建模路灯照明问题.docx
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建模路灯照明问题
建模-路灯照明问题
数学实验与数学建模
路灯照明问题
年级：
20121060025
班级：
电子信息科学与技术
学生姓名：
吕佳琪
学号：
20121060025
云南大学信息学院
路灯照明问题。
在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。
在漆黑的夜晚,当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？
如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？
如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何?
摘要
点和最亮点。
查阅资料知：
光照强度公式为I=k^^根据题意可建立坐标轴，假设两只路灯在道路上的照射半径的长度之和为20IH,可得路面上某点的照度为两只路灯在该点的照度之和。
列出方程，利用MATLAB软件进行求解,
求出该方程的最值（即最暗点与最亮点及其亮度）。
一、问题重述
在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。
在漆黑的夜晚,当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？
如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变
化，如何路面上最暗点的亮度最大？
如果两只路灯的高度均
可以在3m到9m之间变化，结果又如何？
二、模型假设
1.假设把两个路灯视为质点；
2.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响；
3.假设路灯为同一型号；
4.假设路灯的光照强度Ik卩乌；
r
5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线；
6.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m
7.假设路灯正常工作；
三、变量说明
K路灯光照强度系数
P路灯的功率
S道路的宽度
ai路灯光线与地面的夹角
Ri路灯到路面上某点的距离
hi路灯离地面的垂直距离
X2KW路灯的投影到路面上某点
的距离
l（x）路面上某点的光照强度
四、问题分析
问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴，利用路灯光照
强度的计算公式列出方程，再用MATLAB软件求解。
问题二
由于h2的高度可变，在问题一建立的方程的基础上，先对X
求偏导，再对h2求偏导，最后用MATLAB软件编程求解。
问题三因为hi和h2的高度都可变，同问题二，依次对X，hi,h2求偏导
五、模型的建立
由题意可得下图
S
假定路灯光照强度系数k=1
问题一：
由题意得，
设Q（x,O）点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q
点的照度分别为
要求最暗点和最亮点，即求函数l（x）的最大值和最小值，则可先求出函数的极值点
x3P1h1x3P2ho（sx）30x54（20x）
I（x）=,={{=
&h2x2）5$（忙（sx）2）57（25x2）57（36（20x）2）5利用MATLAB求得i'（x）0时x的值
代码：
s=solve（'（-30*x）/（（25+xA2）A（5/2））+（54*（20-x））/（（3
6+（20-x）A2）A（5/2））'）;
s1=vpa（s,8）;
si
运行结果：
si=
19.97669581
9.338299136
8.538304309-11.61579012*i.2848997038e-1
8.538304309+11.61579012*
因为x>=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的l（x）的值，如下表：
x
0
0.02848
9970
9.33829
91
19.9766
95
20
0.08197
0.08198
0.01824
0.08447
0.08447
l（x）
716
104
393
655
468
综上所述，x=9.33m时，为最暗点；
x=19.97m时，为最亮点。
问题二：
3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时，
Q点的照度为关于x和h2的二元函数：
I（.）Re103h2
x,,（h2x2）3.（忙（sx）2）3、（25x2）3、（忙（20x）2）3
最亮点
2
IP23F2h2
h2.,（hf（sx）2）3（h；（sx）2）5
利用matlab求x:
solve（'3/（（hA2+（20-x）A2）A（3/2））-3*（3*hA2）/（（hA2
+（20-x）A2）A（5/2））=0'）
ans=
20+2A（1/2）*h
20-2A（1/2）*h
即x1=20+2A（1/2）*h（舍去）x2=20-2A（1/2）*h
I3Rhx3F2b（sx）-30（20V2h）9h,（20x）n
x..（h2x2）5..（h（sx）2）5,（25x2）5（h；（20x）2）5
利用matlab求解h2
solve（'-30*（20-2A（1/2）*h）/（（25+（20-2A（1/2）*h）A2）
A（5/2））+9*h*（20-（20-2A（1/2）*h））/（（hA2+（20-（20-2
A（1/2）*h））A2）A（5/2））=0'）
ans=
7.4223928896768612557104509932965
14.120774098526835657369742179215
因为h在3vx<9之间，所以h2=7.42239m
再利用matlab求解x和亮度I
算法:
h=7.42239;
x=20-2A（1/2）*h
I=10/（（25+xA2）A（3/2））+（3*h）/（（hA2+（20-x）A2）A（3
/2））
结果：
9.5032
0.0186
可得，x=9.5032,h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。
问题三：
如果两只灯的高度均可在3M到9M之间变化，则
I为关于x,h1,h2的三元函数，同解可得
I3P1h1x3F2h2（sx）6h|X9h2（20x）
x（h2x2）5,（h；（sx）2）5.（hi2x2）5,（h|（20x）2）5
hi
利用matlab求解x,m,h2的值:
算法：
solve（'1/（（20-x）A3）=2/（3*（xA3））'）;s1=vpa（s,6）;
a=（1/sqrt
（2））*s1;a1=double（a）;b=（1/sqrt
（2））*（20-s1）;b仁double（b）;
a1,b1,s1
结果:
a1=
6.5940
5.1883+12.0274i
5.1883-12.0274i
bl=
7.5482
8.9538-12.0274i
8.9538+12.0274i
si=
9.32530
7.33738+17.0093*
7.33738-17.0093*i
可得，hi=6.5940,h2=7.5482,x=9.32530时，最暗点的亮
度最大
六、模型评价
优点：
通过查阅资料，可得出题中未给出的路灯光照强度计算公式，问题二、问题三的逐步深入，使得题目较为应用化和意义化，增强了题目的应用价值，并且我们也可以利用该题的结果设置需要灯光的建筑物的位置。
缺点：
该模型的路灯光照强度计算公式，存在一定误差。
比如路灯本身不是质点等。
七、参考文献
[1]宗荣、施继红、尉洪、李海燕.数学实验.云南大学出版
社.2009年12月第1版
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