 AD的中点，连接 PO，OC，CD的中点为： E，连接 OE，则 OE= ，PO= ，PE= = ，PCD面积为 2

25、 ，可得： =2 ，即： ，解得 x=2，PE=2 则 V PABCD= （BC+AD） AB PO= =4 . .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .15如图四面体 ABCD中，ABC是正三角形， AD=CD（1）证明： ACBD；（2）已知 ACD是直角三角形， AB=BD，若 E为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AEEC，求四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比【解答】 证明：（1）取 AC中点 O，连结 DO、BO，ABC是正三角形， AD=CD，DOAC，BOAC，DOBO=O，AC平面 BDO，BD? 平面 BDO，ACBD解：（2）法一：连结 OE，由（1）知 A

26、C平面 OBD，OE? 平面 OBD，OEAC，设 AD=CD= ，则 OC=OA=1，E是线段 AC垂直平分线上的点， EC=EA=CD= ，由余弦定理得：cosCBD= = ，即 ，解得 BE=1或 BE=2，BEBD=2，BE=1，BE=ED，四面体 ABCE与四面体 ACDE的高都是点 A 到平面 BCD的高 h，. .专业知识分享 . . WORD格式整理 . .BE=ED， SDCE=SBCE，四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比为 1法二：设AD=CD= ，则 AC=AB=BC=BD=，2 AO=CO=DO=，1BO= = ， BO 2+D O2=BD2， BODO，以 O

27、为原点， OA为 x 轴，OB为 y 轴， OD为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0），设E（a，b，c）， ，（0 1），则（ a，b，c1）=（0， ，1），解得 E（0， ，1）， =（1， ）， =（1， ），AEEC， =1 +32+（1）2=0，由 0，1 ，解得 ， DE=BE，四面体 ABCE与四面体 ACDE的高都是点 A 到平面 BCD的高 h，DE=BE， SDCE=SBCE，四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比为 116如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC的

28、长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5（1）求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积；（2）设M 是 BC中点，求直线A1M 与平面 ABC所成角的大小. .专业知识分享. . WORD格式整理 . .【解答】 解：（1）直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB和AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5三棱柱 ABCA1B1C1 的体积：V=SABC AA1= =20（2）连结 AM，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB和AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5，M 是 BC中点，AA1底面 ABC，AM= = ，A1MA 是直线 A