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1、中学数学逻辑第六讲 中学数学的逻辑基础（2）本讲简介： 恩格斯指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样。”中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，也部分地涉及到辩证逻辑。本讲以唯物辩证法作指导，重点考察数学推理和数学证明的逻辑基础。知识结构：学习建议： 逻辑思维的基本规律有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，这些规律是进行正确思维的保证，务必深刻理解并自觉地遵循。演绎推理和完全归纳法是严格的推理形式，是数学证明的重要工具。不完全归纳法和类比法虽然只是似真的推理，但它们在科学和数学的发现和发明中有重要的作用，在数学教学中有助于寻找规律、猜测结论、探究解题思路，应

2、引起足够的重视。反证法是一种常用的证明方法，它的逻辑基础是矛盾律和排中律，要理解反证法的实质并熟练掌握其步骤。重点与难点： 本讲的重点是熟练正确地运用演绎推理、归纳推理、类比推理这三种推理形式以及牢固掌握反证法的证明步骤。第一节 逻辑思维的基本规律一、同一律同一律的内容是：在同一思维过程中，所有的概念、命题必须确定，必须始终保持一致。根据同一律的内容，它有两点基本要求：一是思维对象应保持同一。例如，解方程或因式分解时，在什么数集中讨论应该确定，否则结果就可能不同。二是表示同一事物的概念应保持同一。即概念的内涵和外延应确定，不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起来用同一个概念表示

3、。例如，用同一个字母或符号表示不同的概念或对象就违反了同一律。违反同一律常见的错误是思维混乱，前后不一。在推理、证明过程中，具体表现为偷换概念、偷换论题等错误。应该指出，同一律要求的“同一”，是指在“同一思维过程”中，在不同的思维过程中，我们并不要求概念和命题永远保持不变。例如，“角”的概念在平面几何、立体几何和三角函数中就有不同的含义。二、矛盾律矛盾律的内容是：在同一思维过程中，两个互相矛盾（或对立）的命题不能同真，必有一假。矛盾律要求思维不能自相矛盾。例如，“ 是无理数”和“ 是有理数”是两个互相矛盾的命题，其中必有一个是假的。又如，“ 是锐角三角形”和“ 是钝角三角形”是两个互相对立的命

4、题，其中至少有一个是假的。三、排中律排中律的内容是：在同一思维过程中，两个互相矛盾的命题 和 不能同假，必有一真。排中律要求人们的思维有明确性，避免模棱两可。例如，如果我们证明了“ 是有理数”是假的，根据排中律，就可断定“ 是无理数”是真的。根据矛盾律和排中律，两个互相矛盾的命题 和 恰有一个真的，一个假的。它们是反证法的逻辑基础。当直接证明一个命题有困难时，可以证明由这个命题的否定命题（否定式）会推出互相矛盾的结果就行了。四、充足理由律充足理由律的内容是任何一个真实的命题，必须有充足的理由。充足理由律要求理由和推断之间，存在着本质上的必然联系。理由应是推断的充分条件，推断应是理由的必要条件。

5、第二节数学推理一、推理的意义和结构推理是从一个或几个已知命题，得出另一个新命题的思维形式。任何推理都包含前提和结论两个部分。前提是推理所依据的部分，它告诉我们已知的事实是什么，推理的前提可以是一个或几个。结论是根据前提所推出的命题，它告诉我们推出的结果是什么。数学推理，是寻求新的结果，由已知进到未知的重要方法，也是解答数学问题、进行数学证明的基本工具。逻辑思维对推理的基本要求是：推理要合乎逻辑，即进行推理时要合乎推理的形式，遵守推理的规则。数学中常用的推理有演绎推理、归纳推理、类比推理。二、演绎推理演绎推理，又称演绎法。它是从一般性较大的前提，推得一般性较小的结论的推理。简单地说，演绎推理是由

6、一般到个别或特殊的推理。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系。只要前提是真的，由演绎推理得出的结论一定是真的。因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。演绎推理的常见形式有关系推理、联言推理、选言推理和假言推理等。我们先来考察作为演绎推理重要依据的逻辑公理。1.逻辑公理逻辑公理：如果某一集合 中的所有元素都具有属性 ，则 中的每一个个别的元素 也具有属性 。于是有推理规则： 逻辑公理的推广：如果某一集合 中的所有元素都具有属性 ，则集合 的任一非空子集 中的每一元素 也具有属性 。于是有推理规则： 规则 和 都适用于以全称命题为前提的推理。2.关系推理3.联言推理联言推理是根据联言命题的逻

7、辑性质而进行的推理，它的前提或结论是联言命题。（1）联言推理的分解式。由联言命题 为真，推演出它的合取项 为真的推理，称为联弹推理的分解式。 , 。（2）联言推理的组合式。由命题 全为真，推演出它们的联言命题 为真的推理，称为联言推理的组合式。 4.选言推理选言推理是根据选言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提中有一个是选言命题。即由选言命题 为真， 为真，推演出 为真的推理。其推理规则为： 。5.假言推理 假言推理是根据假言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提中至少有一个是假言命题。 （1）肯定式。肯定式是从肯定假言命题 与前件 为真，从而肯定它的后件 为真的推理。其推理规则为： （

8、2）否定式。否定式是从假言命题 与后件的否定 为真，从而得出它的前件的否定 为真的推理。其推理规则为： 三、归纳推理归纳推理，又称归纳法。它是从一般性较小的前提，推出一般性较大的结论的推理。简单地说，归纳推理是由个别、特殊到一般的推理。根据归纳的对象是否完备，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种。1.完全归纳法完全归纳法，是根据某类事物中每一个对象的情况或每一个子类的情况，而作出该类事物的一般性结论的推理。完全归纳法的两种推理形式：具有性质 ； 和 具有性质 ；具有性质 ； 具有性质 ； 具有性质 ； 具有性质 ； 类事物具有性质 类事物具有性质 例如，圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于

9、它所对的圆心角的一半）的证明。已知： 中，弧 所对的圆周角是 ，圆心角是 。求证： 。证明时应分圆心 在 的一边上，在 的内部，在 的外部三种情况分别进行证明，然后再用完全归纳法得出结论： 。如果只证明了其中一种情况，就下结论，那就犯了“以偏概全”的错误。 完全归纳法考察了某类事物的每一个对象，或每一子类的情况，如果它的前提是真的，那么它的结论也一定是真的。所以，完全归纳法是一种严格的推理证明方法。2.不完全归纳法不完全归纳法，是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。其推理形式是： 具有性质 ； 具有性质 ； 具有性质 ； 类事物具有性质 由不完全归纳法得到

10、的结论，只有或然的性质，结论是否正确，还需经过理论的证明或实践的检验。不完全归纳法虽然不是严谨的推理，但在科学研究、数学教学或数学解题中有着积极的作用。首先，通过不完全归纳法，可以帮助人们提出问题、作出猜想、发现真理，数学中的许多重大的发现、发明，如多面体的“欧拉定理”、地图着色的“四色定理”都是先用不完全归纳法得出，然后再进行严格证明的。其次，中学数学中的有些定理、公式、法则（特别是初中阶段），由于严格证明比较困难，考虑到学生的可接受性，可以用不完全归纳法给出；或者先用不完全归纳法给出，再进行证明或验证。第三，在解数学题时，常常可以先考察问题的一些特殊情形，用不完全归纳法探求解题的思路或猜测

11、问题的答案、结论，然后再进行严格的推理和解答。四、类比推理类比推理又称类比法。它是根据两个或两类对象有部分属性相同（或相似），从而推出它们的其他属性也相同（或相似）的推理。简单地说，类比推理是由特殊到特殊的推理。类比推理的推理形式是： 具有性质 ； 具有性质 ； 具有性质 用类比法得到的结论，虽然不一定都真实，但在人们的认识活动中仍有它的积极意义。科学上有不少重要的假说，是通过类比法提出来的；数学中有不少重要的发现是由类比法先提供线索的；生产实践和科学实验中许多创造发明，也是先受到类比法的启发。因此，类比法仍不失为一种获取新知识的重要工具。第三节数学证明一、证明的意义和结构证明是引用一些真实性

12、的命题来确定某一命题真实性的思维形式。任何证明都由论题、论据和论证三部分组成。论题，是指需要确定其真实性的那个命题。论据，是指被用来作为证明的理由。论证，就是证明的过程。二、证明的规则 规则1 论题要明确。论题是证明的基本目标，只有把论题清楚、明确地表述出来，才能使证明有的放矢。 规则2 论题应当始终如一。根据同一律的，在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途变更。违反这条规则的常见错误是偷换论题。 规则3 论据要真实。论据是确定论题真实性的理由。如果论据是假的，那就不能确定论题的真实性。违反这条规则的逻辑错误，叫做虚假论据。 规则4 论据不能靠论题来证明。论题的真实性是靠论据来证明的，如果论

13、据的真实性又要靠论题来证明，那么结果什么也没有证明。违反这条规则的逻辑错误，叫做循环论证。 规则5 论据必须能推出论题。证明是特殊的推理，因而论据必须是推出论题的充足理由。否则，从论据就推不出论题。违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推出。 三、演绎证法与归纳证法 四、分析法与综合法（参见第三讲）五、直接证法与间接证法1.直接证法直接证法是从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。数学中的证明多数采用直接证法。直接证法的一般形式是本题条件结论已知定义已知公理已知定理2.间接证法间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或该证它的等价命题为真，以间接地证明

14、论题的真实性。间接证法有反证法和同一法两种。（1）反证法。反证法不直接证明命题“ ”，而是先肯定命题的条件 ，并否定命题的结论 ，即从原命题的否定式“ ”入手，由 与 合乎逻辑地推出一个矛盾的结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的命题，不能同真，必有一假，断定原命题的否定式“ ”为假；从而，根据排中律，两个互相矛盾的命题，不能同假，必有一真，由此肯定命题“ ”为真。用反证法证明命题“ ”的全过程和逻辑依据可以用下图表示：（2）同一法。对于符合同一原理的命题，当证明有困难时，可以改证明和它等价的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。

15、应用同一法证明时，一般可分以下几个步骤： 第一步：作出符合命题结论的图形。 第二步：证明所作图形符合已知条件。 第三步：根据唯一性，确定所作图形与已知图形相同或重合。 第四步：断定原命题的真实性。 同一法和反证法的适用范围是不同的。 同一法只适用于符合同一原理的命题；而反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题，一般都能用反证法证明。相关知识 6.1关系推理关系推理是根据对象间关系的逻辑性质进行推演的推理，它的前提和结论都是关系命题。（1）对称关系推理。根据对称关系进行推演的推理，称为对称关系推理。其推理规则是： （关系 是对称的）（2）传递关系推理。根据传递关系进行推演的推理，称为传递关系

16、推理。其推理规则是： （关系 是传递的） 6.2演绎证法与归纳证法1.演绎证法演绎证法是用演绎推理来证明论题的方法。也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在论题中的个别、特殊事实。2.归纳证法,归纳证法是用归纳推理来证明论题的方法。也就是从包含在论据中的个别、特殊事实，推出包含在论题中的一般原理。 6.3反证法的步骤用反证法证明数学命题，一般包括下面三个步骤： 第一步：反设。假设命题结论不成立，即假定原结论的反面为真。 第二步：归谬。由反设与已知条件出发，经过一系列正确的逻辑思维，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾

17、等各种情形。 第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。 6.4同一性命题（参见中学数学教材教法总论P9697）如果一个命题的条件所确定的对象与结论所断定的对象是相同的，则此命题称为同一性命题。同一性命题与它的逆命题是等价的。例如“等腰三角形顶角平分线是底边上的中线，也是底边上的高”。 条件中的“顶角平分线”与“底边上的中线”或“底边上的高”是同一事物。因此，这是一个同一性命题。 6.5同一法例题第六讲 中学数学的逻辑基础（2）一、填空题1.反证法的逻辑基础是_和_ 。 2._ 是从一个或几个已知命题，得出另一个新命题的思维形式。3.任何推理都包含_ 和_ 两个部分。4._

18、是引用一些真实性的命题来确定某一命题真实性的思维形式。5.间接证法有_ 和_ 两种。6.证明的规则有_ 、_ 、_ 、_ 、_。 二、简释题1.矛盾律。2.排中律。3.演绎推理。4.归纳推理。5.逻辑公理及其推理规则。6.假言推理的肯定式。思考题1.举例说明类比法在中学数学教学中的应用。用类比法得到的结论，虽然不一定都真实，但在人们的认识活动中仍有它的积极意义。科学上有不少重要的假说，是通过类比法提出来的；数学中有不少重要的发现是由类比法先提供线索的；生产实践和科学实验中许多创造发明，也是先受到类比法的启发。因此，类比法仍不失为一种获取新知识的重要工具。（请学员自己举例说明）。 2.什么是同一

19、法？用同一法证明勾股定理的逆命题。 如果一个命题的条件所确定的对象与结论所断定的对象是相同的，则此命题称为同一性命题。对于符合同一原理的命题，当证明有困难时，可以改证明和它等价的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。（勾股定理的逆命题的证明留给学员自己完成）。 论述题1.什么是不完全归纳法？举例说明它在数学研究和数学教学中的作用。 不完全归纳法，是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。由不完全归纳法得到的结论，只有或然的性质，结论是否正确，还需经过理论的证明或实践的检验。不完全归纳法虽然不是严谨的推理，但在科学研究、数学教学或数

20、学解题中有着积极的作用。首先，通过不完全归纳法，可以帮助人们提出问题、作出猜想、发现真理，数学中的许多重大的发现、发明，都是先用不完全归纳法得出，然后再进行严格证明的。其次，中学数学中的有些定理、公式法则（特别是初中阶段），由于严格证明比较困难，考虑到学生的可接受性，可以用不完全归纳法给出；或者先用不完全归纳法给出，再进行证明或验证。第三，在解数学题时，常常可以先考察问题的一些特殊情形，用不完全归纳法探求解题的思路或猜测问题的答案、结论，然后再进行严格的推理和解答。什么是不完全归纳法？举例说明它在数学研究和数学教学中的作用。（请学员自己举例说明）2.分析反证法的逻辑基础和过程，用反证法证明下列命题： （1）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。 （2）圆的切线垂直于经过切点的半径。 （用反证法证明两个命题留给学员自己完成）