第二章 变焦距物镜高斯光学.docx

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第二章变焦距物镜高斯光学

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§2.1变焦距物镜高斯光学基本表达式

求解变焦距物镜高斯光学参数，实际上是确定变焦系统在满足像面稳定和焦距在一定范围内可变的条件下系统中各组元的焦距、间隔、位移量等参数。

这些高斯光学参数的确定需要通过建立数学模型来解决，这里我们选择系统内各组元的垂轴放大率βi（i=1,2,3,…n）作为自变量[6]，因为用βi做自变量可以表示出系统及系统内各组元的其它参量，使方程的建立更加容易，形式比较规则,从而更便于分析，而且它可以直接反映变焦过程中的一些特征点，如βi倍，-1倍，1/βi倍。

若一变焦距物镜由n个透镜组组成，用F1,F2...Fn表示第一、二...N组元的焦距值，β1,β2...βn表示第一、二...n组元的垂轴放大率。

那么可以得到：

F=F1β2β3……βn（2-1-1）

其中F表示系统总焦距值。

由上式可知，变焦距物镜的合成焦距F为前固定组焦距F1和其后各透镜组垂轴放大率的乘积。

F之变化即β2,β3…βN乘积之变化[14]。

Γ=FL/FS=（β2Lβ3L……βnL）/（β2Sβ3S……βnS）（2-1-2）

其中Γ表示系统的变倍比，也称“倍率”，Γ

10，称为高变倍比，否则称为低变倍比[14]。

L表示长焦距状态，S表示短焦距状态。

γi=βL/βiS（i=1,2,...n）（2-1-3）

其中γi表示各组元的变倍比。

由（2-2）和（2-3）式可得

Γ=γ1γ2...γn（i=1,2,...n）（2-1-4）

此式表明了系统变倍比与各组元变倍比之间的关系。

Li=（2-βi-1/βi）Fi（i=1,2,...n）（2-1-5）

其中Li表示各组元的物象共轭距。

li=（1/βi-1）Fi（i=1,2,...n）（2-1-6）

li表示各组元的物距。

li’=（1-βi）Fi（i=1,2,...n）（2-1-6’）

li’表示各组元的像距。

di,i+1=（1-βi）Fi+（1-1/βi+1）Fi（2-1-7）

从上面的公式可以看出，垂轴放大率βi作为自变量是可以表达出其它参数的，因此在求解高斯光学过程中，就围绕着垂轴放大率来讨论变焦系统的最佳解。

§2.2机械补偿法变焦距物镜高斯光学

前面讲过，变焦距物镜高斯光学参数的确定在变焦系统设计过程中至关重要，必须要建立变焦系统方程，并解方程以确定这些参数。

在给定初始状态后，为了在选择初始参数时确保方程有解，首先应该分析一下变焦系统的运动过程。

在以往的研究中，很多人采用高斯括号[13]和连分数法[10]对这一过程进行分析，但是这些方法都比较烦琐，难于运算，不直观，所以我们用数学解析式来分析变焦运动过程。

这一节主要讨论机械补偿变焦距物镜的高斯光学。

首先，看一下变焦距运动过程的示意图（2-2-1），为达到变焦目的，变倍组需沿光轴作线性移动，设其放大率由β20变为β2，此时像点移动了，为满足像点不动的要求，补偿组需作相应的沿轴移动，使补偿组放大率从β30变为β3，此时变焦距物镜

AA’

D

图（2-2-1）变焦运动过程

的变倍比

Γ=

=

（2-2-1）

欲满足像点位置不变，必须使图（2-2-1）中的点A到点A‘之距离D为常量[14]，即变倍组和补偿组在移动过程中合成共轭距为常量。

因此可以得到：

L2+L3=（2-β20-1/β20）F2+（2-β30-1/β30）F3（2-2-2）

式中β20,β30对应初始位置（长焦距状态或短焦距状态）的垂轴放大率。

实现变焦后

L2+L3=（2-β2-1/β2）F2+（2-β3-1/β3）F3（2-2-3）

式中β2，β3对应某一新位置的放大率。

对（2-2-1）和（2-2-2）式整理得

（β2+1/β2-β20-1/β20）F2+（β3+1/β3-β30-1/β30）F3=0（2-2-4）

由式（2-2-4）和式（2-2-1）可得

β32-bβ3+1=0（2-2-5）

其中b=-

（1/β2-1/β20+β2-β20）+（1/β30+β30）,式（2-2-5）适用于当给定初值β20和β30后，再任选一个β2来求满足像面稳定的β3。

解式（2-2-5）得

β3=

（2-2-6）

通过式（2-2-4）还可以得到：

aβ22-bβ2+C=0（2-2-7）

其中a=F2+F3/β,b=（1/β20+β20）F2+（1/β30+β30）F3,C=F2+βF3β=β2β3。

解方程（2-2-7）得：

β2=

，β3=β/β2（2-2-8）

式（2-2-8）一般用于已知初始值β20、β30，并给定变倍比Γ时，求出相应的β2和β3。

由式（2-2-6）可以发现β3的两个根是互为倒数的，即β31=1/β32，这也就是保持共轭距不变的“物像交换”位置，因而对应于一个β2必同时存在两个β3值β31和β32[14]，都可以实现像面补偿。

当确定了β20，β30，β2和β3后，假设F2，F3，d12,d23,d34均为系统的初始参数，那么，很容易求出系统的其余高斯参数。

可以把变焦过程理解为一个连续的微分过程。

设在变焦过程中，变倍组和补偿组偏离初始状态位置的移动量分别用x和y表示，而且规定自左向右为正，反之为负。

由几何光学知:

l=F（1/β-1）

l1=F（1-β）（2-2-9）

对上式求导可得:

dl=Fd（1/β）

dl1=Fdβ（2-2-10）

因此，变倍组偏离初始状态位置的移动量x可由下式求得:

x=-dl2=F2（1/β20-1/β2）（2-2-11）

同理，补偿组偏离初始状态的移动量y由下式求得:

y=-dl31=F3（β3-β30）（2-2-12）

另外，F1=d12+（1/β20-1）F2（2-2-13）

β4=F/（F1β2β3）（2-2-14）

l4’=β4l4=β4（l31-d34）

=β4

（2-2-15）

F4=l4‘/（1-β4）（2-2-16）

式（2-2-11）至式（2-1-16）中的高斯光学参数是在假定F2，F3，d12,d23,d34均为系统的初始参数的前提下解出的，下面就讨论一下如何确定F2，F3，d12,d23,d34这些参数的问题。

首先，在考虑焦距分配时，一般是取规划值，例如，通常令F2=-1[3]，然后根据总的焦距的需要再进行按比例地缩放即可，也就是说，对实际系统要在规划值下求出的解乘上一个放大因子。

其次，d12,d23,d34的选择应该遵循在各组元不相碰的条件下取最小值的原则，这样可以缩短整个系统的长度。

最后，由高斯光学物像公式可得

β3=

=

（2-2-17）

由上式看出，F3，β20，β30是相关的，F3的选取有较大的余地，并且与d23的关系比较大。

但有一点，F3不宜过长或过短，过长时补偿像面位移需要的补偿量太大，过短时补偿组负担的相对孔径太大，设计比较困难。

关于F3以及d23的选取在讨论了各组元的运动情况后，将会有更加详细的说明。

接下来，再来分析一下变倍曲线与补偿曲线的关系。

对式（2-2-4）微分可得:

（2-2-18）

写成导数形式

（2-2-19）

当

=0，即β2=

1时，β3取极值。

β2=1无意义，所以β3的极值发生在β2=-1时，它的物理意义是明显的，由式（2-1-5）知，变倍组的共轭距为：

L2=（2-β2-1/β2）F2

对其求导得：

（2-2-20）

可知，当β2=-1时，变倍组的共轭距L2有最大值，即|L2|有最小值，也就是说，此时，变倍组共轭距最短，共轭距变化最大[6]。

同时，在变焦过程中，变倍组与补偿组的合成共轭距是不变的，即补偿组共轭距的变化正好抵消了变倍组共轭距的变化，所以当β2=-1时，补偿组的共轭距也达到极值，移动量也达最大。

图（2-2-2）

β31β32

β2=-1

图（2-2-2）变倍、补偿曲线示意图

即为变倍曲线和补偿曲线的示意图，可以帮助我们更好地理解β2=-1这一特征点。

根据图可看出，对应于一个β2同时存在两个β3值β31和β32都可实现像面补偿，当|β2|由小到大递增时，|β31|先由大到小递减，当β2=-1时，|β31|出现了极值，随后便由小到大递增了。

|β32|则正好与|β31|相反。

至此，围绕机械补偿法变焦距系统共轭量不变式（2-2-4）进行了一系列的推导，得出了求解高斯光学参数的数学模型，并讨论了变倍曲线和补偿曲线的关系，还特别研究了β2=-1这一特征点，随着以后进一步的论述，我们会发现β2=-1这一特征点是整个课题的一个重点和难点。

总之，这一节内容是本课题的基本理论基础,在下一节将更加详细地描述机械补偿变焦距物镜各组元的运动情况，以便更好地理解变焦运动过程。

§2.3变焦距物镜各组元运动的分析

这一节主要分析机械补偿法变焦距系统各组元的运动情况，关于全动型变焦系统将在下一节介绍。

机械补偿法变焦距系统分为正组补偿系统和负组补偿系统两种，由于这两种系统存在差别，所以，下面就分别对它们的运动作一些初步分析。

（一）正组补偿

变焦系统焦距的连续变化和像面稳定是通过变倍组和补偿组的移动（即改变它们之间的空气间隔）来实现的。

首先看一下变倍组元的运动情况，机械补偿系统中，变倍组元一般是沿光轴作线性运动，变倍组的物点（即被摄物体经前固定组所成的像）是保持不动的，而物点经变倍组后所成的像则随着变倍组的移动而移动。

变倍组的运动轨迹及变倍组物像点的运动轨迹如图（2-3-1）所示。

其中β20表示初始位置，A表示物点，A‘表示像点。

从图中可以看到，在整个运动过程中，A始终保持不变，当变倍组由初始位置β20向A移动时，变倍组垂轴放大率β2的绝对值

由小到大递增，系统的焦距值也由短向长变化，此时像点A‘由左向右移动，当β2=-1时，A、A’之间的距离（即变倍组的共轭距）达到最小值。

变倍组继续向右移动时，A‘开始

A‘A

β20

β2=-1

1/β20A‘A

图（2-3-1）变倍组运动轨迹

向左移动，当β2=1/β20时，A’回到初始位置，β2=β20，β2=1/β20这两个位置称为变倍组的物像交换位置，在这两个位置变倍组有相同的共轭距而倍率互为倒数。

假设系统只有一个变倍组移动，在变倍组的移动过程中，焦距值发生变化，但除了变倍组的两个物像交换位置像平面是一致外，其余焦距位置的像平面则有偏移，这样的系统在系统变倍比较大且焦距较长，质量要求较高时是不能使用的。

为了补偿由变倍组的运动引起的像面位移，补偿组需要作一定的非线性运动，下面就讨论一下补偿组的运动情况。

对于补偿组来说，它的物点就是变倍组的像点，是一个动点，它的像应该保持在光轴上某一点不动，这样才能保证最后的像面稳定。

补偿组及它的物像点的运动轨迹如图（2-3-2）所示：

|β2|<1A

A‘

β2=-1

|β2|>1AA’

图（2-3-2）补偿组运动轨迹

根据图知，当|β2|由小到大递增时，|β2|也由小到大递增，当β2=-1时，|β3|出现了极值，随后便由大到小递减,因此正组补偿往往取上半段，因为下半段几乎对变焦比无贡献。

这里提出了一个问题，正组补偿是否可以向下取段对倍率也有贡献呢？

答案是可能的，前面说过，一般补偿曲线有两条，如图（2-3-3）所示，在12段补偿组的倍率是第增的，另外，在2‘3‘段补偿组的倍率也是递增的，我们希望所选取的补偿曲线是12段及2’3‘段，这样整个变倍过程补偿组对倍率都有贡献。

但如图（2-3-3）所示，补偿曲线不平滑，由12段向2’3’段过渡时中间断裂。

假如这两条曲线在2.2’（即β2=-1）处相切，则曲线是可

|β31|>1|β32|<1

1‘1

2‘2

3‘3

图（2-3-3）补偿曲线示意图

以平滑地连接起来，这就是所谓的“平滑换根”问题[12]。

这时要求β3在2.2’处有等价的值。

由（2-2-6）式，当

b2=4即b=

2

时，β3有重根，β3=

1，β3=+1无意义，取β3=-1的解。

所以β3=-1便是切点，在此时换根，倍率是增加的。

曲线亦平滑变化。

这从简单的考虑也可以发现：

两个根既要相等又要互为倒数，那只有β3=

1。

此时补偿曲线就如图（2-3-3’），图中实线

1’1

β2=-12’2

3’3

图（2-3-3’）平滑换根示意图

所示就是满足“平滑换根”的正组补偿曲线。

在实际设计中，怎样才能保证补偿曲线平滑地换根呢？

通常有两种方法，一是尝试法，以逐次逼近的方式最后达到比较平滑的换根曲线，另一种方法就是根据前推导的公式直接求出所需结果。

上面曾说过，若要实现补偿曲线的平滑换根，当β2=-1时，必须有β3=-1，那么从这个条件出发，便可以推导以下平滑换根的充要条件。

由式（2-2-17）得

β3=

=

现在把条件β2=-1，β3=-1带入公式得

2F3=d23–2F2即F3=

（2-3-1）

其中，d23表示β2=-1时变倍组和补偿组之间的间隔。

实际上式（2-3-1）就是实现平滑换根的充要条件。

接下来，讨论一下当不取满足平滑换根条件下的F3时变倍组和补偿组之间的关系及对变焦系统的影响。

对于一般情况，即F2=-1，F3

1，β2=-1，d23

0（β2=-1时）。

在这种情况下，当取F3满足|β30|<1时，（β30是β2=-1时β3的值）F3应满足：

（2-3-2）

即

F3

（2-3-3）

若变倍组向左移动，|β2|单调下降，而|L2|单调增加，为了保持像面的稳定，补偿组必须作相应的移动，此时，补偿组应该是向右移动，所以|β3|也单调下降，参考图（2-3-3），在这种情况下，补偿组只能沿|β32|轨迹移动，变倍组和补偿组均对系统倍率的变化有贡献。

若当F3>

时，|β30|>1，当变倍组向左移动时，补偿组只能沿着|β31|轨迹移动，此时|β2|单调下降，|β3|却单调上升，所以在这种情况下，补偿组不仅对变倍无贡献，而且还抵消了一部分变倍组对倍率的贡献，因此，对于正组补偿系统，当取β2=-1的上半段时，F3取值应满足

F3

（2-3-4）

当取规划值F2=-1时，上式变为

F3

（2-3-5）

这里d23也是规划值。

对于一般的正组补偿系统，F3的值多取1到1.3之间。

现在考察一下正组补偿向下取段的情况：

当F3<

时，若变倍组向右运动，|β2|单调上升，此时，补偿组只能向右运动，所以|β3|单调下降，可见此时补偿组只起到了补偿像面的作用，但同时也抵消了一部分变倍组的倍率变化，这也是为什么一般正组补偿只取上半段的原因。

当F3>

时，若变倍组向右移动，|β2|单调上升，|β3|也单调上升，也就是说,此时变倍组和补偿组对变倍都有贡献。

这似乎是一种可取的方案，但这将会带来一个问题，由式（2-2-11）和（2-2-12），并把F2=-1代入，可得到变倍组和补偿组位移量的另一种表达形式

x=

（2-2-11’）

y=

（2-2-12’）

由于F3>

，

>1，同时运动时补偿组的位移量将会大于变倍组的位移量，这将会使系统的长度增加，所以一般正组补偿系统向下取段的较少。

当F3=

时，就构成“平滑换根”系统。

图（2-3-4），（2-3-5），（2-3-6）分别表示上面三种情况补偿曲线的示意图。

图（2-3-4）F3

图（2-3-5）F3>

图（2-3-6）F3=

通过以上分析，现在可以讨论一下β2的选取问题。

一般来说，对于大倍率系统，可以优先考虑取满足平滑换根的解，β2的选取可对称选段或略偏上；对于倍率要求不高的系统，β2的选段应使变倍组在-1倍上半段运动。

对正组补偿法变焦系统的各组元的运动情况作了上述描述后，就可以更加详细地论述F3和d23的取值问题了。

对于正组补偿系统来说F3和d23的取值应注意配合，对-1倍上半段取值的系统，应使F3的值满足：

β2=-1时，F3

（d23是β2=-1时的取值），而且F3的值最好是比较接近

，若F3过小，容易出现补偿组对倍率变化的贡献太小，而且补偿组所负担的相对孔径较大。

当取d23尽可能小又保证变倍组与补偿组在变焦运动过程中不相碰时，最好就取F3=

，这种情况下，变倍组与补偿组对变倍比的贡献大小比较一致，它非常接近最速变焦路线。

一般来说，对-1倍以上取段的正组补偿系统来说，F3的取值通常是1到1.3比较合适[3]。

对于“平滑换根”系统，F3的取值必须为F3=

，因此F3的选取完全由d23来确定，而d23的取值又根据变倍组与补偿组在运动中不相碰来选取，一般来说，若对称取段，令中焦位置时β2=-1，那么当变倍比大时，d23要取得大一些，当变倍比小时d23要取得小一些。

（二）负组补偿

负组补偿变焦系统变倍组元的运动情况与正组补偿系统相同，但负组补偿补偿组的运动轨迹要比正组补偿的简单一些，因为对于负组补偿来说，它不存在换根问题。

它的补偿组的物实际上是变倍组提供的虚物，所以它的像也是虚象。

图（2-3-7）描述了负组补偿系统物像关系。

理论上，负组补偿系统也应该有两条补偿曲线，这两条曲线也应该满足物像交换原则，即β31=1/β32，但是从图（2-3-7）可以看出，F3<0,β2<0,所以不论F3取什么值，总有X3<0，且

，根据牛顿公式，β3=F3/X3，因此总有关系式：

0<β3<1,所以，负组补偿的补偿曲线只有一条，若它也有两条曲线，β31，β32，既要

A2’（A3）A2

F3’F3

-X

图（2-3-7）负组补偿变焦系统物像关系

满足β31=1/β32，又要满足0<β3<1，那么这是不可能的，图（2-3-8）描述了负组补偿变焦系统变倍组曲线与补偿组曲线的关系。

β2β3

β2=-1

图（2-3-8）负组补偿系统变倍组与补偿组曲线

从上图可以看出，负组补偿系统与正组补偿系统有一个共同点，那就是当β2=-1时，补偿组的位移量也达到极大值。

对于负组补偿系统，在变焦运动过程中，对倍率产生贡献的主要是变倍组，补偿组一般只是起着补偿像面稳定的作用，所以实际的负组补偿变焦系统大都是变倍组的-1倍位置处于变倍运动的中间对称选段，使它满足物像交换原则，因为补偿组比较靠近光阑，它的通光孔径主要由光阑来决定，当变倍组取物像交换原则时，它的相对孔径在长短焦距状态下是一致的，一般只要求它不产生较大的球差就行。

在这种情况下，系统的变倍比完全由变倍组决定，即：

Γ=

（2-3-6）

其中，L表示长焦距值状态，S表示短焦距值状态。

对于F3的取值一般为-3左右，不宜过长或过短，取得过长，补偿组的移动量变大，系统长度也增大，头部变得略粗，对系统的小型化和凸轮曲线都不利；取得过短，补偿组负担的相对孔径增大，不利于像差的校正，此外，F3绝对值小的系统后工作距离略长。

不过，总的来说，负组补偿系统F3的选值要比正组补偿系统的范围大一些，它对整个系统的影响明显的不如正组补偿那么敏感。

对于d23的选取有一问题要注意，看起来最长焦距时，变倍组在最右面，可能认为在最长焦距位置时变倍组和补偿组最易相碰，留的间隔是根据长焦距位置时不相碰来考虑，但这样可能要出问题，因为变倍组与补偿组的间隔一般来说是在次长焦距时最小。

这主要是在次长焦距附近位置，变倍组移动较慢而补偿组移动较快，反而在最长焦距时间隔大了，所以考虑长焦距时的d23时要留有一些余量[3]。

这里可用数学表达式来做进一步的证明。

由式（2-7）可得：

d23=（1-β2）F2+（1-1/β3）F3（2-3-7）

在变焦过程中，β2，β3不断变化，同时又满足

（β2+1/β2）F2+（β3+1/β3）F3=C（常数）（2-3-8）

根据拉格朗日条件极值，设：

U（β2，β3）=（1-β2）F2+（1-1/β3）F3

+λ

（2-3-9）

对上式求偏导数：

（2-3-10）

（2-3-11）

令上两式为零得：

（2-3-12）

（2-3-13）

两式相除整理得：

（2-3-14）

即：

（2-3-15）

至此，可知，d23的极值点发生在

处，但对负组补偿系统来说，

<0，

，所以，d23的极小值必然在

处。

不过，有的负组补偿系统由于变倍比较小或偏上取段，使得整个系统即便处于长焦状态时，

仍小于1，那么在这种情况下，d23的最小值便处于长焦距状态下了。

§2.4双组联动型变焦物镜高斯光学

第一章介绍过，双组联动型变焦距物镜是基于光学补偿法的原理，从典型的光学补偿系统逐步演变而来的。

它一般是有两个组元采取联动的方式（习惯上我们把它叫做变倍组），即按同一轨迹移动，而另一组元作相应的运动（一般是非线性运动），综合运动的结果达到连续变倍过程中的像面稳定。

图（2-4-1）就是一种最常见双组联动系统。

其实这种系统也是机械补偿变焦系统的一种，它与上一节讨论的机械补偿系统的特性非常相似，所以这一节只是简单地讨论一下双组联动型物镜与前面讲述的机械补偿物镜数学模型的不同之处。

234

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图（2-4-1）双组联动变焦系统

与机械补偿系统一样，双组联动变焦系统变焦过程中变倍组和补偿组的合成共轭距是不变的，这同样也是建立数学方程的基础。

还是规定下标0表示初始位置时的状态，位移及补偿量的符号规定同上一节。

首先建立合成共轭距不变式：

L2+L3+L4=（2-β2-1/β2）F2+（2-β3-1/β3）F3+（2-β4-1/β4）F4

=（2-β20-1/β20）F2+（2-β30-1/β30）F3+（2-β40-1/β40）F4

=常量（2-4-1）

整理上式得：

（β2+1/β-β20-1/β20）F2+（β3+1/β3-β30-1/β30）F3

+（β4+1/β4-β40-1/β40）F2=0（2-4-2）

由上式同样可导出：

β3–bβ3+1=0或β3=

（2-4-3）

其中

b=

对式（2-4-2）微分可得：

（2-4-4）

可知

的充分必要条件是

，同样去掉

的情况。

不难断定在

点

曲线获得极值，即此时补偿组的移动量达到极值。

由式（2-4-3）知，当b=-2即

=-1时，补偿组的两条曲线相切，此时才可以实现“平滑换根”。

下面是变倍组和补偿组的位移量的表达式：

x=

（2-4-5）

y=

（2-4-6）

进一步可得各组元之间的间隔：

d12