八年级下第一单元典型例题讲解一.docx
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八年级下第一单元典型例题讲解一
八年级下第一单元典型例题讲解一
一．选择题（共2小题）
1．（2014秋•金水区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
2．（2015•成都校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
二．选择题（共2小题）
3．（2008•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为 ．
4．（2014春•句容市校级期中）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和3，则正方形的面积是 ．
三．选择题（共8小题）
5．4个全等的直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？
6．（2014秋•高邮市期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=16，CD⊥AB于点D．求CD的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：
AN2﹣BN2=AC2．
8．（2013春•无棣县校级期中）如图，有一块直角三角形纸片沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且点C与点E重合．已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
9．（2015春•通辽期末）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠．点B落在E点，AE交DC于F点，已知AB=8cm，BC=4cm．求折叠后重合部分的面积．
10．（2012春•潼南县校级期中）已知如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长．
11．（2005•双柏县）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
12．（2013秋•兴庆区校级期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度．
四．解答题（共3小题）
13．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AB=13，AD=12，AC=15．求BC的长．
14．（2015秋•丹东期末）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边的中点，点E、点F分别在直线CA、BC上，且DE⊥DF．
（1）证明：
△DEF是等腰直角三角形；
（2）求证：
EF2=AE2+BF2；
（3）若AE=5，BF=12，求S△CEF的值；
（4）探索S△CEF、S△DEF、S△ABC之间的数量关系．
八年级下第一单元典型例题讲解一
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2014秋•金水区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【解答】解：
如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵AB=17，BD=15，DC=6，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：
AD2=AB2﹣BD2=64．
在直角△ACD中，由勾股定理得到：
AC=
=
=10，即AC=10．
故选：
B．
2．（2015•成都校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【解答】解：
由折叠可得DF=EF，设AF=x，则EF=8﹣x，
∵AF2+AE2=EF2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3．
故选：
A．
二．选择题（共2小题）
3．（2008•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为
．
【解答】解：
EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=CO．
所以△AOE≌△COE．
设CE为x．
则DE=AD﹣x，CD=AB=2．
根据勾股定理可得x2=（3﹣x）2+22
解得CE=
．
故答案为
．
4．（2014春•句容市校级期中）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和3，则正方形的面积是 10 ．
【解答】解：
作AM⊥l于M，CN⊥l于N，如图所示：
则∠AMB=∠BNC=90°，AM=1，CN=3，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（AAS），
∴BM=CN=3，
∴AB2=AM2+BM2=12+32=10，
∴正方形ABCD的面积=AB2=10；
故答案为：
10．
三．选择题（共8小题）
5．4个全等的直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？
【解答】解：
∵大正方形的面积=（a+b）2，四个直角三角形的面积和=4×
ab=2ab，中间的正方形的面积=c2∴2ab+c2=（a+b）22ab+c2=a2+b2+2ab
∴c2=a2+b2
6．（2014秋•高邮市期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=16，CD⊥AB于点D．求CD的长．
【解答】解：
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=16，
∴AB=
=
=20．
∵CD⊥AB于点D，
∴CD=
=
=9.6．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：
AN2﹣BN2=AC2．
【解答】证明：
∵MN⊥AB于N，
∴BN2=BM2﹣MN2，AN2=AM2﹣MN2
∴BN2﹣AN2=BM2﹣AM2，
又∵∠C=90°，
∴AM2=AC2+CM2
∴BN2﹣AN2=BM2﹣AC2﹣CM2，
又∵BM=CM，
∴BN2﹣AN2=﹣AC2，
即AN2﹣BN2=AC2．
8．（2013春•无棣县校级期中）如图，有一块直角三角形纸片沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且点C与点E重合．已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
【解答】解：
∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10，
BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
设CD=DE=xcm，则DB=BC﹣CD=8﹣x，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
即CD=3cm．
9．（2015春•通辽期末）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠．点B落在E点，AE交DC于F点，已知AB=8cm，BC=4cm．求折叠后重合部分的面积．
【解答】解：
由AAS可得△EFC≌△DFA，
∴DF=EF，AF=CF，
设FC=x，则DF=8﹣x，
在RT△ADF中，DF2+AD2=AF2，即（8﹣x）2+16=x2，
解得：
x=5，即CF=5cm，
∴折叠后重合部分的面积=
CF×AD=10cm2．
10．（2012春•潼南县校级期中）已知如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=
=
=4，
∵△ADE由△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
设BE=x，则AE=4﹣x，
在Rt△ABE中，
AB2+BE2=AE2，即32+x2=（4﹣x）2，解得x=
，即BE=
．
11．（2005•双柏县）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
【解答】解：
如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC=
=10m，
故小鸟至少飞行10m．
12．（2013秋•兴庆区校级期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度．
【解答】解：
设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：
x2+52=（x+1）2，
解得，x=12．
答：
旗杆的高度为12米．
四．解答题（共3小题）
13．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AB=13，AD=12，AC=15．求BC的长．
【解答】解：
∵AD为边BC上的高，AB=13，AD=12，AC=15，
∴在RT△ABD中由勾股定理可得：
BD=
=5，CD=
=9，
∴BC=BD+CD=14．
故答案为：
14．
14．（2015秋•丹东期末）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
【解答】解：
由题意知AD+DB=BC+CA，且CA=20米，BC=10米，
设BD=x米，则AD=（30﹣x）米，
∵在Rt△ACD中：
CD2+CA2=AD2，
即（30﹣x）2=（10+x）2+202，
解得x=5，
故树高为CD=10+x=15米
答树高为15米．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边的中点，点E、点F分别在直线CA、BC上，且DE⊥DF．
（1）证明：
△DEF是等腰直角三角形；
（2）求证：
EF2=AE2+BF2；
（3）若AE=5，BF=12，求S△CEF的值；
（4）探索S△CEF、S△DEF、S△ABC之间的数量关系．
【解答】
（1）证明：
连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD⊥AB，AD=DB=CD，∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，
∵ED⊥DF，
∴∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE与△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）延长FD，使DM=DF，连接AM，EM，
在△DFB与△AMD中，
，
∴△DFB≌△AMD，
∴AM=BF，∠B=∠DAM=45°，
∴∠CAD+DAM=90°，
∴AE2+AM2=EM2，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EF=EM，
∴EF2=AE2+BF2；
（3）∵△AED≌△CDF，
∴CF=AE=5，
∴BC=17=AC，
∴BF=CE=12，
∴S△CEF=
=
=30；
（4）∵△AED≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF，
∵S△ADE+S△CDE=
S△ABC=S△CDF+S△BDF，
∴S△BDF=S△CDE，
∴S△ADE+S△BDF=
S△ABC，
∴S△DEF+S△CEF=
S△ABC．
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