三角函数题型及通法.docx
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三角函数题型及通法
三角函数及解三角形
一、知识要点
、知识结构
（1）注重公式的推导过程。
每个公式又要结合具体问题做到“正用”、“逆
用”、“隐用”、“创用”、“导用”、“它用”，乃至最高境界的“化用”和“不用”。
数以几十计的公式，丰富多样的变式，纵向引中，横向用接，可以构成浩瀚的“题海”。
如何从中理出若干容易把握的数学规律？
数学思想方法的提倡和运用，使解题得到升华，也许是解决问题的有效之路。
（2）加强公式的理解记忆。
从三角比的定义出发推导出一系列的公式（网络图）。
诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。
2.三角函数图像和性质
（1）正弦函数
值域
[―1,1]，ymax=1,（x=三+2kn,kWZ）;ymin=—1,（x=—,+2kn,kwZ）22
周期性
sin（x+2kn）=sinx（kwZ）；T=2n
奇偶性
sin（—x）=—sinx（kwZ）；y=sinx是奇函数，图像关于原点对称
单调性
TTTT
单调增区间：
[--+2kn,—+2kn]（kwZ）;
22
单调减区间：
[±+2kn,之十2kn]（kwZ）.;
22
对称性
冗
对称轴方程：
x=—+kn,（kZZ）；对称中心坐标：
（kn,0）,（kwZ）2
（2）余弦函数
名称
y=cosx
图象
yt
1y=ssmx
定义域
R
值域
[—1,1]，ymax=1,（x=2k/kWZ）；ymin=—1,汽=n+2依*WZ）.
周期性
cos（x+2E）=cosx（kwZ）;T=2几
奇偶性
cos（-x）-cosx（k=Z）；y—cosx是偶函数，图像关于y轴对称
单调性
单调增区间：
[―n+2kn,2kn]（kwZ）;
单调减区间：
[2k%n+2kn]（kwZ）.;
对称性
对称轴方程：
x=kn,（k^Z）;对称中心坐标：
（一十kn,0）,（kwZ）
2
3.正切函数
定义域
xw{x|x#三十kn,kzZ}
2
值域
R
周期性
tan（x+kn）=tanx（kwZ）；T=n
奇偶性
tan（-x）=-tanx（kwZ）；y=tanx是奇函数，图像关于原点对称
单调性
单调增区间：
[—二+2kn,'+2kn]（kwZ）;
22
对称性
对称中心坐标：
（”,0）,（kwZ）
2
注：
y=Asin（ox+5）+B（A>0©>0）；y=Acos@x+5）+B（Aa0,8>0）；
2二....一一
周期：
T=——，令a=ccx+中，化归为y=sinx,y=cosx的性质.co
已知图象求解析式：
利用“五点”作图法，结合方程求解。
三角部分的公式
112
1、弧长公式：
1=|o（|r.扇形面积公式：
%形=—lr=—|c（|t
2、三角函数在各象限的符号:
y>yA
++-J+
-o-^-o+工
正弦、余割余弦、正割
（二）角与角之间的互换公式组一
2.222
co二cos「-sin---2cos.--1=1—2sin、工
cos（:
工，P）=cos、工cos--sin、工sin:
cos（:
--）=cos二cos，,；；sinsin-
tan（、工-I；）
tan（?
--）
sin（:
--）=sin_icos--cosrsin:
tan二：
；tanI：
-"
1-tan.：
jtan
tan：
-Tan:
1tan.：
itan
解三角形（正弦、余弦定理）
（1）三角形中的基本知识：
大角对大边、内角和定理、任意两边之和大于第三边。
内角和定理：
在AABC中，A+B+C=n,（A>0,Ba0,Ca0）。
从而有:
_AB二C…，一，……、，人a一一
A+B=n-C,=--一等变形条件，得出两角互补、互余三角函数关系。
222
（2）正弦、余弦定理
在MBC中，a,b,c分别是三角形内角A,B,C的对边，R为AABC外接圆的半径。
正弦定理：
一_="_=_^=2RsinAsinBsinC
余弦定理：
a,b2-2abcosC=c2
222
bc-2bccosA=a
222
ca-2cacosB=b
1一一一1一
二角形面积公式：
SABCabsinCbcsniA=22
1.「
-casinB=
2
abc
4R
重要的公式变形及应用:
2.2.
2b=a+c=2sinB=sinA+sinC；b=ac=sinB=sinAsinC.
2U22
.ab-c.2..22.
cosC=；sinA+sinB-2sinAsinBcosC=sinC.
2ab
.三角函数图像变换
（1）平移变换:
y=f[2（x2）1]=f（2x•5）
y=f[2（x-2）1]=f（2x-3）
.1
y=f（2x）
2
3
2
左右平移：
解题方法:
例如，y=f（2x1）
y=f（2x1）
y=f（2x1）
令2（x人二）,1
图像向左平.
移2个单位
一3
所以，函数图像向右平移一个单位。
上下平移类似可得。
2
（2）伸缩变换
..纵坐标不变.,
左右伸缩：
例如，y=f（2x1）yy=f（4x1）
横坐标变为原来的1
2
1
方法：
f（2x1+1）=f（cox2+1）u2x1+1=x2x2+1,x2=—x1,解得：
o=4.2
例如，y=f（2x1）纵坐标不变y=f（!
x1）
横坐标变为原来的y（2
1-
万法：
令2xi+1=—x2+1=X2=4xi,横坐标变为原来的4倍.
2
上下伸缩类似可得。
三角函数图像变换是函数图象变换的特例。
二卜三角题型及解题通法
类型一已知一些角的三角函数值，求另一些角的三角函数值
通性通法：
1.分别列出已知角与所求角；
2.将所求角用已知角的和、差、倍、半表示；
3.利用和差角公式、二倍角公式以及同角三角函数之间的关系求值；
4.在变换过程中把握一个大方向：
分式化整式；无理化有理；多项式化单项式例：
.已知豆为锐角，且tan（土+口）=2。
4
（I）求tana的值；
sin2：
cos二一sin:
（II）求的值。
cos2;
类型二与函数f（x）=Asingx+中）的图像、性质有关的问题
通性通法：
1.利用三角变换将所给三角式化为同一个角、同一个函数名的形如
f（x）=Asin（sx+平）+B9>0）的形式:
2.通过换元，令t=cox+QxWD转化为y=Asint+B,t亡M的形式；
3.利用正弦函数的图像与性质得出所求函数的周期性、对称性、单调性、最值等。
例题、已知函数f（x）=Asin（cox+中），（0>0,|?
|〈r）部分图像如图所示。
（1）求以中的值；
H.
（2）设g（x）=f（x）f（x--）,4
求函数g（x）的单调递增区问。
类型三与三角形有关问题
通性通法：
1.利用A+B+C=180度减少角的种类；
2.根据题意画出三角形草图，分析三角形六个元素中那些是已知的，那些是要求的；
3.根据所求，选择正、余弦定理、三角形面积公式求解；
4.对于多解的情况注意检验、取舍。
例题：
在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=J2,cosC=-
4
（1）求sin（A+B）的值;
（2）求sinA的值;
（3）求CBCA的值。
类型4、三角函数式的化简
要遵循“三看”原则.
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合
理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.
例题：
（1）化简:
sin2a+cos2a—1sin2a—cos2a+1
sin4a
20.八,
2cos2-sin0-1
⑵已知tan28=—2点,兀〈20<2兀，化简:
丁.
&sin［叶4）
类型5、利用诱导公式化简求值时的原则为：
1.“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.
2.“大化小”，利用公式一将大于2九的角的三角函数化
为0到2九的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0到九的
三角函数.二一
22
3.“小化锐”，利用公式六将大于的角化为0到的角的三角函数.
4.“锐求值”，得到0到工的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.2
.九，八.八
sin（2+8）—coS九一8）
例题.已知tan8=2,则=（）
冗.
sin（2—8）—Sin九-8）
A.2B.-2
_2
C.0D"
3
类型6、用同角三角函数的基本关系式求值
1.利用sin2a+cos1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用s”=tanacoSa
可以实现角a的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：
对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa
这三个式子，利用（sina纪osa）2=1丝sinocosa,可以知一求二.
3.应用sin2a+coJa=1求sina或cosa时，特别注意角a
的三角函数值的符号，符号规律：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
4.注意公式逆用及变形应用：
1=sin2a+coJa,sin2a=1—cosa,cosa=
2
1—sin
一一一。
3兀一
例题：
已知sin（3张o）=2sin（2~十9,求下列各式的值:
（1）*T；
（2）sin2a+sin2”
5sina+2cos
类型7、用两角和差和二倍角公式进行角的变换，求值和求角
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个时，所求角表示成“已
知角”的和或差的形式；
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.常见的配角技巧：
a=22；a=（a+3—母
3+（a—加；
1।
a—p—（p—o）;a—21（a+
c1.，八，
片2[（a+3—（a—加；4+a=
注意：
特殊的角也看成已知角，如/=：
—（：
—0）.
例题：
若延（0,2）,cos（升3）=—14，则cosa=,
类型8、证明三角恒等式
（1）证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目
的的化繁为简、左右归一或变更论证.
（2）三角恒等式的证明主要有两种类型：
绝对恒等式与条
彳牛恒等式•
①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同.
②条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
11
一=.
冗acosa
tan4+2
类型9、解sinx>a（cosQa）的方法
1.用三角函数线解sinx>a（cosc>a）的方法
（1）找出使sinx=a（cosx=a）的两个xb［的终边所在位置.
（2）根据变化趋势，确定不等式的解集.
2、用三角函数的图象解sinx>a（cosc>a,tanx>a）的方法.
（1）作直线v=a,在三角函数的图象上找出一个周期内（不一定是［0,2冗］）在直线y=a上方的图象.
（2）确定sinx=a（cos<=a,tanx=a）的x值，写出解集.
例题.求函数y=>/sinx+yi6—x2的定义域.
类型10、求解涉及三角函数的值域（最值）的题目一般常用以下方法：
（1）利用sinx、cos（的值域；
（2）形式复杂的函数应化为y=Asin（⑴x+小）+k的形式逐步分析⑴x+小的范围，彳艮据正弦函数单调性写出y=Asin（⑴x+（|））+k的值域；
（3）换元法：
把sinx、cos（看作一个整体，可化为二次函数.
注意：
换元后注意新元的范围.
例题：
.求下列函数的值域：
sin2xsinx
（）y-1—cost,
（2）y=sirx+cosc+sinxcosc.
类型11.求三角函数周期的方法：
（1）利用周期函数的定义.
一一…，，、一一一一一一一一，一一…2兀
（2）利用公式：
y=Asin（cDx+时和y=Acos（cox+时的取小正周期为।yIM
，,一，.一……兀
=tan（cox+d）的最小正周期为面.
类型12.画y=Asin（⑴在小图像
用“五点法”作图应抓住四条：
①将原函数化为y=Asin（wx+@（A>0,⑴>0）
，2兀一、，…一
或丫=Acos（cox+（|））（A>0,⑴>0）的形式；②求出周期丁=一；③求出振幅A;
④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该
区间内的特殊点.
2.图象变换法
（1）平移变换
①沿x轴平移，按“左加右减”法则；
②沿y轴平移，按“上加下减”法则.
（2）伸缩变换
①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长（0<必<1）或缩短
一1.、
（⑴>1）为原来的飞倍（纵坐标y不变）；
②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长（A>1）或缩短（0<
A<1）为原来的A倍（横坐标x不变）.
例题.设函数f（x）=sincox+43cos⑴耳0>0）的周期为九.
（1）求它的振幅、初相；
（2）用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（3）说明函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
类型13、确定y=Asin（⑴升小升b的解析式的步骤
（1）求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,MmMm
则人:
-2-,b=-2"-.
⑵求⑴，确定函数的周期T,则3=中.
（3）求小,常用方法有：
①代入法：
把图象上的一个已知点代入（此时A,⑴，b已知）或代入图象与直线y=b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）.
②五点法：
确定小值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点（一',0）作为突破口.具体如下：
“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为⑴x+Q0;“第二点”（即图象的
-1T….
峰点）为⑴x+-2；第三点（即图象下降时与x轴的父点）为⑴x+小=冗;
“第四点”（即图象的“谷点”）为⑴x+Q325;“第五点”为⑴x+-2冗.
例题.已知函数f（x）=Asin（⑴叶小）xCR（其中A>0,⑴>0,0<小2）
的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低
点为M（§,-2）.3
（1）求f（x）的解析式；
冗冗..
（2）当x€［石，2］时，求f（x）的值域.
类型14、求函数y=Asin（⑴豆小的单调区问
函数y=Asin（wx+（D（A>0,⑴>0）的单调区间的确定，基本思路是把“⑴x+
..一一，兀兀...…
6看作一个整体，比如：
由2kL^^cox+产2k—1（kCZ）解出x的范围所
3
得区间即为增区间，由2k兀+2&CDX+22k：
t+2冗kCZ）解出x的范围，所得区间即为减区间.
2,若函数y=Asin（⑴x+小）中A>0,⑴<0,可用诱导公式将函数变为y=—Asin（一⑴x—小），则y=Asin（一⑴x—小）
的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.
对于函数y=Acos（cox+小）的单调性的讨论与以上类似.
..一一一.一1T...一4♦
例题：
已知函数y=sinfc-2x）,求
（1）函数的周期；
（2）求函数在［―九，0］上的单
3
调递减区间.
类型15、依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方
法：
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数
间的关系，通过三角函数包等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形
状，此时要注意应用A+B+C=tt这个结论.
注意：
在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取
公因式，以免漏解.
例题.在△ABC中，AA、B、C所对的边分别为a、b、c,且b2+c2=a2+bc.
（1）求角A的大小；
⑵若sinBsinC=sin2A,试判断△ABC的形状
类型16、解三角形应用中求距离问题：
（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
例题：
隔河看两目标A与B,但不能到达，在岸边选取相距V3km的C、D两点，同时，测得/ACB=75,/BCD=45,/ADC=30,/ADB=45（A、B、C、D在同一平面内）.求两目标A、B之间的距离.
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