高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修40814270.docx

1、高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修408142704.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点2k，的诱导公式思考1设为任意角，则2k，2k，的终边与的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2k与终边相同与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称思考22k，2k，终边和单位圆的交点与的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角与的正弦函数、余弦函数的关系.答案它们交点间对

2、称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2k与重合与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称设角与角终边与单位圆的交点分别为P和P，因为P和P关于x轴对称，所以点P和P的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin()sin ，cos()cos .梳理对任意角，有下列关系式成立：sin(2k)sin ， cos(2k)cos (1.8)sin()sin ， cos()cos (1.9)sin(2)sin ， cos(2)cos (1.10)sin()sin ， cos()cos (1.11)sin()sin ， cos()cos (1.12)公式1.81.12叫作正

3、弦函数、余弦函数的诱导公式.这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.1.sin()sin .()提示sin()sin()sin()sin .2.cos .()提示cos coscos .3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.()提示在角度制和弧度制下，公式都成立.类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值.(1)cos 210；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(1 920).考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解(1)cos 210cos(18030)cos 30.(

4、2)sin sinsin sinsin .(3)sinsinsin sinsin .(4)cos(1 920)cos 1 920cos(5360120)cos 120cos(18060)cos 60.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式1.9来转化.(2)“大化小”：用公式1.8角化为0到360间的角.(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320；(2)cos.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解(1)方法一sin 1 320sin(

5、3360240)sin 240sin(18060)sin 60.方法二sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60.(2)方法一coscos coscoscos .方法二coscoscoscos .类型二给值(式)求值问题例2(1)已知sin()0.3，则sin(2) .(2)已知cos，则cos .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案(1)0.3(2)解析(1)sin()sin 0.3，sin 0.3，sin(2)sin 0.3.(2)coscoscos.反思与感悟解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择

6、诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.跟踪训练2(2017大同检测)已知sin ，cos()1，则sin(2)的值为()A.1 B.1 C. D.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案D解析由cos()1，得2k(kZ)，则2()2k(kZ)，sin(2)sin(2k)sin()sin .类型三利用诱导公式化简例3化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.引申探究若本例改为：(nZ)，请化简.解当n2k时，原式1；当n2k1时，原式1.综上，原式1.反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出

7、值.跟踪训练3化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.1.sin 585的值为()A. B.C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案A解析sin 585sin(360225)sin(18045)sin 45.2.cossin的值为()A. B.C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案C解析原式cos sin cos sin cos sin .3.如果180，那么下列等式中成立的是()A.cos cos B.cos cos C.sin sin D.sin cos 考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案B4.sin 750 .考点利用诱导公式求值题点给角

8、求值问题答案解析sin sin(k360)，kZ，sin 750sin(236030)sin 30.5.化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1.8将角转化为02之间的角求值公式1.12将02内的角转化为0之间的角求值公式1.9将负角转化为正角求值公式1.11将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.一、选择题1.cos 600的值为()A. B

9、. C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析cos 600cos(360240)cos 240cos(18060)cos 60.2.sin(390)的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析sin(390)sin(36030)sin(30)sin 30.3.下列三角函数中，与sin 数值相同的是()sin；cos；sin；cos；sin(nZ).A. B.C. D.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案C4.sin(2)cos(42)化简的结果为()A.sin 2cos 2B.1C.2sin 2D.2sin 2考点利用诱导公式化简题点利

10、用诱导公式化简答案A解析原式sin 2cos 2，所以选A.5.设f(x)asin(x)bcos(x)4，其中a，b，R，且ab0，k(kZ).若f(2 009)5，则f(2 015)等于()A.4 B.3 C.5 D.5考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案D解析f(2 009)(asin bcos )45，f(2 015)(asin bcos )45.6.已知sin，则sin的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案C解析sinsinsin.二、填空题7. .考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案 2解析原式2.8.已知f(x)则ff .考点

11、利用诱导公式求值题点给角求值问题答案2解析fsinsin ，ff1f2sin2，ff2.9.已知cos()，2，则sin(3)cos() .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案解析cos()cos ，cos .又2，2，sin .sin(3)cos()sin(3)cos()sin()(cos )sin cos (sin cos ).10.已知sin()，则cos(2)的值是 .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案解析由sin()，得sin ，所以cos ，所以cos(2)cos .11.sincos ；sin(960)cos 1 470cos(240)sin(210) .考

12、点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案1解析(1)sincos sincossin cos .(2)sin(960)cos 1 470cos 240sin(210)sin(180602360)cos(304360)cos(18060)sin(18030)sin 60cos 30cos 60sin 301.三、解答题12.已知cosm(|m|1)，求cos的值.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题解coscoscosm.13.已知角终边上一点P(4，3)，求的值.考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值解点P到原点O的距离|OP|5.根据三角函数的定义得sin ，cos ，.四、探究与

13、拓展14.在ABC中，给出下列四个式子：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；sin(2A2B)sin 2C；cos(2A2B)cos 2C.其中为常数的是()A. B. C. D.答案B解析sin(AB)sin C2sin C；cos(AB)cos Ccos Ccos C0；sin(2A2B)sin 2Csin2(AB)sin 2Csin2(C)sin 2Csin(22C)sin 2Csin 2Csin 2C0；cos(2A2B)cos 2Ccos2(AB)cos 2Ccos2(C)cos 2Ccos(22C)cos 2Ccos 2Ccos 2C2cos 2C.故选B.15.已

14、知f().(1)化简f()；(2)若，求f()的值.考点诱导公式与函数的综合题点诱导公式与函数的综合解(1)f()cos .(2)62，fcoscos cos .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，

15、花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那

16、它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？ 朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。