82消元二加减消元法.docx
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82消元二加减消元法
8．2消元
（二）──加减消元法
（第3课时）
三维目标
一、知识与技能
1．使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤；
2．能运用加减法解二元一次方程组．
二、过程与方法
1．根据方程的不同特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思想──消元；
2．训练学生的运算技巧．
三、情感态度与价值观
1．进一步理解解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验化归的数学美；
2．根据方程组的特点，引导学生多角度思考问题，培养开拓、创新意识．
教学重点
1．进一步渗透“消元”的数学思想；
2．掌握用加减法解二元一次方程组的原理及一般步骤；
3．能熟练运用加减法解二元一次方程组．
教学难点
灵活运用加减消元法的技巧．
通过复习上节课利用代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入新课，让学生观察比较，从而发现只要将相同未知数前的系数化为绝对值相等的值即可实施加减消元法，进一步让学生探究用代入法还是用加减法解方程组更简单，明确用加减法解题的优越性．
通过反复的训练、归纳；再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．
教具准备
投影片（或课件）．
教学过程
一、创设问题情境，导入新课
师：
请同学们考虑下列问题：
1．用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
1．用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．
①②
学生活动：
口答第1题，书面完成第2题，通过投影展示学生的不同解法．
生1：
解：
把①变形，得x=
③
把③代入②，得3×
-2y=5．
解得y=2．
把y=2代入③，得x=
=3．
∴方程组的解为
．
生2：
解：
由①，得3x=13-2y．③
把3x当作整体代入②，得13-2y-2y=5．
解得y=2．
把y=2代入③，得3x=13-2×2．
∴x=3．
∴方程组的解为
师：
我们发现第二种解法较第一种解法简便，他利用了数学中的整体代入的思想．我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，解决了问题，对于二元一次方程组是不是还有其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？
这就是我们这节课将要学习的内容．
二、探索新知，进入新课
师：
第2题的两个方程中，相同未知数的系数有什么特点．根据我们学过的等式的性质，能不能消掉一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求得方程组的解．
生：
x的系数相同，y的系数互为相反数，将①和②两边相加可以消去y，若将①和②两边相减可以消去x．
（将学生分为两组，各解一种方法）
第一组
解：
①＋②：
得6x=18．
∴x=3．
把x=3代入①，得3×3+2y=13．
∴y=2．
∴方程组的解为
第二组
解：
①－②，得4y=8．
∴y=2．
将y=2代入①，得3x+2×2=13．
∴x=3．
∴方程组的解为
（学生在观察、思考、尝试中发现两组解法结果相同，效果相同）
总结：
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称“加减法”．
师：
提出下列问题，请同学们思考、讨论．
1．比较上面解二元一次方程组的方法，是代入法简单呢？
还是加减法简单？
2．在什么条件下可以用加减法进行消元？
3．什么条件下用加法？
什么条件下用减法？
学生活动结果：
1．加减法；
2．同一未知数系数相等或互为相反数；
3．同一未知数互为相反数时用加法，同一未知数系数相等时用减法．
师：
下面请同学们按照上述解题原则完成P108“思考”．
生：
老师，我有一个问题，习题8．2的第2题的第（3）小题用代入法解，较麻烦，想用消元法解，可同一未知数的系数不相同，也不相反，所以用消元也有困难，是不是还有别的方法？
师：
这个同学提的问题太好了，能发现问题，才能不断解决问题，大家应向他学习．现在请同学们分组讨论方程组
不用代入法如何解？
生：
我们组想出一种方法，能不能用等式性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等（或相反）呢？
生：
可以，我们只要在①和②两边同除以3和5，x的系数就变成了1了．这样就可以用加减法啦．
生：
这样做有缺陷，虽然保证了x系数相同，但y的系数和常数项都成了分数，比用代入法解还麻烦，起不到简化的目的．我觉得应该找y的系数4和-6的绝对值的最小公倍数12在方程①两边同乘以3，方程②两边同乘以2然后两个等式相加，就可以消去y而轻易解出x=6，把x=6代入①得y=-
．从而得出方程组的解．
（学生为他鼓掌）
师：
他的想法太精彩了，我们祝贺他．其实我们遇到的二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，也不一定同一未知数的系数相等或相反．它们往往是像习题8．2．2（3）题这样的方程组．要想用比较简捷的方法把它解出来，就需要学会将复杂转化为简单，将未知数化为已知，比如用最小公倍数将同一未知数系数转化为相等或相反的数学转化思想．下面我们共同来解这个题．（即P108例3）
（教师示范解法）
①②
解：
①×3：
得9x+12y=48．③
②×2：
得10x-12y=66．④
③＋④：
得19x=114．
∴x=6．
把x=6代入①，得3×6+4y=16．
∴y=-
．
∴这个方程组的解是
学生活动：
分组讨论、总结，解决下列两个问题．
出示投影片：
1．加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？
2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么？
分析、讨论结果：
1．加减法解二元一次方程组的基本思想仍是“消元”．与代入法一样要化“二元”为“一元”．其中“加减”或是“代入”，都是手段，而“消元”才是目的．
2．用加减消元法解二元一次方程组的步骤是：
（1）将方程组中的两个方程分别化成有一个未知数的系数的绝对值相等的形式．
（2）如果某未知数的系数互为相反数，则将这两个方程相加，消去该未知数；如果该未知数的系数相同，则将这两个方程相减，消去该未知数，从而得出一个一元一次方程，求出一个未知数的值．
（3）把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程，求出另一个未知数．
（4）把求得的未知数的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
注意：
对于比较复杂的二元一次方程组，要先化成形如
的形式，再考虑用加减消元还是代入消元．
师：
我们现已学了两种解二元一次方程组的方法，那么大家拿到一个二元一次方程组时就要先分析比较用哪种方法简便，然后再决定解决方案．
三、随堂练习
P109例4．
（师生共同分析列出方程组，然后交由学生解方程组）
解：
设1台大型收割机和1台小型收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷．
则由题意可列出方程组：
①②
化简得
②－①：
得11x=4.4，∴x=0.4．
把x=0.4代入①，得4×0.4+10y=3.6．
∴y=0.2．
所以这个方程组的解是
答：
1台大型收割机1小时收割0.4公顷，1台小型收割机1小时收割0.2公顷．
（在练习中鼓励学生主动探索与交流，不强求方法统一．比如上题中整体代入法也是很好的作法）．
四、课时小结
1．学会整体代入的思想方法；
2．掌握加减消元法的作题步骤；
3．会用二元一次方程组解简单应用题．
板书设计
8．2消元
（二）──加减消元法
一、
生1解：
（代入法）生2解：
（整体代入）
二、加减消元法的基本思想──消元．
加减法解二元一次方程组的步骤
三、例3例4
四、小结
活动与探究
1．课本P112习题8．2拓广探索
设这个长方形长为xcm，宽为ycm．
则
这个方程组看起来不是二元一次方程组，但化简后就变成二元一次方程组．活动中鼓励学生要勇敢试一试．进一步体会化归思想的奇妙作用．
1②
②③
2．解三元一次方程组：
活动目的：
进一步体会解多元方程组的基本思想──消元．开阔学生视野，力争培养学生达到触类旁通的效果．
解决问题的思路：
“三元”→“二元”→“一元”观察可以发现①和③可以消去z得到一个关于x、y的二元一次方程记为④，④与②可解得x、y的值，然后代入①即可求出z．
解：
①－③：
得-x+2y=8．④
②+④：
得y=9．
将y=9代入②，得x-9=1，∴x=10．
把x=10，y=9代入①，得10+9+z=26．
∴z=7．
∴这个三元一次方程组的解为
备课资料
一、参考例题
【例1】关于x、y的方程组
的解是互为相反数，求m的值．
解：
将y=-x分别代入两个方程得
①②
①×5：
得20x=5m．③
②×4：
得-20x=4m-72．④
③＋④：
得9m-72=0．
∴m=8．
【例2】已知方程组
有相同的解，求a、b的值．
①②
解：
由题意
与题中方程组解相同
①×2：
得10x+2y=6．③
②＋③：
得11x=11，∴x=1．
把x=1代入①，得5×1+y=3．
∴y=-2．
将x=1，y=-2代入ax+5y=4，得
a+5×（-2）=4，∴a=14．
将x=1，y=-2代入5x+by=1，得
5×1+b·（-2）=1，∴b=2．
二、参考练习
1．选择题
（1）用加减消元法解方程组
时，有以下四种结果，其中正确变形是（）
（1）
A．只有
（1）和
（2）B．只有（3）和（4）
C．只有
（1）和（3）D．只有
（2）和（4）
（2）已知
，则x-y的值是（）
A．1B．0C．-1D．不能确定
（3）方程组
的解x和y的值相等，则k的值等于（）
A．9B．10C．11D．12
2．用加减消元法解方程组：
答案：
1．
（1）B
（2）A（3）C
2．
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