1213小学奥数练习卷知识点约数个数与约数和定理含答案解析.docx
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1213小学奥数练习卷知识点约数个数与约数和定理含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：
约数个数与约数和定理）
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得分
一．选择题（共1小题）
1．恰有20个因数的最小自然数是（ ）
A．120B．240C．360D．432
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得分
二．填空题（共40小题）
2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是 ．
3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有 个约数．
4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是 ．
5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有 个约数．
6．四位数
的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数
有 个因数．
7．四位数
的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数
的值是 ．
8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为 ．
9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为 ．
10．有10个不同因数的最小自然数为 ．
11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有 对．
12．60的不同约数（1除外）的个数是 ．
13．如果一个自然数N（N＞1）满足：
N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有 个“中环数”．
14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有 个．
15．一个五位数
是2014的倍数，并且
恰好有16个因数，则
的最小值是 ．
16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是
．那么整数n的最大值是 ．
17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是 ．
18．在1～600中，恰好有3个约数的数有 个．
19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为 ．
20．用
表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以
=3，那么（
﹣
）÷
= ．
21．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：
①A+B+C=79
②A×A=B×C
那么，这个自然数是 ．
22．有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：
“我手中的三个数乘积是A3．”思思说：
“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是 ．
23．一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么这个四位回文数是 ．（回文数例如：
1111、4334、3210123）
24．一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是 ．
25．定义：
A□B为A和B乘积的约数个数，那么，1□8+2□7+3□6+4□5= ．
26．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是 ．
27．一个合数至少有3个约数． ．（判断对错）
28．把72的所有约数从小到大排列，第4个是 ．
29．把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是 ．
30．已知360=2×2×2×3×3×5，那么360的约数共有 个．
31．一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是 ．
32．已知300=2×2×3×5×5，则300一共有 不同的约数．
33．A、B两数都只含有质因数3和4，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有9个约数，那么A+B= ．
34．能被2345整除且恰有2345个约数的数有 个．
35．分母是3553的最简真分数的和是 ．
36．若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：
自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G（36）+G（42）= ．
37．聰聰先求出自然數N的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最小的和是3，最大的和是2010，那麼這個自然數N是 ．
38．自然数N有20个正约数，N的最小值为 ．
39．一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有 个约数的个位是3．
40．数22×33×55有 个不同的约数．
41．设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，则三个数之积的最小值是 ．
评卷人
得分
三．解答题（共9小题）
42．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有多少个？
43．A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数．那么，这四个数和的最小值是 ．
44．如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=21，所以3是一个“中环数”．再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=22，所以21也是一个中环数．我们希望能找到n个连续的中环数．求n的最大值．
45．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是 ．
46．求100至160之间有8个约数的数．
47．2008的约数有 个．
48．100以内共有8个约数的数共有多少个？
它们各是多少？
49．已知三位数240有d个不同的约数（因子），求d的值．
50．求360所有约数的和．
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．恰有20个因数的最小自然数是（ ）
A．120B．240C．360D．432
【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．
【解答】解：
20=20=2×10=4×5=2×2×5；
四种情况下的最小自然数分别为：
219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．
故选：
B．
【点评】此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．
二．填空题（共40小题）
2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是 24、30、40、42、54、56、66、70、78、88 ．
【分析】恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数），由此可得结论．
【解答】解：
根据题意可得：
2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70；
3×23=24，5×23=40，7×23=56，11×23=88，2×33=54；
27=128＞100．
所以，所求的数从小到大依次是：
24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个．
故答案为：
24、30、40、42、54、56、66、70、78、88．
【点评】本题考查约数个数问题，考查学生分析解决问题的能力，确定恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数）是关键．
3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有 30 个约数．
【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）×10=20个，则n的分解式中含有一个3，6n分成2×3×n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数．
【解答】解：
根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，
按约数和定理，又∵
，∴n的质因数分解式中含有0个2；
设n=3amx，又∵
，∴n的质因数分解式中含有一个3，
根据约数和定理，得n的约数和为：
（a+1）（x+1）=10，
解得：
a=1，x=4，此时n=3×m4；
故6n=2×3×n=2×3×3×m4=2×32×m4，
其约数和为：
（1+1）×（2+1）（4+1）=2×3×5=30，
故答案是：
30．
【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：
根据约数和定理确定分解式中2和3的个数，再算约数的个数．
4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是 2520 ．
【分析】因为这个数中的因数中有10个连续的自然数，那么这个数最小是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数，然后再验证这个最小公倍数是不是有48个约数．如果验证不到，再求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的最小公倍数，就这样去尝试．
【解答】解：
因为10=2×5，9=3×3，8=4×2，所以这10个数的最小公倍数，也就是7、8、9、10的最小公倍数．
7、8的最小公倍数是56，9、10的最小公倍数是90，
56和90的最小公倍数是2520．
将2520分解质因数得23×32×5×7，所以它的因数个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=48个
故此题填2520．
【点评】此题考查是求公倍数的方法，以及如何去求约数的个数，采用的是假设验证的解题策略．
5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有 8 个约数．
【分析】最小的数为4，则约数最小的数为1，另外一个第二小的约数为4﹣1=3，即：
3是N的一个约数，最大的约数是本身，第二大的约数和第二小的约数相乘结果即为本身，所以第二大的约数为：
，再根据最大的两约数和为2684，可以求出N的值，用约数和定理求出约数的个数．
【解答】解：
根据分析，约数最小的数为1，最小的两个约数和为4，则第二小的约数为：
4﹣1=3，
约数是成对出现的，N=1×N=3×
，即
是第二大的约数，由于最大的两约数和为2684，
则有：
，解得：
N=2013，
分解质因数2013=3×11×61，根据约数和定理，得：
2013的约数个数为：
（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，
故答案是：
8．
【点评】本题考查了约数和定理与因数倍数知识，突破点是：
根据约数和第二大和第二小约数，再求出N，再算其约数的个数．
6．四位数
的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数
有 12 个因数．
【分析】首先判断文字中含有隐含的数字，奇偶位数和相等是11的倍数，在分析因数的个数，同时注意题中说的是3个质数．42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．再枚举即可．
【解答】解：
首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数．因数一共的个数是3+39=42（个），将42分解成3个数字相乘42=2×3×7．
=a×b2×c6．
如果是11×52×26=17600（不是四位数不满足条件）．再看一下如果这个数字最小是
=11×32×26=6336．
=3663=11×37×32．因数的个数共2×2×3=12（个）．
故答案为：
12个．
【点评】本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理解和运用，题中隐含数字11就是本题的突破口，同时关键分析42分解成2×3×7的情况．实际就是特殊的情况，都是最小的质数．问题解决．
7．四位数
的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数
的值是 6336 ．
【分析】根据因数个数是42个同时需要有3个质数，42分解成3个数字相乘就有唯一情况．同时这四位数中奇数偶数位数和相等．满足11整除特性．接下来从最小的情况枚举尝试即可．
【解答】解：
根据
奇数偶数位数和相等，所以一定是11的倍数，因数个数是3+39=42个．四位数含有3个质数，需要将42分解成3个数字相乘．42=2×3×7．
所以
可以写成a×b2×c6．那么看一下质数是最小的是什么情况．11×32×26=6336．
当质数再打一点b=5时，c=2时，11×52×26=17600（不满足是四位数的条件）．
故答案为：
6336．
【点评】本题考查因数个数的求法，同时对质数的理解和运用，突破口是42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．同时数字是11的倍数．最后发现实际都是特殊情况唯一确定．问题解决．
8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为 121 ．
【分析】先找出81的所有因数，再把81的所有因数相加即可．
【解答】解：
81的因数：
1、3、9、27、81，
81的所有因数之和为：
1+3+9+27+81=121，
故答案为：
121．
【点评】本题关键是找到81的所有因数．
9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为 60 ．
【分析】首先把12分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．
【解答】解：
12=1×12=2×6=3×4=2×2×3，
有12个约数的自然数有：
①2×2×…×2×2（11个2）=2048，
②2×2×…×2（5个2）×3=96，
③2×2×2×3×3=72，
④2×2×3×5=60；
从以上可以看出只有④的乘积最小；
所以有12个约数的最小自然数是60．
故答案为：
60．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：
a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
10．有10个不同因数的最小自然数为 48 ．
【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．
【解答】解：
因为10=2×5=1×10，
210=1024，
24×3=48，
所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最小：
24×3=48；
故答案为：
48．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：
a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有 12 对．
【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25×32×7，然后解答即可．
【解答】解：
假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：
x2﹣y2=2016，
因式分解：
（x+y）（x﹣y）=2016，
x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，
2016=25×32×7，
2016因数的个数：
（1+5）×（2+1）×（1+1）=36（个），
共有因数36÷2=18对因数，
其中奇因数有：
（2+1）×2=6对，
所以偶数有：
18﹣6=12对，
即，满足上述条件的所有正方形共有12对．
故答案为：
12．
【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与x﹣y都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以2016÷4=504，然后确定504的约数是24个，即12对即可．
12．60的不同约数（1除外）的个数是 11 ．
【分析】先将60分解质因数，60=2×2×3×5，再写成标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘，最后减去1，即得答案．
【解答】60分解质因数60=2×2×3×5，再下称标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘．
60的不同约数（1除外）的个数是（2+1）×（1+1）×（1+1）﹣1=11个．
答：
答案是11个．
【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理，当然此题也可以用列举法求解．
13．如果一个自然数N（N＞1）满足：
N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有 6 个“中环数”．
【分析】由题意，对N的因数个数分类讨论，由此即可得出结论．
【解答】解：
由题意，N的因数个数是2，N就是2；
N的因数个数是3，则N是完全平方数，由于末尾是3，不存在N满足题意；
N的因数个数是4，由于末尾是4，则满足条件的数为14，34，74；
N的因数个数是5，则N是完全平方数，由于末尾是5，不存在N满足题意；
N的因数个数是6，则N是76满足题意；
同理78满足题意，
所以在2～84中，”中环数”是2，14，34，74，76，78，
故答案为6．
【点评】本题考查因数与倍数，考查新定义，解题的关键是对N的因数个数分类讨论．
14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有 19 个．
【分析】由于一个数的因数包括本身，则这个数一定不超过30，则依此可以一一检验得到符合题意的正整数的个数．
【解答】解：
根据分析，此正整数不超过30，故所有不超过30的质数均符合条件，有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个；
其它非质数有：
1、4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件，故满足因数的和不超过30的正整数一共有：
10+9=19个．
故答案为：
19．
【点评】本题考查了约数的个数知识，突破点是：
从质数开始排查，再检验其它非质数．
15．一个五位数
是2014的倍数，并且
恰好有16个因数，则
的最小值是 24168 ．
【分析】2014的倍数是五位数的数最小从10070开始，再根据
的约数个数，来确定这个五位数的最小值．
【解答】解：
根据分析，2014的倍数是五位数的数：
①最小是10070=5×2014，末尾三位是：
70=2×5×7，约数个数为：
（1+1）（1+1）（1+1）=8个；
②12084=6×2014，末三位是：
84=22×3×7，约数个数为：
（2+1）（1+1）（1+1）=12个；
③14098=7×2014，末三位是：
98=2×72，约数个数为：
（1+1）（2+1）=6个；
④16112=8×2014，末三位是：
112=24×7，约数个数为：
（4+1）（1+1）=10个；
⑤18126=9×2014，末三位是：
126=2×32×7，约数个数为：
（1+1）（2+1）（1+1）=12个；
⑥20140=10×2014，末三位是：
140=22×5×7，约数个数为：
（2+1）（1+1）（1+1）=12个；
⑦22154=11×2014，末三位是：
154=2×7×11，约数个数为：
（1+1）（1+1）（1+1）=8个；
⑧24168=12×2014，末三位是：
168=23×3×7，约数个数为：
（3+1）（1+1）（1+1）=16个；
显然符合题意的只有：
24168．
故答案是：
24168．
【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，突破点是：
根据约数和定理一一检验，得到符合题意的数．
16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是
．那么整数n的最大值是 162 ．
【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、、3、、、、、
、、n，立即可以填出1、2、3、、、、、
、
、n，也就是说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解．
【解答】解：
根据分析可知10个因数分别为1、2、3、、、、、
、
、n，
根据因数个数定理10=1×（9+1）=（1+1）×（4+1），
由于含质因数2和3，则n应为21×34或24×31，其中21×34=162更大．
故答案为：
162．
【点评】解答本题关键是：
能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理．
17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是 385 ．
【分析】先把35和77分解质因数，即35=5×7，77=7×11，则这个数至少数是：
5×7×11，然后根据求一个数约数的个数的计算方法：
所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，正好符合要求，然后解答可得出答案．
【解答】解：
35=5×7，77=7×11，
则这个数至少数是：
5×7×11=385，
共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）因数，正好符合要求．
答：
这个数是385．
故答案为：
385．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：
a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
18．在1～600中，恰好有3个约数的数有 9 个．
【分析】如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），然后确定在1～600中，完全平方数的个数即可．
【解答】解：
如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），
因为，242=576，252=625，
所以，P是不大于24的质数，即2、3、5、7、11、13、17、19、23，共有9个；
答：
在1～600中，恰好有3个约数的数有9个．
故答案为：
9．
【点评】本题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用；关键是明确：
当一个数的因数的个数是奇数个数时，这个数是完全平方数．
19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为 1 ．
【分析】显然先分解质因数2013，可以求得其约数的个数为（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，而8=2×2×2=2×4，故而可以确定a和b的分解质因数的形式，再一一检验找出差值最小的数．
【解答】解：
根据分析，分解质因数2013=3×11×61，有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，
而一个数有8个余数，那么这个数分解质因数一定可以写成m3×n或m×n×w（m、n、w为互不相同的质数），
故约数个数为8的数有多个，现举例说明两数之差最小的几组：
①104=23×13与105=3×5×7均有8个约数（这是最小的满足差是1的一组）；
②189=33×7与190=2×5×19均有8个约数；
③23×37=296与297=33×11均有8个约数；
④2013=3×11×61，2014=2×19×53均有8个约数．
综上，a、b两数之差（大减小）的最小值为1．
故答
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