高考数学专题04 二项分布与超几何分布第四篇原卷版.docx
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高考数学专题04二项分布与超几何分布第四篇原卷版
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
第四篇概率与统计
专题04二项分布与超几何分布
类型
对应典例
明确样本容量（较小），利用超几何分布的求解
典例1
不放回型抽样问题，利用超几何分布的求解
典例2
出现频率估计概率时，利用二项分布解决问题
典例3
放回型重复试验，利用二项分布解决问题
典例4
与正态分布相结合的二项分布问题
典例5
明确样本容量（非常大），利用二项分布解决问题
典例6
利用二项分布的函数特性的求最值
典例7
【典例1】【北京市丰台区2019-2020学年高三上学期期末】
目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：
回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.
现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
小区
小区
小区
小区
小区
废纸投放量（吨）
5
5.1
5.2
4.8
4.9
塑料品投放量（吨）
3.5
3.6
3.7
3.4
3.3
（Ⅰ）从这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
（Ⅱ）从这5个小区中任取2个小区，记为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求的分布列及期望．
【思路引导】
（Ⅰ）基本事件的总数为5，随机事件中含有的基本事件的个数为2，从而可得随机事件的概率.
（Ⅱ）利用超几何分布可求X的分布列及期望．
【典例2】【重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测】
某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：
从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
等级
比例
赋分区间
而等比例转换法是通过公式计算：
其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、，假设小南的化学考试成绩信息如下表：
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
等级
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：
，
所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.
【思路引导】
（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；
（2）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．
【典例3】【2020届河南省焦作市高三上学期第二次模拟考试】
随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的频率；
（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；
（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的周数为，求的分布列以及数学期望.
【思路引导】
（1）用减去频率直方图中位于区间和的矩形的面积之和可得出结果；
（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数；
（3）由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量的数学期望.
【典例4】【2020届安徽省蚌埠市高三上学期期末考试】
某饼屋进行为期天的五周年店庆活动，现策划两项有奖促销活动，活动一：
店庆期间每位顾客一次性消费满元，可得元代金券一张；活动二：
活动期间每位顾客每天有一次机会获得一个一元或两元红包．根据前一年该店的销售情况，统计了位顾客一次性消费的金额数（元），频数分布表如下图所示：
一次性消费金额数
人数
以这位顾客一次消费金额数的频率分布代替每位顾客一次消费金额数的概率分布．
（1）预计该店每天的客流量为人次，求这次店庆期间，商家每天送出代金券金额数的期望；
（2）假设顾客获得一元或两元红包的可能性相等，商家在店庆活动结束后会公布幸运数字，连续天参加返红包的顾客，如果红包金额总数与幸运数字一致，则可再获得元的“店庆幸运红包”一个．若公布的幸运数字是“”，求店庆期间一位连续天消费的顾客获得红包金额总数的期望．
【思路引导】
（1）先计算出顾客一次消费满元的概率，再可得；
（2）记店庆期间一位连续天消费的顾客获得红包金额总数为，则的可取值为，，，，，，计算出取每一个值的概率后，利用期望公式计算可得.
【典例5】【2020届广东省茂名市高三第一次综合测试】
当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟跳
绳个数
得分
16
17
18
19
20
（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；
（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：
（ⅰ）预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.（结果四舍五入到整数）
（ⅱ）若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：
若随机变量服从正态分布，，则，
，
【思路引导】
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算，每分钟跳绳个数的人数为（人）每分钟跳绳个数的人数为（人），由题意可知，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，根据互斥事件概率加法公式，计算即可.
（Ⅱ）根据频率分布直方图计算样本的均值，可知正式测试时期望的估计值，方差，计算，，（ⅰ）根据正态分布的对称性，计算，求解人数即可.（ⅱ）由正态分布模型，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为，则服从二项分布，即，计算分布列和期望，即可.
【典例6】【2019年12月广东省高三调研考试数】
某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三
（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.
（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.
（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以
（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.
（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；
（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.
可能用到的参考数据：
取，.
【思路引导】
（1）利用上线人数除以总人数求解；
（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解
【典例7】【2018年全国普通高等学校招生统一考试（新课标I卷）理科】
某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以
（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【思路引导】
（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【针对训练】
1.【天津市部分区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】
每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：
每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.
⑴求各个年级应选取的学生人数；
⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望.
2.【2020届广西河池市高三上学期期末考试】
在某项娱乐活
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