建模路灯照明问题.docx

1、建模路灯照明问题建模-路灯照明问题数学实验与数学建模路灯照明问题年级：20121060025班级：电子信息科学与技术学生姓名：吕佳琪学号：20121060025云南大学信息学院路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw 的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚, 当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮 的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变 化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均 可以在3m到9m之间变化，结果又如何?摘要点和最亮点。查阅资料知：光照强度公式为I = k 根据题意可建立坐标轴，假设两只路灯

2、在道路上的照射半径 的长度之和为20IH,可得路面上某点的照度为两只路灯在该 点的照度之和。列出方程，利用MATLAB软件进行求解,求出该方程的最值（即最暗点与最亮点及其亮度）。一、问题重述在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw 的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚, 当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮 的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、 模型假设1.假设把两个路灯视为质点；2.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响；3.假设

3、路灯为同一型号；4.假设路灯的光照强度I k卩乌 ；r5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线；6.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为 20m7.假设路灯正常工作；三、 变量说明K 路灯光照强度系数P 路灯的功率S 道路的宽度a i 路灯光线与地面的夹角Ri 路灯到路面上某点的距离hi 路灯离地面的垂直距离X 2KW路灯的投影到路面上某点的距离l（x） 路面上某点的光照强度四、问题分析问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴， 利用路灯光照强度的计算公式列出方程，再用 MATLAB软件求解。问题二由于h2的高度可变，在问题一建立的方程的基础上，先对 X求偏导，再对h2求偏导，最后用 MATLA

4、B软件编程求解。问 题三因为hi和h2的高度都可变，同问题二，依次对 X，hi, h2求偏导五、模型的建立由题意可得下图S假定路灯光照强度系数 k=1问题一：由题意得，设Q(x,O)点为两盏路灯连线上的任意一点， 则两盏路灯在Q点的照度分别为要求最暗点和最亮点，即求函数l(x)的最大值和最小值，则 可先求出函数的极值点x 3P1h1x 3P2ho(s x) 30x 54(20 x)I (x) = , = =&h2 x2)5 $(忙(s x)2)5 7(25 x2)5 7(36 (20 x)2)5 利用MATLAB求得i(x) 0时x的值代码：s=solve(-30*x)/(25+xA2)A(5

5、/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)A2)A(5/2);s1=vpa(s,8);si运行结果：si =19.976695819.3382991368.538304309-11.61579012*i .2848997038e-18.538304309+11.61579012*因为x=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的 l(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.976695200.081970.081980.018240.084470.08447l(x)716104393655468综上所述，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时

6、，为最亮点。问题二：3KW的路灯的高度可以在 3M到9M之间变化变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数：I ( . ) Re 10 3h2x, ,(h2 x2)3 .(忙(s x)2)3 、(25 x2)3 、(忙(20 x)2)3最亮点2I P2 3F2h2h2 .,(hf (s x)2)3 (h； (s x)2)5利用matlab求x:solve(3/(hA2+(20-x)A2)A(3/2)-3*(3*hA2)/(hA2+(20-x)A2)A(5/2)=0)ans =20+2A(1/2)*h20-2A(1/2)*h即 x1=20+2A(1/2)*h (舍去) x2=20-2A(1/2)

7、*hI 3Rhx 3F2b(s x) -30(20 V2h) 9h,(20 x) nx .(h2 x2)5 .(h (s x)2)5 ,(25 x2)5 (h； (20 x)2)5利用matlab求解h2solve(-30*(20-2A(1/2)*h)/(25+(20-2A(1/2)*h)A2)A(5/2)+9*h*(20-(20-2A(1/2)*h)/(hA2+(20-(20-2A(1/2)*h)A2)A(5/2)=0)ans =7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因为h在3vx9之间，所以h2=

8、7.42239m再利用matlab求解x和亮度I算法:h=7.42239;x=20-2A(1/2)*hI=10/(25+xA2)A(3/2)+(3*h)/(hA2+(20-x)A2)A(3/2)结果：9.50320.0186可得，x=9.5032 , h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为 0.0186w。问题三：如果两只灯的高度均可在 3M到9M之间变化，则I为关于x,h 1,h 2的三元函数，同解可得I 3P1h1x 3F2h2(s x) 6h|X 9h2(20 x)x (h2 x2)5 ,(h； (s x)2)5 . (hi2 x2)5 ,(h| (20 x)2)5hi利用matl

9、ab求解x, m, h2的值:算法：solve(1/(20-x)A3)=2/(3*(xA3); s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt(2)*s1; a1=double(a); b=(1/sqrt(2)*(20-s1); b仁 double(b);a1,b1,s1结果:a1 =6.59405.1883 +12.0274i5.1883 -12.0274ibl =7.54828.9538 -12.0274i8.9538 +12.0274isi =9.325307.33738+17.0093*7.33738-17.0093*i可得，hi =6.5940 , h2=7.5482 , x=9.32530 时，最暗点的亮度最大六、模型评价优点：通过查阅资料，可得出题中未给出的路灯光照强度计 算公式，问题二、问题三的逐步深入，使得题目较为应用化 和意义化，增强了题目的应用价值，并且我们也可以利用该 题的结果设置需要灯光的建筑物的位置。缺点：该模型的路灯光照强度计算公式，存在一定误差。比 如路灯本身不是质点等。七、参考文献1宗荣、施继红、尉洪、李海燕 .数学实验.云南大学出版社.2009年12月第1版