北京西城高二上期末数学教师版.docx
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北京西城高二上期末数学教师版
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷
2021.1
高二数学
本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共50分）
一、单项选择题:
认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
共10小题，每小题5分，共50分。
（1）在复平而内，复数z对应的点的坐标是（21）,则复数Z二
（A）2-i（B）l-2i
（C）2+i（D）l+2i
（2）在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则，匸
（A）4（B）5
（C）6（D）7
⑶椭圆汩討的焦点坐标为
（A）（5,0）,（-5,0）
（B）（3,0）,（-3,0）
（C）（0,5）,（0,-5）
（D）（0,3）,（0,-3）
（4）已知直线厶：
or-y-l=0,厶：
ox+（a+2）y+l=0・若厶丄厶，则实数°=
（A）-1或1
（B）0或1
（C）一1或2
（D）一3或2
（5）已知平而&丄平而0,=下列结论中正确的是
（A）若直线加丄平面a,则milp
（B）若平而了丄平而a,贝0////?
（C）若直线加丄直线则加丄0
（D）若平而卩丄直线则了丄0
（6）将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部分给3人，每人至少1张•如果分给
同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是
（A）24
（B）18
（C）12
（D）6
（7）已知双曲线C：
4-—=1的两个焦点是，点卩在双曲线C上.若C的离心率
/16
为】，且IP斥1=10,贝'JIPFJ=
3■
（A）4或16（B）7或13
（C）7或16（D）4或13
（8）在正三棱锥P-ABC中，AB=3.PA=2.则直线Q4与平WiABC所成角的大小为
（A）30°（B）45°
（C）60°（D）75°
（9）已知圆Q的方程为（x-«）2+（y-b）2=4,圆Q的方程为x2+（y-b+\）2=\t其中
“,beR.那么这两个圆的位垃关系不可能为
（A）外离（B）外切
（C）内含（D）内切
2
（10）点M在直线/:
x=2上，若椭圆C：
x2+4=1上存在两点48,使得是等
4
腰三角形，则称椭圆C•具有性质P.下列结论中正确的是
（A）对于直线/上的所有点，椭圆C都不具有性质P
（B）直线/上仅有有限个点，使椭圆C具有性质P
（C）直线/上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质P
（D）对于直线/上的所有点，椭圆C都具有性质P
第二部分（非选择题共100分）
二'填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（11）已知复数z=i-（l+i）,贝ijlzl=—.
2
（12）若双曲线C:
F—L=l（〃>0）的焦距为2$贝忆=—:
C的渐近线方程为.
lr
（13）设（x—2）4=a4x4+a3x3+a2x2+axx+a{y>则q+a2+"3+a4=・
（14）在空间直角坐标系Oyz中，已知点A（l,0,0）・B（020）,C（0,0,2）J（0,0,l）,则直线Q
与BC所成角的大小是_・
（15）已知抛物线/=4x的焦点为F,准线为/,点P在抛物线上，PQJJ于点Q.若
△PQF是锐角三角形,则点P的横坐标的取值范帀是—・
（16）如图，正方体ABCD-A,B}C}D}的棱长为1,EF分别为BgO的中点，P是底
而上一点.若AP〃平而BEF，则AP长度的最小值是—:
最大值是—・
AB
三、解答题共6小题，共76分。
解答应写岀文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题10分）
生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名•现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.
（18）（本小题12分）
已知圆C过原点O和点A（l,3）,圆心在直线y=l上.
（I）求圆C的方程：
（II）直线/经过点O,且/被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.
（19）（本小题13分）
如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=A^9DEF分别是BC.BB^AA^的中点.
（I）求证：
CF//平而ADE；
（II）求证：
丄平^ADE.
（20）（本小题13分）
如图，设点A"在x轴上，且关于原点O对称.点P满足tanZPAB=2.tanZPA4=l,
且的而积为20.
（I）求点P的坐标；
（II）以43为焦点，且过点P的椭圆记为C.设M（i0,y0）是C上一点，且-1求儿的取值范围.yk
（21）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平而E为AD的中点，底而ABCQ是边长为2的正方形，且二而角P—BE-C的余弦值为近.
（I）求加的长;
（22）（本小题14分）
22
已知椭圆c：
二+・=l（d>b〉0）的一个焦点为F（-1.0）,A（-“0）,4S0）,且crb-
\A2F\=3.
（I）求椭圆c的方程；
（II）过点F的直线交椭圆C于点M记△4MN和△4M/V的面积分别为S和S?
.当S厂S严甞~时，求直线MN的方程.
北京市西城区202—2021学年度第一学期期末试卷
注：
（12）、（16）题每空2分。
三、解答题（共6小题，共76分）
（17）（共10分）
解：
（I）正、副组长2人中有且只有1人入选,
选派方法数为C\C^=90.
（II）正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选,
选派方法数为C；C：
=9・
所以正.副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为
（18）（共12分）
解：
（I）设圆C的圆心坐标为（/1）・……1分
依题意，有佔+12=血一1）2+22,......3分
解得d=2.……4分
从而圆C的半径为r=扮+F=V5,……5分
所以圆C的方程为（A-2）2+（y-l）2=5.……6分
（II）依题意，圆C的圆心到直线/的距离为2.……7分
显然直线兀=0符合题意.……8分
当直线/的斜率存在时，设其方程为y=kx9即kx^y=O・……9分
因为—G为正三棱柱，且=
所以侧面AAB3为正方形.……1分
因为E,F分別是BB^AA,的中点，
所以O是BF的中点.……2分
又因为D是BC的中点，
所以OD//CF.4分
因为ODu平而CF0平IfilA£）E>……5分
所以CF〃平而ADE.……6分
（II）因为△初C为正三角形，
所以AQ丄BC・……7分又CC、丄平而ABC,所以ADLCC{.
所以AD丄平面B/CC|.
10分
所以BC；丄AD.
连接3C・因为侧而B、BCC\为正方形,
所以BC；丄妫C.……11分
所以BC；丄£>£.……12分
所以Bq丄平面ADE.……13分
（20）（共13分）
解:
（I）设A（—c,0）』（c,0）・
所以*—20,
解得c=5.
所以点P的坐标为（-3,4）.
（II）由（I）得A（—5,O）,B（5,O）・
所WlPAl=7（-3+5）2+42=2>/5.IP3I=J（_3-5F+军=4书
8分
22
设以A・B为焦点且过点P的椭圆方程为C：
（+「=1.crlr
则a=-（\PA\+\PB\）=3>/59又/r=a2-c2=20,
所以椭圆C的方程为却斜.
10分
‘11分
所以着+即-Vo=20（1~
因为-l所以16vy：
W20.
12分
所以y°的取值范用是［-271-4）U42亦］.
（21）（共14分）
解：
（I）依题意，D4.DC.DP两两互相垂直，如图
建立空间直角坐标系D-xyz・……1分
设PD=h（h>0）・
由题意得E（1,O,O）,B（Z2,0）,P（0,0/）・
所以PE=（1,0,-A）,耐=（120）・
设平面PEB的法向量为〃=（勺,凡心），则注"即……4分
[nEB=0.lxo+2耳）=0.
2
令x0=2,则y0=-1,心=二.
于是w=（2-l,-）•
又因为PD丄平而ABCD,
所以平而ABCD的一个法向量为加=（0.0J）・
2
依题意，有C0sa”./Q=F""；=亍=垃，
IntIInICp玄76
卩+1-+（声
解得〃=2,
所以PD=2.
（II）由（I）得，平而PEB的法向量为//=（2-1,1）.
又020）,
所以必=（一2,0・0）・
（22）（共14分）
解：
（【）依题意，椭圆C的半焦距c=l,
所UllA2FI=a+c=3.
所以/y=a2-c2=3.……3分
22
所以椭圆C的方程为—+4=,・……4分
43
（II）当直线MN的斜率不存在时，英方程为x=-l.
此时M（-导皿7-彳）,或M（-1厂尹（-1岭）・
乙厶乙乙
所以S）=y»S,=,即S2-5,=3,不合题意.5分
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=k（x+l）伙hO）・
由得（3+4，庆+8心+4疋_12=0・……6分
[3x2+4y2=12
肿"'一I?
设M（xl,yl）,/V（x29y2）,则+x2=-,x}x2=?
・8分
3I气人D十^tK
因为S严”人尸1（1川+1儿1），S^ll^FKIyJ+lyJ）,
所以S?
-5,=iX2X（I|+1y2I）=|y}-y2I=lk（召一冷）110分
=IRIJ（X]+q）2_4召耳
12分
13分
14分
_12lklW+l=3+4?
-
解得&=±1・
人12MIjF+1_\2羽V~3+4疋—-了所以直线MN的方程为x—y+l=0,或x+y+l=0.
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