4实际问题与数学建模.docx
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4实际问题与数学建模
专题四实际问题与数学建模
知识梳理
初中用来解决实际问题的数学模型主要有一元一次方程,二元一次方程（组）,可化为一元一次方程的分式方程,一元二次方程,一元一次不等式,一次函数,反比例函数,二次函数.中考的20题,22题和填空题、选择题就是通过对这几种数学模型的组合，全面考察这几种数学模型的实际应用.
在解决这类问题时，要仔细审题，准确把握题意，分清考察的方向（是方程，还是不等式，还是函数），根据题意列出方程，不等式或函数关系式.如考察的内容是函数，也可根据题意或图象信息，用待定系数法求出函数关系式.然后解方程或不等式，或根据函数的相关性质解决实际问题.
直击考点
考点1由实际问题列方程：
1.某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%．设把x公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为（ ）
A．54+x=80%×108B．54+x=80%（108-x）C．54-x=80%（108+x）D．108-x=80%（54+x）
2.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，可方程组为（ ）
3.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32-2x）（20-x）=570B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-x）（20-x）=32×20-570D．32x+2×20x-2x2=570
4.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A．1000（1+x）2=1000+440B．1000（1+x）2=440C．440（1+x）2=1000D．1000（1+2x）=1000+440
5.某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据题意，可列二元一次方程组.
6.2017年，为美化城市环境，计划种植树木
万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多
，结果提前
天完成任务，设原计划每天植树
万棵，可列方程是（）
A．
B．
C.
D．
7.2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的D6767次动车首发成功，鄂尔多斯市自此迎来了动车时代，已知两地铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（ ）
A．
﹣
=40B．
﹣
=40C．
﹣
=
D．
﹣=
考点2方案选择和方案设计:
1.“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以下信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．
品种项目
单价（元/棵）
成活率
A
80
92%
B
100
98%
2.市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A，B两种风景树共900棵．A，B两种树的相关信息如表：
若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购A、B两种树各多少棵？
此时最低费用为多少？
3.某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？
（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：
粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？
最大利润是多少？
4.某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
A型车
B型车
进价（元/辆）
800
950
售价（元/辆）
今年售价
1200
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
考点3图象信息题中的行程问题
1.小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A、B两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t=
或
．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④
2.A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与骑车时间x（h）的函数关系．
（1）甲骑车速度为km/小时，乙的速度为km/小时；
（2）求l1、l2的函数表达式；
（3）出发几小时后两人相遇？
3.已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．
（1）图中的线段l1是（填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向千米处；
（2）谁先到达C地？
并求出甲乙两人到达C地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度．
4.A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是（填l1或l2）；甲的速度是km/h，乙的速度是km/h
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
考点4反比例函数的应用
2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）．
A．不小于
m3B．小于
m3C．不小于
m3D．小于
m3
3.如图所示，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系（要写出x的取值范围）；
（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟？
4.保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）
（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂利润才能达到2009年1月的水平？
（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
考点5抛物线型应用题：
1.2016年7月3日，位于中国贵州省内的射电望远镜（FAST）顺利安装最后一块反射面单元，标志着FAST主体工程完工，进入测试调试阶段．建成后的FAST是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点O到口径面AB的距离是100米，若按如图
（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
2.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=-x2+2x+3，则下列结论：
（1）柱子OA的高度为3m；
（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；
（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4
3.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定
4.如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为m.
5.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式
（2）一辆货车高4m，宽4m，能否从该隧道内通过，为什么？
6.有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2米处的棚高BC为
米．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？
（3）若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？
7.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？
请你帮施工队计算一下．
考点6二次函数的应用——最大利润问题：
1.某景点拟采取浮动门票价格的方法来控制游客人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40≤x≤70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）设该景点一天的门票收入为W元．
①试用x代数式表示W；
②试问：
当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？
最高门票收入是多少？
2.服装店用12000元购进某种衬衣若干件，若在进价的基础上每件提高20元作为售价销售，可收入18000元.经市场调查发现，售价为50元/件时，每天能销售100件，售价每提高5元，每天的销售量会减少10件.
（1）求该衬衣的进价；
（2）在每天的销售量不低于70件条件下，每件的售价为多少元时每天获得利润最大？
最大利润是多少元？
3.某文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：
当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？
最大值是多少？
（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：
为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；
方案B：
为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
4.某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=
x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表：
销售价格x（元/千克）
2
4
…
10
市场需求量q/（百千克）
12
10
…
4
5.已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克
（1）求q与x的函数关系式；
（2）当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；
（3）当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．若该半成品食材的成本是2元/千克．
①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润=售价-成本）
6.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？
最大利润是多少？
（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？
请说明理由．
定时练习（30分钟）
一、选择题：
1.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个B．17个C．33个D．34个
2.如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时的销售量（）
A.小于4件B.大于4件C.大于3件D.小于3件
3.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？
在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（ ）
4.随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车行驶速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（ ）
A．x≤40B．x≥40C．x＞40D．x＜40
二、填空题：
5.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了马拉松比赛，下面是两个孩子的对话：
哥哥和妹妹的年龄分别是.
6.某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可
打折出售.
7.用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，列符合题意的方程是.
8.一辆高为4米、宽为2米的货车能通过截面为抛物线y=
x2+m的隧道，则抛物线中的m的取值范围是.
三、解答题：
1.近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
（1）求A种、B种设备每台各多少万元？
（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
2.某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？
此时利润为多少元？
3.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？
并求出一天的最大利润．
4.小明从离地面4m高的二楼窗口放飞一个气球，气球以每秒1米的速度匀速上升；同时小亮在楼下从地面竖直向上扔出一乒乓球，在扔出第1秒和第4秒时，乒乓球和气球高度相同.设气球离地面的高度为y1米,乒乓球离地面的高度为y2米，两球飞行的时间为x秒，y1、y2与x之间的函数关系用图象表示如图所示.
（1）y1与x之间函数关系式为；
（2）求y2与x之间的函数关系式，并求乒乓球的最大高度;
（3）小明两次见到乒乓球飞过4米高的二楼窗口，两次间隔的时间是几秒？
（4）小明至少从几米高处放飞气球，才能使气球始终不低于乒乓球的高度？
5.实验数据显示：
一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数
（k＞0）表示（如图所示）．
（1）求k的值．
（2）喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？
最大值为多少？
（3）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？
（用分钟表示）
（4）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：
00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7：
00能否驾车去上班？
请说明理由．
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