常用的巧算和速算方法1 2.docx
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常用的巧算和速算方法12
常用的巧算和速算方法
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为
1+2+……+99+100
所以,1+2+3+4+……+99+100
=101×100÷2
=5050。
“3+5+7+………+97+99=?
3+5+7+……+97+99=(99+3)×49÷2=2499。
这种算法的思路,见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。
张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题:
“今有女子不善织,日减功,迟。
初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。
问织几何?
”
题目的意思是:
有位妇女不善于织布,她每天织的布都比上一天减少一些,并且减少的数量都相等。
她第一天织了5尺布,最后一天织了1尺,一共织了30天。
问她一共织了多少布?
张丘建在《算经》上给出的解法是:
“并初末日织尺数,半之,余以乘织讫日数,即得。
”“答曰:
二匹一丈”。
这一解法,用现代的算式表达,就是
1匹=4丈,1丈=10尺,
90尺=9丈=2匹1丈。
(答略)
张丘建这一解法的思路,据推测为:
如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来,算式就是
5+…………+1
在这一算式中,每一个往后加的加数,都会比它前一个紧挨着它的加数,要递减一个相同的数,而这一递减的数不会是个整数。
若把这个式子反过来,则算式便是
1+………………+5
此时,每一个往后的加数,就都会比它前一个紧挨着它的加数,要递增一个相同的数。
同样,这一递增的相同的数,也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加,并在相加时,利用“对应的数相加和会相等”
这一特点,那么,就会出现下面的式子:
所以,加得的结果是6×30=180(尺)
但这妇女用30天织的布没有180尺,而只有180尺布的一半。
所以,这妇女30天织的布是
180÷2=90(尺)
可见,这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
【分组计算】一些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的方法,往往可以使它很快地解答出来。
例如:
求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10亿个自然数的数字之和”,而不是“10亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”?
例如,求1到12这12个自然数的数字之和,算式是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+1+2=5l。
显然,10亿个自然数的数字之和,如果一个一个地相加,那是极麻烦,也极费时间(很多年都难于算出结果)的。
怎么办呢?
我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”,改变数字的个数,但不会改变计算的结果。
然后,将它们分组:
0和999,999,999;1和999,999,998;
2和999,999,997;3和999,999,996;
4和999,999,995;5和999,999,994;
………………
依次类推,可知除最后一个数,1,000,000,000以外,其他的自然数与添上的0共10亿个数,共可以分为5亿组,各组数字之和都是81,如
0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=81
1+9+9+9+9+9+9+9+9+8=81
………………
最后的一个数1,000,000,000不成对,它的数字之和是1。
所以,此题的计算结果是
(81×500,000,000)+1
=40,500,000,000+1
=40,500,000,001
【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法,也是一种速算、巧算技巧。
遇到有些题数目多,关系复杂时,我们可以从数目较小的特殊情况入手,研究题目特点,找出一般规律,再推出题目的结果。
例如:
(1)计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×100”的大方阵,数目很多,关系较为复杂。
不妨先化大为小,再由小推大。
先观察“5×5”的方阵,如下图(图4.1)所示。
容易看到,对角线上五个“5”之和为25。
这时,如果将对角线下面的部分(右下部分)用剪刀剪开,如图4.2那样拼接,那么将会发现,这五个斜行,每行数之和都是25。
所以,“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125,即53=125。
于是,很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1,000,000。
(2)把自然数中的偶数,像图4.3那样排成五列。
最左边的叫第一列,按从左到右的顺序,其他叫第二、第三……第五列。
那么2002出现在哪一列:
因为从2到2002,共有偶数2002÷2=1001(个)。
从前到后,是每8个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列,后四个偶数分别在第四、三、二、一列(偶数都是按由小到大的顺序)。
所以,由1001÷8=125…………1,可知这1001个偶数可以分为125组,还余1个。
故2002应排在第二列。
【凑整巧算】用“凑整方法”巧算,常常能使计算变得比较简便、快速。
例如
(1)99.9+11.1=(90+10)+(9+1)+(0.9+0.1)=111
(2)9+97+998+6=(9+1)+(97+3)+(998+2)
=10+100+1000
=1110
(3)125+125+125+125+120+125+125+125
=155+125+125+125+(120+5)+125+125+125-5
=125×8-5
=1000-5
=995
【巧妙试商】除数是两位数的除法,可以采用一些巧妙试商方法,提高计算速度。
(1)用“商五法”试商。
当除数(两位数)的10倍的一半,与被除数相等(或相近)时,可以直接试商“5”。
如70÷14=5,125÷25=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候,有些可以用“无除半商五”。
“无除”指被除数前两位不够除,“半商五”指若被除数的前两位恰好等于(或接近)除数的一半时,则可直接商“5”。
例如1248÷24=52,2385÷45=53
(2)同头无除商八、九。
“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。
“无除”仍指被除数前两位不够除。
这时,商定在被除数高位数起的第三位上面,再直接商8或商9。
5742÷58=99,4176÷48=87。
(3)用“商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数,且前三位数字临时组成的数与除数之和,大于或等于除数的10倍时,可以一次定商为“9”。
一般地说,假如被除数为m,除数为n,只有当9n≤m<10n时,n除m的商才是9。
同样地,10n≤m+n<11n。
这就是我们上述做法的根据。
例如4508÷49=92,6480÷72=90。
(4)用差数试商。
当除数是11、12、13…………18和19,被除数前两位又不够除的时候,可以用“差数试商法”,即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。
若差数是1或2,则初商为9;差数是3或4,则初商为8;差数是5或6,则初商为7;差数是7或8,则初商是6;差数是9时,则初商为5。
若不准确,只要调小1就行了。
例如
1476÷18=82(18与14差4,初商为8,经试除,商8正确);
1278÷17=75(17与12的差为5,初商为7,经试除,商7正确)。
为了便于记忆,我们可将它编成下面的口诀:
差一差二商个九,差三差四八当头;
差五差六初商七,差七差八先商六;
差数是九五上阵,试商快速无忧愁。
【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和方法,也是一种重要的解题技巧。
它利用我们学过的知识,去进行有目的的数学变形,常常能使题目很快地获得解答。
例如
(1)1832+68=(1832-32)+(68+32)
=1800+100
=1900
(2)359.7-9.9=(359.7+0.1)-(9.9+O.1)
=359.8-10
=349.8
【拆数加减】在分数加减法运算中,把一个分数拆成两个分数相减或相加,使隐含的数量关系明朗化,并抵消其中的一些分数,往往可大大地简化运算。
(1)拆成两个分数相减。
例如
又如
(2)拆成两个分数相加。
例如
又如
【同分子分数加减】同分子分数的加减法,有以下的计算规律:
分子相同,分母互质的两个分数相加(减)时,它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和(或差)乘以这相同的分子所得的积作分子。
分子相同,分母不是互质数的两个分数相加减,也可按上述规律计算,只是最后需要注意把得数约简为既约(最简)分数。
例如
(注意:
分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。
)
由上面的规律还可以推出,当分子都是1,分母是连续的两个自然数时,这两个分数的差就是这两个分数的积,
根据这一关系,我们也可以简化运算过程。
例如
【先借后还】“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。
例如
做这道题,按先通分后相加的一般办法,势必影响解题速度。
现在从“凑整”着眼,采用“先借后还”的办法,很快就将题目解答出来了。
【个数折半】下面的几种情况下,可以运用“个数折半”的方法,巧妙地计算出题目的得数。
(1)分母相同的所有真分数相加。
求分母相同的所有真分数的和,可采用“个数折半法”,即用这些分数的个数除以2,就能得出结果。
这一方法,也可以叙述为分母相同的所有真分数相加,只要用最后一个分数的分子除以2,就能得出结果。
(2)分母为偶数,分子为奇数的所有同分母的真分数相加,也可用“个数折半法”求得数。
比方
(3)分母相同的所有既约真分数(最简真分数)相加,同样可用“个数折
半法”求得数。
比方
【带分数减法】带分数减法的巧算,可用下面的两个方法。
(1)减数凑整。
例如
(2)交换位置。
例如
在这两种方法中,第
(1)种“凑整”法,也可以运用到带分数的加法中去。
例如
【带分数乘法】有些特殊的带分数相乘,可以采用一些特殊的巧算方法。
(1)相乘的两个带分数整数部分相同,分数部分的和是1,则乘积也是个带分数,它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数,分数部分是两个因数的分数部分的乘积。
例如
(2)相乘的两个带分数整数部分相差1,分数部分和为1,则积也是个带分数,它用较大数的整数部分的平方,减去分数部分的平方,所得的差就是这两个带分数的乘积。
例如
(注:
这是根据“(a+b)(a-b)=a2-b2”推出来的。
)
(3)相乘的两个带分数,整数部分都是1,分子也都是1,分母相差1,则乘积也是个带分数。
这个带分数的整数部分是1,分子是2,分母与较大因数的分母相同。
例如
读者自己去试一试,此处略)。
【两分数相除】有些分数相除,可以采用以下的巧算方法:
(1)分子、分母分别相除。
在个别情况下,分数除法可沿用整数除法的做法:
用分子相除的商作分子,用分母相除的商作分母。
不过,这只有在被除数的分子、分母,分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下,计算才比较简便。
例如
(2)分母相除,一次得商。
在两个带分数相除的算式中,当被除数和除数的整数与分母调换了位置,而它们的分子又相同时,根据分数除法法则,只要用原除数的分母除以被除数的分母,所得的数就是它们的商。
例如
(注:
用除法法则可以推出这种方法,此处略。
)
小数的速算与巧算——凑整
【知识精要】
凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。
用的时候主要看末位。
但是小数计算中“小数点”一定要对齐。
【例题精讲】
<一>凑整法
例1、计算5.6+2.38+4.4+0.62。
【分析】5.6与4.4刚好凑成10,2.38与0.62刚好凑成3,这样先凑整运算起来会更加简便。
【解答】原式=(5.6+4.4)+(2.38+0.62)
=10+3
=13
【评注】凑整,特别是“凑十”、“凑百”等,是加减法速算的重要方法。
例2、计算:
1.999+19.99+199.9+1999。
【分析】因为小数计算起来容易出错。
刚好1999接近整千数2000,其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。
再把多加的那部分减去。
【解答】1.999+19.99+199.9+1999
=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1
=2222-1.111
=2220.889
【评注】所谓的凑整,就是两个或三个数结合相加,刚好凑成整十整百,我们也可以引申为读整法,譬如此题。
“1.999”刚好与“2”相差0.001,因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。
但是,一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。
“多减的”要“加上”!