4实际问题与数学建模.docx

1、4实际问题与数学建模专题四 实际问题与数学建模知识梳理 初中用来解决实际问题的数学模型主要有一元一次方程,二元一次方程(组), 可化为一元一次方程的分式方程,一元二次方程,一元一次不等式,一次函数,反比例函数,二次函数.中考的20题,22题和填空题、选择题就是通过对这几种数学模型的组合，全面考察这几种数学模型的实际应用.在解决这类问题时，要仔细审题，准确把握题意，分清考察的方向（是方程，还是不等式，还是函数），根据题意列出方程，不等式或函数关系式.如考察的内容是函数，也可根据题意或图象信息，用待定系数法求出函数关系式.然后解方程或不等式，或根据函数的相关性质解决实际问题.直击考点考点1 由实际

2、问题列方程：1. 某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%设把x公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为（）A54+x=80%108 B54+x=80%（108-x） C54-x=80%（108+x） D108-x=80%（54+x）2. 在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元若馒头每颗x元，包子每颗y元，可方程组为（）3. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路

3、，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A（32-2x）（20-x）=570 B32x+220x=3220-570 C（32-x）（20-x）=3220-570 D32x+220x-2x2=5704.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A1000（1+x）2=1000+440 B1000（1+x）2=440 C440（1+x）2=1000 D1000（1+2x）=1000+4405. 某校组

4、织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子每件文化衫的批发价和零售价如下表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫1025白色文化衫820假设文化衫全部售出，共获利1860元，设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据题意，可列二元一次方程组 .6.2017年，为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 （ ）A B C. D 7. 2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的D6767次动车首发成功，鄂尔多斯市自此迎来了动车时代，已知两地铁路

5、长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）A=40 B=40 C= D=考点2 方案选择和方案设计:1. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游根据以下信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算品种项目单价（元/棵）成活率A8092%B10098%2. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A，B两种风景树共900

6、棵A，B两种树的相关信息如表：若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元（1）求y与x之间的函数关系式（2）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购A、B两种树各多少棵？此时最低费用为多少？3.某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（ti）共100吨第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨这两批蒜薹共用去16万元（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？4.某车行

7、经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：A型车B型车进价（元/辆）800950售价（元/辆）今年售价1200（1）求今年A型车每辆售价多少元？（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？考点3 图象信息题中的行程问题1.小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示有下列结

8、论；A、B两城相距300千米；小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；小路的车出发后2.5小时追上小带的车；当小带和小路的车相距50千米时，t=或其中正确的结论有（）A B C D2.A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与骑车时间x（h）的函数关系（1）甲骑车速度为 km/小时，乙的速度为 km/小时；（2）求l1 、l2的函数表达式；（3）出发几小时后两人相遇？3.已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他

9、们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示（1）图中的线段l1是 （填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向 千米处；（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度4.A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）；甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h(2)甲出发多少小时两人恰好相距5km？考点4

10、 反比例函数的应用2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ ）A不小于m3 B小于m3 C不小于m3 D小于m33.如图所示，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为y，从加热开始计算的时间为x分钟据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15，加热5分钟使材料温度达到60时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系（1）分别求出该材料加热

11、和停止加热过程中y与x的函数关系（要写出x的取值范围）；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟？4.保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动某化工厂2009年1月的利润为200万元设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元由于排污超标，该厂从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数

12、关系式（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂利润才能达到2009年1月的水平？（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？考点5 抛物线型应用题：1. 2016年7月3日，位于中国贵州省内的射电望远镜（FAST）顺利安装最后一块反射面单元，标志着FAST主体工程完工，进入测试调试阶段建成后的FAST是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点O到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）2.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，

13、O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=-x2+2x+3，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外其中正确的有（） A1个 B2个 C3个 D43.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-k）2

14、+h已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A球不会过网 B球会过球网但不会出界 C球会过球网并会出界 D无法确定4. 如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为 m.5. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的表达式（2）一辆货车高4m，宽4m，能否从该隧道内通过，为什么？6.有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，

15、抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2米处的棚高BC为米（1）求该抛物线的函数关系式；（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？（3）若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？7.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上为了筹备材料，需求出“脚手架

16、”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下考点6 二次函数的应用最大利润问题：1. 某景点拟采取浮动门票价格的方法来控制游客人数已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40x70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）设该景点一天的门票收入为W元试用x代数式表示W；试问：当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？2.服装店用12000元购进某种衬衣若干件，若在进价的基础上每件提高20元作为售价销售，可收入18000元.经市场调查发现，售价为50元/件时，

17、每天能销售100件，售价每提高5元，每天的销售量会减少10件.（1）求该衬衣的进价；（2）在每天的销售量不低于70件条件下，每件的售价为多少元时每天获得利润最大？最大利润是多少元？3.某文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24

18、%；方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由4.某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表：销售价格x（元/千克）2410市场需求量q/（百千克）121045.已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克（1）求q与x的函数关系式；（2）当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；（3）当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半

19、成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃若该半成品食材的成本是2元/千克求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围（利润=售价-成本）6.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要

20、获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由定时练习（30分钟）一、选择题：1.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（）A16个 B17个 C33个 D34个2.如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时的销售量( )A.小于4件 B.大于4件 C. 大于3件 D.小于3件3.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原

21、计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（）4. 随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x10时，y与x成反比例函数关系，当车行驶速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）Ax40 Bx40 Cx40 Dx40二、填空题：5.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了马拉松比赛，下面是两个孩子的对话： 哥哥和妹妹的年龄分别是 .6.某品牌

22、电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打 折出售.7. 用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52m2（材料的厚度忽略不计）若设小正方形的边长为xm，列符合题意的方程是 .8. 一辆高为4米、宽为2米的货车能通过截面为抛物线y=x2+m的隧道，则抛物线中的m的取值范围是 .三、解答题：1.近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买

23、A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同（1）求A种、B种设备每台各多少万元？（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？2.某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型 价格进价（元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？3.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住

24、满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？并求出一天的最大利润4.小明从离地面4m高的二楼窗口放飞一个气球，气球以每秒1米的速度匀速上升；同时小亮在楼下从地面竖直向上扔出一乒乓球，在扔出第1秒和第4秒时，乒乓球和气球高度相同.设气球离地面的高度为y1米,乒乓球离地面的高度为y2米，两球飞行的时间为x秒，y1、y2与x之间的函数关系用图象表示如图所示.（1）y1与x之间函数关系式为 ；（2）求y2与x之间的函数关系式，并求乒乓球的最大高度;（3）小明两次见到乒乓球飞过4米高的二楼窗口，两次

25、间隔的时间是几秒？（4）小明至少从几米高处放飞气球，才能使气球始终不低于乒乓球的高度？5.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数（k0）表示（如图所示）（1）求k的值（2）喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？（3）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示）（4）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7：00能否驾车去上班？请说明理由