离散型函数拐点算法及应用.docx

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离散型函数拐点算法及应用

离散型函数拐点算法及应用

导读：

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离散型函数拐点算法及应用

李涛田晓君

（黄石理工学院机电工程系,湖北黄石,435003）

摘要在数学定义及物理意义的基础上，研究了利用计算机来计算数学拐点的一种快速有效的方法，提出了对于离散数据以非拟合曲线的方式计算拐点的算法。

该方法已成功地应用于漆包线生产

过程质量监控。

关键词拐点算法离散数据非拟合曲线

文章编号：

中图分类号：

TP30文献标识码：

A

TheAlgorithmandapplicationofdiscreteinflectionpoint

LiTao,TianXiaojun

（Dept.ofMechanicandElectronicEngineering,HuangShiInstituteofTechnology,HuangShi,435003）

Abstract:

Basedonthemathematicaldefinitionandphysicalmeaning,afasteffectivemethodwasstudiedtocalculatemathematicalinflectionpointusingcomputer,andaalgorithmswasproposedto

calculatethemathematicalinflectionpointofdiscretedatausingnon-fittingcurveway.Themethod

hasbeensuccessfullyappliedinthequalitycontrolofenamel-insulatedwireproduction.Keywords:

inflectionpoint;algorithm;discretedata;non-fittingcurve

1引言

由于拐点所反映的是相应曲线上升（或下降）趋势发生变化的点，它在企业的生产管理等方面比如销售分析、企业经营状况分析、产品质量的监控、生产成本的分析等各个方面都有重要的作用。

在数学上，拐点的计算一般是通过计算函数二阶导数的零点及其不存在的点的方法来实现的。

这种方法在实际应用中往往遇到计算量非常大的问题。

这是因为实际应用过程中的函数及其二阶导数的形式往往非常复杂，这样就会造成在求解零点时计算量非常庞大，或者二阶导数不存在的点的判别十分困难。

此外，在实际应用中所得到数据的常常是以离散的点的形式给出的，由此所构成的离散型函数在利用上述方法求解拐点时，还必须事先根据离散数据点求解相应拟合曲线，这样往往费时费力而且精度不高。

因此，寻求一种快捷、精确的拐点算法十分必要。

2数学计算模型

2.1

拐点判别式

根据拐点特性，在拐点前后曲线的上升（或下降）趋势不一样，如图1所示。

若

P=（p0,f（p0））

为该曲线的拐点，A、B点为

P前任意两点，C、D为

P后任意两点，则有判别式

（kAB-kBP）×（kPC-kCD）0

（1）

其中

kAB、kBP、kPC、kCD分别为直线

AB、直线

BP、直线

PC、直线

CD的斜率。

D

C

P

AB

x0=ax1x2…

xk…

xn-1xn=b

图

1曲线拐点

图

2拐点计算

2.2

拐点判别算法

利用判别式

（1）即可获得曲线拐点判别算法。

对于区间[a,b]上的函数f（x），为求其拐点，

先将区间[a,b]分割为小区间，小区间长度最大者

Δ趋于

0。

设分点分别为

x0,x1,…,xk,…,xn-1，

对应纵座标为

f（x0）,f（x1）,…,f（xk）,…,f（xn-1），如图

2所示。

如果拐点处于点

xk-1与

xk（k=3,4,5…n-3）

之间，根据判别式

（1）有

f（x）.

f（x）f（x）.

f（x）f（x）.

f（x）f（x）.

f（x）

k.1k.2k.2k.3k+2k+1k+1k

F（k）=（.

）×（.

）

0

（2）

x.xx.xx.

xx.

x

k.1k.2k.2k.3k+2k+1k+1k

为简化算法，不失一般性，可将区间[a,b]n等分，则式

（2）可变换为如下判别式

F（k）=（f（xk-1）+f（xk-3）-2f（xk-2））×（f（xk）+f（xk+2）-2f（xk+1））0（3）其中

k=3,4,5,…,n-3。

若判别式

（2）或（3）在

k=m处成立，则说明位于

xm与

xm+1之间。

显然，当

Δ→0（或

n→∞）时，则

xm→p0，即

m充分大时，（xm,ym）≈P=（p0,f（p0））。

2.3

算法终止判别

算法开始时分别将各等分点代入（3）式，计算出

F（k），当

F（k）小于

0时算法即可终止。

在实际应用过程中，n取无穷大不现实也无必要。

实际应用中n的取值由数据特性、区

间[a,b]的宽度，以及精度要求来决定。

区间

[a,b]的宽度取

5cm，计算机屏幕取

1024×768分

辨率时，n的取值对函数图形的影响如图

3所示。

n=50

n=200

n=500

n=2000

图

3

n的取值对函数图形的影响

由图

3可知，在实际应用中，对精度的要求不是很高的情况下，一般n取

300～3000

就能取得较好的效果。

3实际应用计算模型

由上述理论分析知，对于连续函数而言，上述方法实际上就是通过离散取点的方式将原曲线离散化后计算出拐点。

对于由离散的点构成的函数，计算判别式

（2）与（3）一样适用。

在实际工程应用中，用于待求拐点的信号往往是一个或多个模拟信号，在送入计算机处理之前先要进行一次

A/D转换。

比较常用的一种做法是使用数据采集卡来实现被测信号的

数字化。

数据采集卡在工作的过程中，以一定的采样频率对被测信号取样转换。

得到的数据就是一组以时间

xk为横轴

X，以被测量大小

f（xk）为纵轴

Y的离散点（xk,f（xk））。

因而在实际应

用中，是使用判别式

（2）或（3）来求取拐点的。

如果进行数据随机采样，则利用判别式

（2）进行

计算，如果进行数据等时间间隔周期采样，则利用判别式（3）进行计算。

4数据处理

计算机端数据处理所要进行的工作主要包含数据预处理、绘制曲线、拐点计算等3个方

面。

各相应步骤以算法在漆包线的绝缘状况的监控中的应用实例来说明。

4.1

对采集到的数据进行预处理

数据预处理主要包含以下

2个方面。

（1）去掉重复点。

由于温度场

（恒温箱

）的温度变化比较缓慢，相应参量

（介质损耗角正切

）

的变化也就比较缓慢，而数据采集卡的采样频率较高，这样就会采集到大量的相同数据，这

些相同数据在代入判别式

（2）或（3）计算

F（k）时会出现除零错，即使对判别式

（2）或（3）进行改进，

使它不出现除零错的情况，这些相同数据也会大大增加计算量，所以在将采集到的数据带入公式前必须要将重复值去掉。

（2）去掉错误值。

在数据采集过程中由于各种因素的影响

（如车间环境恶劣，电气干扰较

为严重），往往会造成数据采集误差，而出现错误点。

这些错误点如果偏离真实值较远会严重影响计算结果，因此必须去掉。

实验结果表明，通过去极值取平均的方式就可以较好对采集到的数据进行上述两个方面的处理。

4.2绘制曲线

根据采集到的数据在计算机屏幕上绘制参量（介质损耗角正切）-温度曲线，以坐标横轴为温度，坐标纵轴为参量

（介质损耗角正切）。

由于恒温箱中温度是以与时间成线性的方式增加，

这样在实际编程过程中可以用时间通过计算来取得温度，时间可以通过一个软件计数器取得，得到时间后只需要进行一次简单的线性转换就可以得到温度了。

根据采集到的数据点以及计算出来的对应温度即可在坐标轴上描出相应的点。

相邻点用直线连接起来即可得到近似的介质损耗角正切-温度曲线。

4.3拐点计算

将得到的各坐标点依次代入判别式

（2）或（3）计算

F（k），判断代入公式的点是否为拐点。

拐点有可能存在多个，所以在计算拐点时一定要将所有的点均带入计算一遍。

如果采集的数据不需要存储，绘制曲线和计算拐点可以同时进行，程序框图如图4所示。

图

4程序框图

5应用实例

在漆包线生产企业中，漆包线的质量监控非常重要，而漆包线的绝缘状况的监控又显得尤为重要。

测量介质损耗对判断电气设备的绝缘状况是一种传统的、十分有效的方法，绝缘能力的下降直接反映为介质损耗增大。

介质损耗即绝缘材料在电场作用下，由于介质电导和介质极化的滞后效应，在其内部引起的能量损耗。

通常在实际应用中采用测量介质损耗角正切的方法来反映介质损耗。

通过检测不同温度下的介质损耗量还可以反应出漆包线在不同温

度下的绝缘性能。

同时，随着温度的升高，漆包线的绝缘漆还会出现由玻璃态到高弹态的转变。

转变点反应出了漆包线的耐高温特性，它在介质损耗角正切-温度曲线上即表现为一个拐点。

所以，漆包线的质量监控通常是通过绘制介质损耗角正切-温度曲线来描述其绝缘性

能，通过介质损耗角正切-温度曲线的拐点来描述其耐高温特性。

检测的过程如图5所示。

打印显示

介质测量仪

数据采集卡

计算机

图

5检测过程

其中，试样被放置在一个恒温箱里，恒温箱的温度从某一起点温度开始，以与时间成线性的方式增加，这样介质损耗测量仪测得的数据就是一组随时间变化而变化的介质损耗角正切值。

由于介损仪测得的数据是一组模拟电压量，数据采集卡按照一定的采样频率对这组模拟信号进行采样，最后送入计算机处理。

6结论

根据拐点的特性，提出了一种新的简单快捷的采用非拟合曲线的方式计算离散型函数

的近似拐点的方法。

理论分析表明，通过非拟合曲线近似求拐点的方法可以大大的减轻计算拐点的计算量，特别适合于工程实际中的应用。

利用该方法同时还可以绘制近似曲线，这样对于工程实际中以离散点形式构成的函数，比如销售分析、企业经营状况分析、产品质量的监控、生产成本的分析等各个方面都有重要的作用。

本文作者创新点在于，采用非拟合曲线的方式计算离散型函数的近似拐点。

该方法不但可以极大地减少运算量，同时还可以绘制近似曲线。

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[M].北京科海电子出版.2003.

作者简介：

李涛（1980－），男，湖北荆门人，湖北黄石理工学院机电工程学院教师，主要从事智能测控方面的研

究工作，硕士。

田晓君（1969－），男，湖北浠水人，湖北黄石理工学院机电工程学院教师，主要从事智能测控方面的

研究工作，硕士。

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