精品随机数的首位数字出现概率统计分析.docx
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精品随机数的首位数字出现概率统计分析
随机数的首位数字出现概率统计分析
西南大学2011级
朱熹朱心阳周亚晶
何龙刘伟田宸宇
内容摘要：
本文运用一系列统计方法对学生人数进行统计分析,以及自己对实验现象的隐含的原理的猜测、证明。
实验结果表明：
a）首位数字是1的数字出现的几率最大，依次是2至9逐个递减.并且满足一定的函数关系.b）所有数字所在的数量级一定要有很大的差距，不然无法得出这个结论。
c）所统计的数字一定不要受太大的人为因数影响。
以此定律，我们可以检验一些记账的数据是否被私自删改，以及比赛投票的结果的检验复查，防止一些简单的造假行为。
关键词：
统计分析；首位数字；数量级;随机
1、引言
2001年,美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，当时传出了该公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。
事后人们发现，安然公司在2001年到2002年所公布的每股盈利数字就不符合本福特定律，这证明了安然的高层领导确实改动过这些数据。
如今做假账这些行为应当严厉打击，也许在次定律发现之前,做的一些假账逃过了法律的制裁。
传闻1935年，美国的一位叫做本福特的物理学家在图书馆翻阅对数表时发现，对数表的头几页比后面的页更脏一些，这就说明了前几页翻阅得跟多，由此本福特发现了这一定律.本福特定律看似不符合逻辑，实质上它是经得起检验的.为此我们作出此次统计调查再一次亲身感受结论的正确性，同时我们也将作出自己的猜想，以及自己对定律的理解。
2、提出问题
对于自然出现的数字的首位数，是否1~9这九个数字的出现概率一定为1/9？
如果不是,那它们将满足什么关系?
为什么会出现不等于1/9这种情况？
这种规律能否在实际生活工作中应用？
能不能对此有一个直观的理解？
这就是本次统计方案设计大赛我们队所研究的课题——首位数字出现几率的概率统计。
3、分析问题
对于自然出现的这些数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，如果按照一定的度量单位制，这里我们假设他们为十进制进位方式,且数字按固定比例增长，那么在首位数字较小时，首数增长得会很慢,这意味着首位数变化的速率会很慢，但是当首位数字增长后，随着首位数字变大,首位数字的值增长也会加快。
举个例子,假设股票市场上的指数一开始是1000点，并以每年10%的程度上升，那么要用7年多时间,这个指数才能从1000点上升到2000点的水平；而由2000点上升到3000点只需要4年多时间；但是，如果要让指数从10000点上升到20000点，还需要等7年多的时间。
也就是说，如果这些数据随机地出现，就算出现概率是等可能的，那么在一段时间内,我们看到的1出现的次数也将大于其他数字，所以这直接造成了首位数字是1出现的几率最大。
4、设计统计方案
我们猜想这些数字出现的规律满足由1开始逐渐递减,并且符合一定的函数关系。
为此，我们将采集大量数据，为了让数据满足“随机、自然出现”这个条件，我们对重庆沙坪坝、洋人街和北碚的商铺做了调查,调查对象为这些商店的月营业额.由于商店类型不同，所以它们的营销额差距也是相当大的，可以产生相差几个数量级的营销额，且不受太多人为因素的影响。
不要过多的选择同一地点且同一种商品的商店，那样可能将产生一些相似的数据。
按照不同的月份分为12组,那么每个商店将可以为我们提供出12个数据.例如，第一家一月份的营业额为38914元,第二家一月份营业额为4339元，第三家一月份营业额为985元，第四家……那第一组的数据便为：
38914、4339、985……之后，通过java编程统计，便能得到每个组中这九个数字在首位时
出现的概率。
之后再进行分析比对，于是得出结果。
为了验证该结果，我们同时也将对其他一些数据进行同样的统计分析，例如贴吧点击数、不同投票的结果等等。
5、统计结果
所有调查的商店每月份的营销额的首位数字数量及比列如下：
（第一行为首位数字，第二行为数据的个数，第三行为数据个数占总个数的百分数。
后面的表同此）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
287
174
102
84
74
66
59
54
48
30。
4％
18。
4％
10.7%
8。
8％
7.9%
6。
9％
6.3％
5。
6％
5。
0%
6、通过对采集到的数据进行汇总和统计，我们发现在这些数据中，首位为1的出现概率远大于其他数字，并且接近于30%；而2～9这些数字出现的概率不仅远小于1出现的概率，其出现概率也是符合逐级递减的规律。
并且符合数字越大递减的速率越慢的这一规律。
与前面的猜想一致。
7、误差分析
将我们得到的数据与标准值相比较得方差
σ=【（0。
304—0.301）^2+（0。
184-0。
176）^2+（0.107—0。
097）^2+（0.088—0.097）^2+（0。
079—0。
079）^2+（0.069—0。
067）^2+（0.063—0。
058）^2+（0.056-0。
051）^2+（0.050-0.046）^2】÷9=0.0054
σ相对较小，所以此次验证比较准确。
于是我们得出结论，自然随机变量中，只要样本空间够大，那么数字1~9出现的概率并不是想象中的满足1/9，而是满足下图中所示线性规律:
7、资料搜索与自己理解
通过查阅相关资料，我们发现，自然出现的随机数据满足Benford定律——只要数据的样本足够多，数据中以1为开头的数字出现的频率并不是1/9,而是30。
1％。
而以2为首的数字出现的频率是17。
6%，往后出现频率依次减少,9的出现频率最低，只有4。
6%。
对应不同的进位制其函数关系为：
其中,b为进位制，如采用10进位制,则b=10，如采用8进位制,则b=8;d为首位数字（d=1、2、3······b—1）
我们可以用使用二进制时来简单的检验一下这个结果
二进制中，以1开头的数占100%。
而按照本福特定律，二进制中，以1开头的数占P=ln2/ln2-ln1/ln2=100%.
完全符合.
从数数目来说，顺序从1开始数，1，2,3，...,9,从这点终结的话，所有数起首的机会似乎相同，但9之后的两位数10至19，以1起首的数又大大抛离了其他数了.而下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3，4,.。
.，8起首的数.若果这样数法有个终结点，以1起首的数的出现率一般都比9大.
本福特定律产生的根源，就在于指数增长,如果要增长相同的高度，那么越在后面所需要的时间就会越少，也就是说从1增长到2所停滞的时间最长,所以这样的数据个数在自然界出现的概率也将会大一些。
然而从8到9的增长时间就很短了，这些数据自然会很少。
这幅图可以直观的显示,如果一个变量随时间成指数增长的话,那么这个变量开头的数字随着时间的变化就应该是如下图：
（横轴代表时间,纵轴代表那个变量）
显然，在某时刻你得到它以1开头的概率要大于9开头.而这是只取一个值的情况，如果是取大量的数据的话，在某时刻你观察到他以1开头的数据数量就大于以9开头的数量了.而指数增长的形式在自然界是十分普遍的，只要一个变量的增长率和他的大小成正比，结果就会是指数增长。
比如说人类科技发展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人类的科技发展就是个指数增长；人口增长率会和已存在人口数成正比，因此没有资源限制的人口增长也是指数增长。
指数增长是自然中极为普遍的一种变化规律，而这种变化规律可以直接导致本福特定律。
而关于该定律严谨的证明，可以参考Hill,T。
P.“AStatisticalDerivationoftheSignificant-DigitLaw。
"Stat。
Sci。
10，354—363，1996。
。
同时,我们也参考了2010年年末XX贴吧投票的结果，由于贴吧数量极大而且参与投票者极多,虽然存在刷票现象,但对整体并不造成极大影响。
但从减小误差考虑，我们只调查了当时贴吧人气大于1的部分参与人数多的贴吧,并按贴吧分类进行分组
动漫类贴吧：
首位数字数量及其比例
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2286
843
723
441
427
383
278
258
176
39.3％
14.5%
12。
4％
7.6％
7.3%
6。
6%
4。
7％
4.5％
3。
0%
人气为10000以上的贴吧数量：
2499
首位数字数量及其比例
1
2
3
4
5
6
7
8
9
944
481
315
207
155
120
114
95
68
37。
8％
37。
8%
12.6%
8。
3％
6。
2％
4。
8%
4。
6%
3.8%
2。
7％
于是不难发现，不管是营业额或者投票的排名都满足该定律，即首位出现1的概率最大,依次递减.
而对于那种按一定规律排序的，或者人为修饰过的数字则不满足上述规律，例如身份证号、电话号码等。
以下是对在校学生人数出生的数据统计分析得到的结果。
首位数字及其比例
1
2
3
4
5
6
7
8
9
988
1023
1056
946
1123
1307
896
954
1007
11.8％
12.0%
12。
5％
11.2％
13.3％
15。
5％
10。
6%
11.3%
11。
9％
可以看出，这种经过人为修饰后的数据与标准值相差甚大。
为什么会产生这样的原因?
人数之间数量级的波动并不大,几乎没有数量级的跨越,而且几乎是平均分配的，所以产生的比例也就接近于1：
1。
对于该定律的应用，发现在物理里面也同样满足,例如强子的宽度、统计物理的三个重要分布，Boltzmann—Gibbs分布，Bose—Einstein分布，Fermi—Dirac分布也基本遵循这个定律
8、数据仿真
采用1至100中的任意两个数、三个数、四个数······十个数相乘产生
至
数量级的数字。
采用java编程,设计此程序，然后随机筛选出部分数据，按首位数进行统计得下表:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
数据个数
3017
1765
1242
971
782
661
583
519
466
所占比例
0。
302
0.176
0。
124
0.097
0.078
0。
066
0.058
0.052
0。
047
采用matlab作出函数图像如下：
得出其函数：
与已知的函数
相比较。
将两个函数作差得
将函数P（x）用泰勒公式在x=0处展开得：
所以g（x）几乎趋于0，也就是说f（x）与p（x）几乎相等。
所以模拟出来的结果与真实结果几乎相同。
9、理论分析
对此定律提出自己的看法,建立自己的模型。
设a〉1,
，
为以n为首的数字出现的概率。
则定义
为数a升到n的难度系数.那么再定义
为数字n—1上升到n的难度系数.那么我们可以想象从n—1上升到n的难度系数占总难度系数和的比例就是n—1为首的数字在所有随机出现的数字的概率。
因为上升的难度系数越大,首位数字停滞的时间越久，以此为开头的数据个数就越多。
对等式两边取b为底的对数得
令
得到
那么我们可以得到
10、最后化简可以得到公式
与已知公式完全一样.
11、总结
在贴吧的统计结果中，比标准值偏大，造成这项误差的原因，因为投票不可能是规律排布，所以只能是人为修饰,考虑到当时有刷票现象,所以判断出有可能是这个因素导致的误差偏大。
在处理一些数据时我们可以通过此方法来验证它是否造假。
所以综合以上所有统计结果，我们得出结论：
自然出现的数据满足Benford定律，即b进位制中,以数n起头的数出现的机率为
且有
与事实相符合。
而所选数据必须满足条件:
（1）数据不能是规律排序的；
（2）数据不能经过人为修饰。
通过此次统计调查，我们不但得出了随机数据出现的一般规律,而且也验证了Benford定律的正确性。
参考文献
［1］2005年6月2日明报D15版,《假帐克星—-本福特定律》,吴端伟博士
［2]2010年5月1日，新浪微博《Benford定律》，李淼
［3]FrankBenford:
Thelawofanomalousnumbers,ProceedingsoftheAmericanPhilosophicalSociety,78（1938），p.551
［4］TedHill：
Thefirstdigitphenomenon,AmericanScientist86（July—August1998），p。
358.
[5]HalVarian:
Benford'slaw，AmericanStatistician26,p。
65。
[6］ScottPD＆FasliM（2001）Benford'sLaw:
Anempiricalinvestigationandanovelexplanation.CSMTechnicalReport349
[7］NigriniM（1996）AtaxpayercomplianceapplicationofBenford'sLaw.JAmerTaxAssoc18，72—91
[8］ChoWKT,GainesBJ（2007）Breakingthe（Benford）law：
Statisticalfrauddetectionincampaignfinance。
AmerStat61，218–223
[9]Hill,T.P."AStatisticalDerivationoftheSignificant—DigitLaw."Stat。
Sci。
10，354-363，1996。
。
［10]LijingShao，Bo—QiangMa，FirstDigitDistributionofHadronFull
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