成都市5年理科数学零诊试题及答案.docx

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成都市5年理科数学零诊试题及答案

成都市2013级高中毕业班摸底测试

数学试题参考答案（理科）

第Ⅰ卷（选择题,共60分）

1.A;

2.D;

3.C;

4.D;

5.A;

6.B;

7.C;

8.C;

9.A;

10.B;

1.D;

12.D.

一、选择题:

（每小题5分,共60分）

第Ⅱ卷（非选择题,共90分）

二、填空题:

（每小题5分,共20分）

1;;

43;

（,）

13.

2

14.30

15.

9

16.285.

三、解答题:

（共70分）

17.（本小题满分12分）

解:

（Ⅰ）∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,

∴AO⊥BC,∴AO⊥OB′,AO⊥OC..............................................................................4分

又∵OB′∩OC=O,∴AO⊥平面B′OC.........................................................................6分

（Ⅱ）由三视图知,直线OB′,OA,OC两两垂直,且OC=OB′=1,OA=3,建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.

则A（3,0,0）,C（0,1,0）,B′（0,0,1）.

∴AC→=（-3,1,0）,AB′=（-3,0,1）.

{

设平面AB′C的法向量为m=（x,y,z）.

则m·AC→=0,即{-3x+y=0可取m=（1,3,3）.……9分

m·AB′=0-3x+z=0.

又n=（1,0,0）为平面B′OC的法向量,

∴cos〈m,n〉=m·n119

|m|n|1×1919

∴二面角A-B′C-O的余弦值为19.

19

…………12分

18.（本小题满分12分）

π

解:

（Ⅰ）f（x）=sinx+3cosx=2sin（x+3）.…………2分

由-π+2kπ≤x+π≤π+2kπ,得5ππ+2kπ,k∈Z.

232

-6+2kπ≤x≤6

5π

∴f（x）的单调递增区间为[

kπ+2kπ]k∈Z.

…………6分

-+2π,66

π

22π2

（Ⅱ）g（x）=[f（x）]-2=4sin（x+3）-2=-2[1-2sinx+3）].

2π

…………8分

=-2cos2x+）.

3

高三数学（理科）摸底测试参考答案第1页（共4页）

π2π2π7π

∵x∈[0,],∴2x+∈[,].

4336

（2π1

∴cos2x+）∈[-1,-].

32

∴1函≤数g（x（）≤）2的.值....域....是....[.....,....].............................................................................................1分

gx12

（

12分

19.本小题满分12分）

∴第3,4,5组共有60名志愿者

解:

（Ⅰ）第3组的人数为0.3×10=30,第4组的人数为0.2×10=20,第5组的人数为0.1×10=10.

.

:

∴用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者每组抽取的人数分别为

302010

第3组:

×6=3;第4组:

×6=2;第5组:

×6=1.

606060

∴应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.........................................................6分

（Ⅱ）记第3组的3名志愿者分别为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者分别为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:

（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,C1）,

（A2,A3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,C1）,

（A3,B1）,（A3,B2）,（A3,C1）,

（共B有1,B2）种,不（同B1的,C结1果）,（B2,C1）,…………分

15.

9

,:

其中第3组的3名志愿者A1A2A3都没有被抽中的可能情况有

（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1）,

共有3种不同的结果.

34

∴第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-=

12分

155........................................

20.（本小题满分12分）

解:

（Ⅰ）由题意,知动点P（x,y）到定点E（-1,0）,F（1,0）的距离之和等于4（大于|EF|）,

∴动点P的轨迹是以（-1,0）,（1,0）为焦点,长轴长为4的椭圆.

∴a=2,c=1,b2=3.

曲线

x2y2

∴G的标准方程为4

（）

+3=1...............................................4分

Ⅱ设直线2l的2方程为y=k（x-1）（k≠0）.

xy

代入+3=1,得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0.

显然△4>0.设A（x1,y）,B（x,y）.

8k2

122

4

则x1+x2=2

k-12............................................................................

（）4k,x1x2=42k+36分

）

i由题意,知

C（x1

+3

-y1.

∴直线BC的方程为

y2+y1

）

y=x-x1-y1.

x2-x1

y1（x2-x1）

y1x2+y2x1

2x1x2-x1+x2）

令y=0,则xN=+x1==

y2+y1y2+y1x1+x2-2

4k2-128k2

2·2-2

4k+34k+3

=8k2

2-2

=4.

4k+3

高三数学（理科）摸底测试参考答案第2页（共4页）

∴直线BC恒过定点N,且定点N的坐标为（4,0）.......................................................9分

（i）由（i）,可知N（4,0）,F（1,0）.

2

13

∴△ABN的面积可表示为S=

|FN|y2-y1|=

|k（x2-x1）|.2

338k2

4k2-12

∴S=

k2[（x1+x2）2-4x1x2]=

k2[（

）2-4·].

2

=18k2·

k2+14k2+3）2

24k2+34k2+3

设4k2+3=t,则t>3.

tt

92-2-39

∴S==

1

-3（

14

+）2+.

2t22t33

令u=1,则0

t

∵函数y=-3（u+

3

14

）2+

1

在（0,

）内单调递减,∴y∈（0,1）.

333

9

故△ABN的面积S的取值范围是（0,

2

）....................................................................12分

21.（本小题满分12分）

1

解:

（Ⅰ）∵f（x）=ax2+1nx,∴f′（x）=+2ax.

x

令φ（x）=1+2ax,则φ′（x）=-1+2a.

xx2

由题意,知φ′1,,

2

经检验,a=2符合题意.

∴实数a的值为2.....................................................................3分

（Ⅱ）方程f（x）-g（x）+m=0恰有两个不相等的实数根,即m=g（x）-f（x）在x∈12内恰

24分

有两个不相等的实数根.1.......................

2

令u（x）=g（x）-f（x）,则u（x）=3x-x2-1nx,x∈[

2].

∴u′（x）=3-2x-1=-（2x-1）（x-1）

xx.

由u′（x）>0,得1

2

1

∴函数u（x）在[,1]内单调递增,在[1,2]内单调递减.

2

∴u（x）在x处有极大值u

（1）=2.

又u1

=1

5,（）

…………5分

24

易知实数m的取值范围是

5

[+1n2,2）.4

…………7分

1

（Ⅲ）h（x）=（）32（2（

fx-x-b+1x=1nx+x-b+1x.

22

1x2-（b+1x+1

∴h′（x）=+x-（b+1）=.x

高三数学（理科）摸底测试参考答案第3页（共4页）

由题意,知x1,x2是方程x2-（b+1）x+1=0的两个实数根,且x2>x1>0.

∴△>0.x1+x2=b+1,x1x2=1.

h（x1）-h（x2）

∵kAB=

x-x12

r

x1-x2<0,

∴kAB≤

恒成立等价于h（x1）-h（x2）≥r恒成立,

即x-x1

r≤[h（x1）-h（x2）]min.

2

11…………10分

由h（x1）-h（x2）=1nx1-1nx2+

x2-

x2-（b+1）（x1-x2）

1

x11

x1212

x11x1x2

=1n

-（x2-x2）=1n-

（x2-x2）=1n

-（-）.

xx22x1x2

设=t（0

x22x2x1

1（t-1）.

x2（x+x）2132t

又∵（b+1）2=12=t++2,b≥,

13x1x225t12

∴t++2≥（+1）2=.∴t≤

或t≥4.

t1244

∴0

（）4

-1（-1）,0

设νt=1nt2tt4

1

则ν′（t）=

11

-（1+）=

-（t-1）2

.

t2t22t2

∵0

（）在（,

4

]内单调递减

115

（）（）

15

∴νtmin=ν4=8-21n2即r≤8-21n2.

∴实数r

15

......................................................................................12

的最大值为

2.（本小题满分10分）

-21n2分

8

解:

（Ⅰ）曲线C的普通方程为x2=2ay,直线l的普通方程为x-y+2=0.

1

…………4分

（Ⅱ）将直线l的参数表达式代入抛物线方程,得

t2-（42+2a）t+4a+16=0.

2

∴t1+t2=82+22a,t1t2=8a+32...........................................................................6分

∴|PM|=|t1|,|MN|=|t1-t2|,|PN|=|t2|........................................................8分

∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|MN|2=|PM|PN|.

即|t1-t2|2=|t1t2|.则（t1+t2）2=5t1t2.

将t1+t2=82+22a,t1t2=8a+32代入,化简,得（a+4）（a-1）=0.

∵a>0,∴a=1.…………10分

高三数学（理科）摸底测试参考答案第4页（共4页）

成都市２０１５级高中毕业班摸底测试

数学（理科）参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题,共６０分）一、选择题:

（每小题５分,共６０分）

１．B;２．A;３．C;４．C;５．A;６．C;

７．B;８．C;９．D;１０．D;１．D;１２．B．

第Ⅱ卷（非选择题,共９０分）二、填空题:

（每小题５分,共２０分）

１３．－２;１４．２;

１

１５．

１

;

１６．．

三、解答题:

（共７０分）

５２０２

１７．解:

（Ⅰ）∵f（x）＝x３＋ax２＋bx＋a２,

∴f′（x）＝３x２＋２ax＋b．１分

∵f（１）＝１＋a＋b＋a２＝４,f′（１）＝３＋２a＋b＝０,４分

a＝－２

{a＝３,或{．５分

b＝－９b＝１

经检验符合题意．６分

（Ⅱ）∵a＞０,由（Ⅰ）,得f（x）＝x３＋３x２－９x＋９．

∴f′（x）＝３x２＋６x－９．８分

∴f（－２）＝３１,f′（－２）＝－９．１０分

∴所求切线方程为９x＋y－１３＝０．１２分

１８．解:

（Ⅰ）由题意,可得x＝７,y＝３．２分

５５∧

２

５

１

xyi－i５

i＝１４分

xiyi＝１０x＝２５b＝５＝．

i＝１

∧

i＝１

∧∧１

x－２５２２

i＝１

６分

∵a＝y－bx

∴a＝－．

２

∧１１７分

∴所求线性回归方程为y＝x－．

２２

高三数学（理科）摸底测试参考答案第１页（共４页）

（Ⅱ）根据列表,设１号至５号小白鼠依次为a１,a２,a３,a４,a５．则在这５只小白鼠中随机抽取３只的抽取情况有a１a２a３,a１a２a４,a１a２a５,a１a３a４,a１a３a５,a１a４a５,

a２a３a４,a２a３a５,a２a４a５,a３a４a５,共１０种．９分随机抽取

的３只小白鼠中至少有一只B项指标数据高于３的情况有a１a２a４,a１a２a

５,a１a３a４,a１a３a５,a１a４a５,a２a３a４,a２a３a５,a２a４a５,a３a４a５,共９种．

１１分

∴在这５只小白鼠中随机抽取３只,其中至少有一只B项指标数据高于３的概

９

率为．１２分

１０

１９．解:

（Ⅰ）∵平面ACC１A１⊥平面ABC,平面ACC１A１∩平面ABC＝AC,

AB⊂平面ABC,AB⊥AC,

∴AB⊥平面ACC１A１．

∵CD⊂平面ACC１A１,

∴AB⊥CD．２分

∵A１C＝CA,D是AA１的中点,

∴A１A⊥CD．４分

∵A１A∩AB＝A,

∴CD⊥平面ABB１A１．５分

（Ⅱ）以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,

AC所在直线为y轴,过点A作垂直于平面

ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．

易知C（０,２,０）,A１（０,２,２）,B（２,０,０）,B１（２,２,２）,C１（０,４,２）．

→→,

∵３EB１＝BB１

（,２３,２３

∴E２２－２－）．

３３

则→（,,）,→（,２３,２３）分

A１C１＝０２０A１E＝２－－．７

３３

⎧

设平面A１C１E的法向量为n１＝（x１,y１,z１）．A１C１n１＝０⎪y１＝０

y１＝０

⎪

A１En１＝０⎪⎩２x１－３y１－３z１＝０z１＝３x１

高三数学（理科）摸底测试参考答案第２页（共４页）

令x１＝１,则平面A１C１E的一个法向量为n１＝（１,０,

３）．平面A１C１A的一个法向量为n２＝（１,０,０）．

９分

１０分

n１n２

∵cos＜nn＞＝

＝１,

１１分

１２

１２

易知二面角E－A１C１－A的平面角为锐角,

π

∴二面角E－A１C１－A的大小为

．１２分

３

２０．解:

（Ⅰ）设C（x,y）．

由题意,可得yy＝－２（x≠±１）．x－１x＋１

y２

∴曲线E的方程为x２＋＝１（x≠±１）．３分（没有

２

注明取值范围扣１分）

（Ⅱ）设R（x１,y１）,Q（x２,y２）．

⎪⎧⎪y＝kx＋２

联立⎨

y２消去y,可得（２＋k２）x２＋４kx＋２＝０．

x２＋＝１２

∵Δ＝８k２－１６＞０,∴k２＞２．

又∵０＜k＜２,∴２＜k＜２．５分且x１＋x

４k

２＝－

２,①

２＋k

x１x２＝

２

２．②６分

→２＋k

→

点

∵PQ＝λPR

R在点P

和点Q

之间,

∴x２＝λx１（λ＞１）．③７分

联立①②③式,可得

（１＋λ）２

＝

８k２

．９分

８k２８

λ２＋k２

１６

∵＝

２＋k２２

∈（４,）,

３

k２＋１

（１＋λ）２１６

∴４＜＜．

λ３

３∴１＜λ＜３,且λ≠１．１分

∵λ＞１,∴实数λ的取值范围为（１,３）．１２分

高三数学（理科）摸底测试参考答案第３页（共４页）

２１．解:

（）′（）１－a－１nxx＞０）．

Ⅰfx＝x２

由f′（x）＝０,得x＝e１－a．１分

当０＜x＜e１－a时,f′（x）＞０．此时函数f（x）单调递增;当x＞e１－a时,f′（x）＜０．此时函数f（x）单调递减．

∴函数f（x）的单调递增区间是（０,e１－a）,单调递减区间是（e１－a,＋∞）．３分

（Ⅱ）当a＝１时,由（Ⅰ）,可知f（x）≤f（e１－a）＝１．４分

∴原不等式等价于５＋（x－k）ex＋k＞０当x∈（０,＋∞）时恒成立,

∵当x∈（０,＋∞）时,ex－１＞０,

即原不等式等价于x＋x＋５＞k对x∈（０,＋∞）时恒成立．６分

ex－１

（）x＋５

ex（ex－x－６）

（）

设hx＝x＋x．则h′x＝（x）２．７分

e－１e－１

令F（x）＝ex－x－６．则F′（x）＝ex－１．当x∈（０,＋∞）时,F′（x）＞０．

∴函数F（x）＝ex－x－６在（０,＋∞）上单调递增．

而F（２）＝e２－８＜０,F（３）＝e３－９＞０．

∴F（２）F（３）＜０．

∴存在唯一的x０∈（２,３）,使得F（x０）＝０,即ex０＝x０＋６．９分当x∈

（０,x０）时,F（x）＜０,h′（x）＜０．∴函数h（x）单调递减;

当x∈（x０,＋∞）时,F（x）＞０,h′（x）＞０．∴函数h（x）单调递增．

∴当x＝x０时,函数h（x）有极小值（即最小值）h（x０）．

（）x０＋５

（,）分又

∵hx０＝x０＋x

＝x０＋１∈３４．１１k＜

h（x０）,k∈Z,

e０－１

∴k的最大整数值是３．１２分

２．解:

（Ⅰ）易得直线l的普通方程为３x－y－３＝０,２分曲线C的直角坐标方程为（x－１）２＋（y＋１）２＝２．５分

（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得

t２＋３t－１＝０．７分

此方程的两根为直线l与曲线C的交点M,N对应的参数tM,tN．

∵tM＋tN＝－３,tMtN＝－１,

∴MN＝tM－tN＝（tM＋tN）２－４tMtN＝７．１０分

高三数学（理科）摸底测试参考答案第４页（共４页）