1213小学奥数练习卷知识点约数个数与约数和定理含答案解析.docx

1、1213小学奥数练习卷知识点约数个数与约数和定理含答案解析小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）评卷人得分一选择题（共1小题）1恰有20个因数的最小自然数是（）A120 B240 C360 D432第卷（非选择题）评卷人得分二填空题（共40小题）2写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是3已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有个约数4一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是5自然数N有很多个约数，把它的

2、这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有个约数6四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数那么，四位数有个因数7四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是8大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为9恰好有12个不同因数的最小的自然数为10有10个不同因数的最小自然数为11两个正方形的面积之差为2016平方

3、厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对1260的不同约数（1除外）的个数是13如果一个自然数N（ N1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=217，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）在284中，一共有个“中环数”14在所有正整数中，因数的和不超过30的共有个15一个五位数是 2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是16整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是那么整数n的最大值是17一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是18在1600中

4、，恰好有3个约数的数有个19已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为20用表示a的不同约数的个数如4的不同约数有1，2，4共3个，所以=3，那么（）=21一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：A+B+C=79AA=BC那么，这个自然数是22有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张学学说：“我手中的三个数乘积是A3”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625”那么，思思手中的三个数和是23一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么

5、这个四位回文数是（回文数例如：1111、4334、3210123）24一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是25定义：AB为A和B乘积的约数个数，那么，18+27+36+45=26已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是27一个合数至少有3个约数（判断对错）28把72的所有约数从小到大排列，第4个是29把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是30已知360=222335，那么360的约数共有个31一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好

6、比它自己的约数多3个那么，这个正整数是32已知300=22355，则300一共有不同的约数33A、B两数都只含有质因数3和4，它们的最大公约数是36已知A有12个约数，B有9个约数，那么A+B=34能被2345整除且恰有2345个约数的数有个35分母是3553的最简真分数的和是36若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G（36）+G（42）=37聰聰先求出自然數N的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最小的和是3，最大的和是2010，那麼這個自然數N是38自然数N有20个正约数，N的最小值为39一个自然数恰好有18个约数，那

7、么它最多有个约数的个位是340数223355有个不同的约数41设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，则三个数之积的最小值是评卷人得分三解答题（共9小题）42已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有多少个？43A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数那么，这四个数和的最小值是44如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=21，所以3是一个“中环数”再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=22，所以21

8、 也是一个中环数我们希望能找到n个连续的中环数求n的最大值45如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是46求100至160之间有8个约数的数472008的约数有个48100以内共有8个约数的数共有多少个？它们各是多少？49已知三位数240有d个不同的约数（因子），求d的值50求360所有约数的和参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1恰有20个因数的最小自然数是（）A120 B240 C360 D432【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可【解答】解：20=20=2

9、10=45=225；四种情况下的最小自然数分别为：219、293、2433、2435，其中最小的是最后一个2435=240故选：B【点评】此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论二填空题（共40小题）2写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是24、30、40、42、54、56、66、70、78、88【分析】恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数），由此可得结论【解答】解：根据题意可得：235=30，237=42，2311=66，2313=78，257=70；323=24，523=40，723=56，1123=88，233=

10、54；27=128100所以，所求的数从小到大依次是：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个故答案为：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88【点评】本题考查约数个数问题，考查学生分析解决问题的能力，确定恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数）是关键3已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有30个约数【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）10=20个，则n的分解式中

11、含有一个3，6n分成23n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又，n的质因数分解式中含有0个2；设n=3amx，又，n的质因数分解式中含有一个3，根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）=10，解得：a=1，x=4，此时n=3m4；故6n=23n=233m4=232m4，其约数和为：（1+1）（2+1）（4+1）=235=30，故答案是：30【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：根据约数和定理确定分解式中2和3的个数，再算约数的个数4一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这

12、个数的最小值是2520【分析】因为这个数中的因数中有10个连续的自然数，那么这个数最小是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数，然后再验证这个最小公倍数是不是有48个约数如果验证不到，再求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的最小公倍数，就这样去尝试【解答】解：因为10=25，9=33，8=42，所以这10个数的最小公倍数，也就是7、8、9、10的最小公倍数7、8的最小公倍数是56，9、10的最小公倍数是90，56和90的最小公倍数是2520将2520分解质因数得233257，所以它的因数个数是（3+1）（2+1）（1+1）（1+1）=48个故此题填2520【点评】此题考查

13、是求公倍数的方法，以及如何去求约数的个数，采用的是假设验证的解题策略5自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有8个约数【分析】最小的数为4，则约数最小的数为1，另外一个第二小的约数为41=3，即：3是N的一个约数，最大的约数是本身，第二大的约数和第二小的约数相乘结果即为本身，所以第二大的约数为：，再根据最大的两约数和为2684，可以求出N的值，用约数和定理求出约数的个数【解答】解：根据分析，约数最小的数为1，最小的两个约数和为4，则第二小的约数为：41=3，约数是成对出现的，N=1N=3，即是第二大的约数，由于最大的两约数和为2684，则

14、有：，解得：N=2013，分解质因数2013=31161，根据约数和定理，得：2013的约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=8个，故答案是：8【点评】本题考查了约数和定理与因数倍数知识，突破点是：根据约数和第二大和第二小约数，再求出N，再算其约数的个数6四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数那么，四位数有12个因数【分析】首先判断文字中含有隐含的数字，奇偶位数和相等是11的倍数，在分析因数的个数，同时注意题中说的是3个质数42需要分解成3个数字相乘有唯一情况再枚举即可【解答】解：首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数因数一共的个数是3+39=42（个），将42分

15、解成3个数字相乘42=237=ab2c6如果是115226=17600（不是四位数不满足条件）再看一下如果这个数字最小是=113226=6336=3663=113732因数的个数共223=12（个）故答案为：12个【点评】本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理解和运用，题中隐含数字11就是本题的突破口，同时关键分析42分解成237的情况实际就是特殊的情况，都是最小的质数问题解决7四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是6336【分析】根据因数个数是42个同时需要有3个质数，42分解成3个数字相乘就有唯一情况同时这四位数中奇数偶数位数和相等满足11整除特性接下来从最小的

16、情况枚举尝试即可【解答】解：根据奇数偶数位数和相等，所以一定是11的倍数，因数个数是3+39=42个四位数含有3个质数，需要将42分解成3个数字相乘42=237所以可以写成ab2c6那么看一下质数是最小的是什么情况113226=6336当质数再打一点b=5时，c=2时，115226=17600（不满足是四位数的条件）故答案为：6336【点评】本题考查因数个数的求法，同时对质数的理解和运用，突破口是42需要分解成3个数字相乘有唯一情况同时数字是11的倍数最后发现实际都是特殊情况唯一确定问题解决8大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数比如，6的所有因数为

17、1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为121【分析】先找出81的所有因数，再把81的所有因数相加即可【解答】解：81的因数：1、3、9、27、81，81的所有因数之和为：1+3+9+27+81=121，故答案为：121【点评】本题关键是找到81的所有因数9恰好有12个不同因数的最小的自然数为60【分析】首先把12分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案【解答】解：12=1

18、12=26=34=223，有12个约数的自然数有：2222（11个2）=2048，222（5个2）3=96，22233=72，2235=60；从以上可以看出只有的乘积最小；所以有12个约数的最小自然数是60故答案为：60【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pqr（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（+1）（+1）（+1）个约数10有10个不同因数的最小自然数为48【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案【解答】解：因为10=25=110，210=1024，2

19、43=48，所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最小：243=48；故答案为：48【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pqr（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（+1）（+1）（+1）个约数11两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有12对【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2y2=（x+y）（xy）=2016，x+y与xy奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25327，然后解答即可【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，

20、有题意可得：x2y2=2016，因式分解：（x+y）（xy）=2016，x+y与xy奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，2016=25327，2016因数的个数：（1+5）（2+1）（1+1）=36（个），共有因数362=18对因数，其中奇因数有：（2+1）2=6对，所以偶数有：186=12对，即，满足上述条件的所有正方形共有 12对故答案为：12【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与xy都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以20164=504，然后确定504的约数是24个，即12对即可1260的

21、不同约数（1除外）的个数是11【分析】先将60分解质因数，60=2235，再写成标准式是2235，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘，最后减去1，即得答案【解答】60分解质因数 60=2235，再下称标准式是2235，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘60的不同约数（1除外）的个数是（2+1）（1+1）（1+1）1=11个答：答案是11个【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理，当然此题也可以用列举法求解13如果一个自然数N（ N1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=217，所以它有4个因数，正好就是34的个

22、位数字，所以34就是一个”中环数”）在284中，一共有6个“中环数”【分析】由题意，对N的因数个数分类讨论，由此即可得出结论【解答】解：由题意，N的因数个数是2，N就是2；N的因数个数是3，则N是完全平方数，由于末尾是3，不存在N满足题意；N的因数个数是4，由于末尾是4，则满足条件的数为14，34，74；N的因数个数是5，则N是完全平方数，由于末尾是5，不存在N满足题意；N的因数个数是6，则N是76满足题意；同理78满足题意，所以在284中，”中环数”是2，14，34，74，76，78，故答案为6【点评】本题考查因数与倍数，考查新定义，解题的关键是对N的因数个数分类讨论14在所有正整数中，因数

23、的和不超过30的共有19个【分析】由于一个数的因数包括本身，则这个数一定不超过30，则依此可以一一检验得到符合题意的正整数的个数【解答】解：根据分析，此正整数不超过30，故所有不超过30的质数均符合条件，有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个；其它非质数有：1、4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件，故满足因数的和不超过30的正整数一共有：10+9=19个故答案为：19【点评】本题考查了约数的个数知识，突破点是：从质数开始排查，再检验其它非质数15一个五位数是 2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是24168【分析】2014的倍数是五位数的数最

24、小从10070开始，再根据的约数个数，来确定这个五位数的最小值【解答】解：根据分析，2014的倍数是五位数的数：最小是10070=52014，末尾三位是：70=257，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；12084=62014，末三位是：84=2237，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；14098=72014，末三位是：98=272，约数个数为：（1+1）（2+1）=6个；16112=82014，末三位是：112=247，约数个数为：（4+1）（1+1）=10个；18126=92014，末三位是：126=2327，约数个数为：（1+1）（2+1）（1+1）=12

25、个；20140=102014，末三位是：140=2257，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；22154=112014，末三位是：154=2711，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；24168=122014，末三位是：168=2337，约数个数为：（3+1）（1+1）（1+1）=16个；显然符合题意的只有：24168故答案是：24168【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，突破点是：根据约数和定理一一检验，得到符合题意的数16整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是那么整数n的最大值是162【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是

26、1、3、n，立即可以填出1、2、3、n，也就是说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、n，根据因数个数定理10=1（9+1）=（1+1）（4+1），由于含质因数2和3，则n应为2134或2431，其中2134=162更大故答案为：162【点评】解答本题关键是：能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理17一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是385【分析】先把35和77分解质因数，即35=57，77=711，则这个数至少数是：5711，然后根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这

27、个数约数的个数，即（1+1）（1+1）（1+1）=8个，正好符合要求，然后解答可得出答案【解答】解：35=57，77=711，则这个数至少数是：5711=385，共有（1+1）（1+1）（1+1）=8（个）因数，正好符合要求答：这个数是 385故答案为：385【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pqr（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（+1）（+1）（+1）个约数18在1600中，恰好有3个约数的数有9个【分析】如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），然后确定在1600中，完全平方数的个数即可【解答】解：如果一个数恰好有3个约数，

28、则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），因为，242=576，252=625，所以，P是不大于24的质数，即2、3、5、7、11、13、17、19、23，共有9个；答：在1600中，恰好有3个约数的数有 9个故答案为：9【点评】本题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用；关键是明确：当一个数的因数的个数是奇数个数时，这个数是完全平方数19已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为1【分析】显然先分解质因数2013，可以求得其约数的个数为（1+1）（1+1）（1+1）=8，而8=222=24，故而可以确定a和b的分解质因数的形式，再一一检验找出差值最小的数【解答】解：根据分析，分解质因数2013=31161，有（1+1）（1+1）（1+1）=8个约数，而一个数有8个余数，那么这个数分解质因数一定可以写成m3n或mnw（m、n、w为互不相同的质数），故约数个数为8的数有多个，现举例说明两数之差最小的几组：104=2313与105=357均有8个约数（这是最小的满足差是1的一组）；189=337与190=2519均有8个约数；2337=296与297=3311均有8个约数；2013=31161，2014=21953均有8个约数综上，a、b 两数之差（大减小）的最小值为1故答