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中学数学逻辑

第六讲中学数学的逻辑基础

（2）

本讲简介：

恩格斯指出：

“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样。

”中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，也部分地涉及到辩证逻辑。

本讲以唯物辩证法作指导，重点考察数学推理和数学证明的逻辑基础。

知识结构：

学习建议：

逻辑思维的基本规律有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，这些规律是进行正确思维的保证，务必深刻理解并自觉地遵循。

演绎推理和完全归纳法是严格的推理形式，是数学证明的重要工具。

不完全归纳法和类比法虽然只是似真的推理，但它们在科学和数学的发现和发明中有重要的作用，在数学教学中有助于寻找规律、猜测结论、探究解题思路，应引起足够的重视。

反证法是一种常用的证明方法，它的逻辑基础是矛盾律和排中律，要理解反证法的实质并熟练掌握其步骤。

重点与难点：

本讲的重点是熟练正确地运用演绎推理、归纳推理、类比推理这三种推理形式以及牢固掌握反证法的证明步骤。

第一节逻辑思维的基本规律

一、同一律

同一律的内容是：

在同一思维过程中，所有的概念、命题必须确定，必须始终保持一致。

根据同一律的内容，，它有两点基本要求：

一是思维对象应保持同一。

例如，解方程或因式分解时，在什么数集中讨论应该确定，否则结果就可能不同。

二是表示同一事物的概念应保持同一。

即概念的内涵和外延应确定，不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起来用同一个概念表示。

例如，用同一个字母或符号表示不同的概念或对象就违反了同一律。

违反同一律常见的错误是思维混乱，前后不一。

在推理、证明过程中，具体表现为偷换概念、偷换论题等错误。

应该指出，同一律要求的“同一”，是指在“同一思维过程”中，在不同的思维过程中，我们并不要求概念和命题永远保持不变。

例如，“角”的概念在平面几何、立体几何和三角函数中就有不同的含义。

二、矛盾律

矛盾律的内容是：

在同一思维过程中，两个互相矛盾（或对立）的命题不能同真，必有一假。

矛盾律要求思维不能自相矛盾。

例如，“是无理数”和“是有理数”是两个互相矛盾的命题，其中必有一个是假的。

又如，“是锐角三角形”和“是钝角三角形”是两个互相对立的命题，其中至少有一个是假的。

三、排中律

排中律的内容是：

在同一思维过程中，两个互相矛盾的命题和不能同假，必有一真。

排中律要求人们的思维有明确性，避免模棱两可。

例如，如果我们证明了“是有理数”是假的，根据排中律，就可断定“是无理数”是真的。

根据矛盾律和排中律，两个互相矛盾的命题和恰有一个真的，一个假的。

它们是反证法的逻辑基础。

当直接证明一个命题有困难时，可以证明由这个命题的否定命题（否定式）会推出互相矛盾的结果就行了。

四、充足理由律

充足理由律的内容是任何一个真实的命题，必须有充足的理由。

充足理由律要求理由和推断之间，存在着本质上的必然联系。

理由应是推断的充分条件，推断应是理由的必要条件。

第二节　数学推理

一、推理的意义和结构

推理是从一个或几个已知命题，得出另一个新命题的思维形式。

任何推理都包含前提和结论两个部分。

前提是推理所依据的部分，它告诉我们已知的事实是什么，推理的前提可以是一个或几个。

结论是根据前提所推出的命题，它告诉我们推出的结果是什么。

数学推理，是寻求新的结果，由已知进到未知的重要方法，也是解答数学问题、进行数学证明的基本工具。

逻辑思维对推理的基本要求是：

推理要合乎逻辑，即进行推理时要合乎推理的形式，遵守推理的规则。

数学中常用的推理有演绎推理、归纳推理、类比推理。

二、演绎推理

演绎推理，又称演绎法。

它是从一般性较大的前提，推得一般性较小的结论的推理。

简单地说，演绎推理是由一般到个别或特殊的推理。

演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系。

只要前提是真的，由演绎推理得出的结论一定是真的。

因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。

演绎推理的常见形式有关系推理、联言推理、选言推理和假言推理等。

我们先来考察作为演绎推理重要依据的逻辑公理。

1.逻辑公理

逻辑公理：

如果某一集合中的所有元素都具有属性，则中的每一个个别的元素也具有属性。

于是有推理规则：

逻辑公理的推广：

如果某一集合中的所有元素都具有属性，则集合的任一非空子集中的每一元素也具有属性。

于是有推理规则：

规则和都适用于以全称命题为前提的推理。

2.关系推理

3.联言推理

联言推理是根据联言命题的逻辑性质而进行的推理，它的前提或结论是联言命题。

（1）联言推理的分解式。

由联言命题为真，推演出它的合取项为真的推理，称为联弹推理的分解式。

, 。

（2）联言推理的组合式。

由命题全为真，推演出它们的联言命题为真的推理，称为联言推理的组合式。

4.选言推理

选言推理是根据选言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提中有一个是选言命题。

即由选言命题为真，为真，推演出为真的推理。

其推理规则为：

。

5.假言推理

假言推理是根据假言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提中至少有一个是假言命题。

（1）肯定式。

肯定式是从肯定假言命题与前件为真，从而肯定它的后件为真的推理。

其推理规则为：

（2）否定式。

否定式是从假言命题与后件的否定为真，从而得出它的前件的否定为真的推理。

其推理规则为：

三、归纳推理

归纳推理，又称归纳法。

它是从一般性较小的前提，推出一般性较大的结论的推理。

简单地说，归纳推理是由个别、特殊到一般的推理。

根据归纳的对象是否完备，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种。

1.完全归纳法

完全归纳法，是根据某类事物中每一个对象的情况或每一个子类的情况，而作出该类事物的一般性结论的推理。

完全归纳法的两种推理形式：

具有性质；

和

具有性质；

……

具有性质；

类事物具有性质

例如，圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）的证明。

已知：

中，弧所对的圆周角是，圆心角是。

求证：

。

证明时应分圆心在的一边上，在的内部，在的外部三种情况分别进行证明，然后再用完全归纳法得出结论：

。

如果只证明了其中一种情况，就下结论，那就犯了“以偏概全”的错误。

完全归纳法考察了某类事物的每一个对象，或每一子类的情况，如果它的前提是真的，那么它的结论也一定是真的。

所以，完全归纳法是一种严格的推理证明方法。

2.不完全归纳法

不完全归纳法，是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。

其推理形式是：

具有性质；

……

具有性质；

类事物具有性质

由不完全归纳法得到的结论，只有或然的性质，结论是否正确，还需经过理论的证明或实践的检验。

不完全归纳法虽然不是严谨的推理，但在科学研究、数学教学或数学解题中有着积极的作用。

首先，通过不完全归纳法，可以帮助人们提出问题、作出猜想、发现真理，数学中的许多重大的发现、发明，如多面体的“欧拉定理”、地图着色的“四色定理”都是先用不完全归纳法得出，然后再进行严格证明的。

其次，中学数学中的有些定理、公式、法则（特别是初中阶段），由于严格证明比较困难，考虑到学生的可接受性，可以用不完全归纳法给出；或者先用不完全归纳法给出，再进行证明或验证。

第三，在解数学题时，常常可以先考察问题的一些特殊情形，用不完全归纳法探求解题的思路或猜测问题的答案、结论，然后再进行严格的推理和解答。

四、类比推理

类比推理又称类比法。

它是根据两个或两类对象有部分属性相同（或相似），从而推出它们的其他属性也相同（或相似）的推理。

简单地说，类比推理是由特殊到特殊的推理。

类比推理的推理形式是：

具有性质；

具有性质

用类比法得到的结论，虽然不一定都真实，但在人们的认识活动中仍有它的积极意义。

科学上有不少重要的假说，是通过类比法提出来的；数学中有不少重要的发现是由类比法先提供线索的；生产实践和科学实验中许多创造发明，也是先受到类比法的启发。

因此，类比法仍不失为一种获取新知识的重要工具。

第三节　数学证明

一、证明的意义和结构

证明是引用一些真实性的命题来确定某一命题真实性的思维形式。

任何证明都由论题、论据和论证三部分组成。

论题，是指需要确定其真实性的那个命题。

论据，是指被用来作为证明的理由。

论证，就是证明的过程。

二、证明的规则

∙规则1 论题要明确。

论题是证明的基本目标，只有把论题清楚、明确地表述出来，才能使证明有的放矢。

∙规则2 论题应当始终如一。

根据同一律的，在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途变更。

违反这条规则的常见错误是偷换论题。

∙规则3 论据要真实。

论据是确定论题真实性的理由。

如果论据是假的，那就不能确定论题的真实性。

违反这条规则的逻辑错误，叫做虚假论据。

∙规则4 论据不能靠论题来证明。

论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来证明，那么结果什么也没有证明。

违反这条规则的逻辑错误，叫做循环论证。

∙规则5 论据必须能推出论题。

证明是特殊的推理，因而论据必须是推出论题的充足理由。

否则，从论据就推不出论题。

违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推出。

三、演绎证法与归纳证法

四、分析法与综合法（参见第三讲）

五、直接证法与间接证法

1.直接证法

直接证法是从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

数学中的证明多数采用直接证法。

直接证法的一般形式是

本题条件

结论

已知定义

已知公理

已知定理

2.间接证法

间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或该证它的等价命题为真，以间接地证明论题的真实性。

间接证法有反证法和同一法两种。

（1）反证法。

反证法不直接证明命题“”，而是先肯定命题的条件，并否定命题的结论，即从原命题的否定式“”入手，由与合乎逻辑地推出一个矛盾的结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的命题，不能同真，必有一假，断定原命题的否定式“”为假；从而，根据排中律，两个互相矛盾的命题，不能同假，必有一真，由此肯定命题“”为真。

用反证法证明命题“”的全过程和逻辑依据可以用下图表示：

（2）同一法。

对于符合同一原理的命题，当证明有困难时，可以改证明和它等价的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。

这种证明方法叫做同一法。

同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。

应用同一法证明时，一般可分以下几个步骤：

∙第一步：

作出符合命题结论的图形。

∙第二步：

证明所作图形符合已知条件。

∙第三步：

根据唯一性，确定所作图形与已知图形相同或重合。

∙第四步：

断定原命题的真实性。

同一法和反证法的适用范围是不同的。

同一法只适用于符合同一原理的命题；而反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题，一般都能用反证法证明。