高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修40814270.docx

高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修40814270.docx

《高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修40814270.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修40814270.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修40814270

4.4　单位圆的对称性与诱导公式

（一）

学习目标

　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.

知识点　2kπ±α，－α，π±α的诱导公式

思考1　设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？

答案　它们的对应关系如表：

相关角

终边之间的对称关系

2kπ＋α与α

终边相同

π＋α与α

关于原点对称

－α与α

关于x轴对称

2π－α与α

关于x轴对称

π－α与α

关于y轴对称

思考2　2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？

试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.

答案　它们交点间对称关系如表：

相关角

终边与单位圆的交点间对称关系

2kπ＋α与α

重合

π＋α与α

关于原点对称

－α与α

关于x轴对称

2π－α与α

关于x轴对称

π－α与α

关于y轴对称

设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα.

梳理　对任意角α，有下列关系式成立：

sin（2kπ＋α）＝sinα，　cos（2kπ＋α）＝cosα（1.8）

sin（－α）＝－sinα，　cos（－α）＝cosα（1.9）

sin（2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα（1.10）

sin（π－α）＝sinα，　cos（π－α）＝－cosα（1.11）

sin（π＋α）＝－sinα，　cos（π＋α）＝－cosα（1.12）

公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.

这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.

1.sin（α－π）＝sinα.（　×　）

提示　sin（α－π）＝sin[－（π－α）]＝－sin（π－α）＝－sinα.

2.cosπ＝－.（　√　）

提示　cos＝cos＝－cos＝－.

3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.（　×　）

提示　在角度制和弧度制下，公式都成立.

类型一　给角求值问题

例1　求下列各三角函数式的值.

（1）cos210°；

（2）sin；（3）sin；（4）cos（－1920°）.

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

解　

（1）cos210°＝cos（180°＋30°）＝－cos30°＝－.

（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝.

（3）sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝.

（4）cos（－1920°）＝cos1920°＝cos（5×360°＋120°）

＝cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－.

反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

（1）“负化正”：

用公式1.9来转化.

（2）“大化小”：

用公式1.8角化为0°到360°间的角.

（3）“角化锐”：

用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角.

（4）“锐求值”：

得到锐角的三角函数后求值.

跟踪训练1　求下列各三角函数式的值.

（1）sin1320°；　

（2）cos.

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

解　

（1）方法一　sin1320°＝sin（3×360°＋240°）

＝sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－.

方法二　sin1320°＝sin（4×360°－120°）＝sin（－120°）＝－sin（180°－60°）＝－sin60°＝－.

（2）方法一　cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.

方法二　cos＝cos＝cos＝－cos＝－.

类型二　给值（式）求值问题

例2　

（1）已知sin（π＋α）＝－0.3，则sin（2π－α）＝.

（2）已知cos＝，则cos＝.

考点　利用诱导公式求值

题点　给值（式）求值问题

答案　

（1）－0.3　

（2）－

解析　

（1）∵sin（π＋α）＝－sinα＝－0.3，∴sinα＝0.3，∴sin（2π－α）＝－sinα＝－0.3.

（2）cos＝cos＝－cos＝－.

反思与感悟　解决给值（式）求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.

跟踪训练2　（2017·大同检测）已知sinβ＝，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）的值为（　　）

A.1B.－1C.D.－

考点　利用诱导公式求值

题点　给值（式）求值问题

答案　D

解析　由cos（α＋β）＝－1，得α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），

则α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β（k∈Z），

sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）＝sin（π＋β）＝－sinβ＝－.

类型三　利用诱导公式化简

例3　化简：

.

考点　利用诱导公式化简

题点　利用诱导公式化简

解　原式＝＝＝1.

引申探究

若本例改为：

（n∈Z），请化简.

解　当n＝2k时，

原式＝＝1；

当n＝2k＋1时，

原式＝＝1.综上，原式＝1.

反思与感悟　利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.

跟踪训练3　化简：

.

考点　利用诱导公式化简

题点　利用诱导公式化简

解　原式＝＝＝1.

1.sin585°的值为（　　）

A.－B.

C.－D.

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

答案　A

解析　sin585°＝sin（360°＋225°）＝sin（180°＋45°）＝－sin45°＝－.

2.cos＋sin的值为（　　）

A.－B.

C.D.

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

答案　C

解析　原式＝cos－sin＝cos－sin＝－cos＋sin＝.

3.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是（　　）

A.cosα＝cosβB.cosα＝－cosβ

C.sinα＝－sinβD.sinα＝cosβ

考点　利用诱导公式化简

题点　利用诱导公式化简

答案　B

4.sin750°＝.

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

答案　

解析　∵sinθ＝sin（k·360°＋θ），k∈Z，

∴sin750°＝sin（2×360°＋30°）＝sin30°＝.

5.化简：

.

考点　利用诱导公式化简

题点　利用诱导公式化简

解　原式＝

＝＝＝1.

1.明确各诱导公式的作用

诱导公式

作用

公式1.8

将角转化为0～2π之间的角求值

公式1.12

将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值

公式1.9

将负角转化为正角求值

公式1.11

将角转化为0～之间的角求值

2.诱导公式的记忆

这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.

一、选择题

1.cos600°的值为（　　）

A.B.C.－D.－

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

答案　D

解析　cos600°＝cos（360°＋240°）＝cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－.

2.sin（－390°）的值为（　　）

A.B.－C.D.－

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

答案　D

解析　sin（－390°）＝sin（－360°－30°）＝sin（－30°）＝－sin30°＝－.

3.下列三角函数中，与sin数值相同的是（　　）

①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin（n∈Z）.

A.①②B.①③④

C.②③⑤D.①③⑤

考点　利用诱导公式化简

题点　利用诱导公式化简

答案　C

4.sin（π－2）－cos（4π－2）化简的结果为（　　）

A.sin2－cos2

B.－1

C.2sin2

D.－2sin2

考点　利用诱导公式化简

题点　利用诱导公式化简

答案　A

解析　原式＝sin2－cos2，所以选A.

5.设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ（k∈Z）.若f（2009）＝5，则f（2015）等于（　　）

A.4B.3C.－5D.5

考点　利用诱导公式求值

题点　利用诱导公式求值

答案　D

解析　∵f（2009）＝－（asinα＋bcosβ）＋4＝5，

∴f（2015）＝－（asinα＋bcosβ）＋4＝5.

6.已知sin＝，则sin的值为（　　）

A.B.－C.D.－

考点　利用诱导公式求值

题点　给值（式）求值问题

答案　C

解析　sin＝sin＝sin＝.

二、填空题

7.＝.

考点　利用诱导公式求值

题点　利用诱导公式求值

答案　－2

解析　原式＝＝

＝＝＝＝－2.

8.已知f（x）＝则f ＋f ＝.

考点　利用诱导公式求值

题点　给角求值问题

答案　－2

解析　f ＝sin＝sin＝，

f ＝f －1＝f －2＝sin－2＝－，

∴f ＋f ＝－＝－2.

9.已知cos（π＋α）＝－，π<α<2π，则sin（α－3π）＋cos（α－π）＝.

考点　利用诱导公式求值

题点　给值（式）求值问题

答案　

解析　∵cos（π＋α）＝－cosα＝－，

∴cosα＝.

又∵π<α<2π，∴<α<2π，

∴sinα＝－.

∴sin（α－3π）＋cos（α－π）＝－sin（3π－α）＋cos（π－α）＝－sin（π－α）＋（－cosα）

＝－sinα－cosα＝－（sinα＋cosα）＝－＝.

10.已知sin（π＋α）＝，则cos（α－2π）的值是.

考点　利用诱导公式求值

题点　给值（式）求值问题

答案　±

解析　由sin（π＋α）＝，得sinα＝－，所以cosα＝±，

所以cos（α－2π）＝cosα＝±.

11.①sincosπ＝；

②sin（－960°）cos1470°－cos（－240°）sin（－210°）＝.

考点　利用诱导公式化简

题点　利用诱导公式化简

答案　①　②1

解析　

（1）sincosπ＝－sincos＝sincos＝.

（2）sin（－960°）cos1470°－cos240°sin（－210°）

＝－sin（180°＋60°＋2×360°）cos（30°＋4×360°）＋cos（180°＋60°）sin（180°＋30°）

＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝1.

三、解答题

12.已知cos＝m（|m|≤1），求cos的值.

考点　利用诱导公式求值

题点　给值（式）求值问题

解　cos＝cos＝－cos＝－m.

13.已知角α终边上一点P（－4，3），

求的值.

考点　利用诱导公式求值

题点　利用诱导公式求值

解　点P到原点O的距离|OP|＝＝5.

根据三角函数的定义得sinα＝，cosα＝－，

＝＝＝＝×＝－.

四、探究与拓展

14.在△ABC中，给出下列四个式子：

①sin（A＋B）＋sinC；

②cos（A＋B）＋cosC；

③sin（2A＋2B）＋sin2C；

④cos（2A＋2B）＋cos2C.

其中为常数的是（　　）

A.①③B.②③C.①④D.②④

答案　B

解析　①sin（A＋B）＋sinC＝2sinC；

②cos（A＋B）＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；

③sin（2A＋2B）＋sin2C＝sin[2（A＋B）]＋sin2C＝sin[2（π－C）]＋sin2C

＝sin（2π－2C）＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0；

④cos（2A＋2B）＋cos2C＝cos[2（A＋B）]＋cos2C＝cos[2（π－C）]＋cos2C

＝cos（2π－2C）＋cos2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2C.

故选B.

15.已知f（α）＝.

（1）化简f（α）；

（2）若α＝－，求f（α）的值.

考点　诱导公式与函数的综合

题点　诱导公式与函数的综合

解　

（1）f（α）＝＝cosα.

（2）∵－＝－6×2π＋，

∴f ＝cos＝cos＝cos＝.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。