八年级数学勾股定理人教实验版知识精讲.docx

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八年级数学勾股定理人教实验版知识精讲

初二数学勾股定理人教实验版

【本讲教育信息】

一、教学内容：

勾股定理

1.掌握勾股定理，了解用拼图的方法验证勾股定理．

2.能够利用勾股定理进行有关的计算或推理．

3.能够运用勾股定理解决简单的实际问题．

二、知识要点：

1.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝__________，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是__________．

证法一（拼图法）：

如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2；中间小正方形的面积为c2，周围四个直角三角形的面积为4×ab；于是有（a＋b）2＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2．

证法二（拼图法）：

如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2．又因为此正方形的边长与图

（1）中的正方形边长相等，所以它们的面积也相等．故a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab，所以得到a2＋b2＝c2．

证法三（拼图法）：

如图所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的，由梯形的面积公式，得S梯形＝（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2．而S梯形＝ab×2＋c2．故（a＋b）2＝ab＋c2，整理得a2＋b2＝c2．

证法四（拼图法）：

如图所示，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的．因为大正方形的面积为c2，四个直角三角形的面积和为4×ab，中间的小正方形的面积为（b－a）2，故c2＝4×ab＋（b－a）2，整理得a2＋b2＝c2．

2.怎样用勾股定理解决面积问题

求分别以直角三角形的三条边为边长的正方形的面积之间的关系，关键是找出正方形的面积与三角形的边之间的关系．

如图

（1）所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之间的关系．因为△ABC为直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2，而S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，故S1＝S2＋S3，图

（2）中S1、S2、S3之间的关系也可以用以上方法得到．

3.立体图形中的最短路径问题

（1）圆柱中的最短路径．

如图①所示，圆柱的底面周长为20cm，高为4，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试画出蚂蚁爬行的最短路径．

因为爬行是在立体图形的表面上进行的，所以可以把立体图形转化成平面图形，即它的侧面展开图（如图②所示），再看出发点与目的点之间是哪条线段，需要时可根据勾股定理求出这条线段的长度．

（2）正方体中的最短路径．

如图③中的正方体，棱长为1，若一只小虫从点A爬到点C，它爬行的最短路径是多少？

将正方体展开后（如图④所示），因为从点C出发有三条棱，故点C有三处位置，即点C1、C2、C3，分别连结AC1、AC2、AC3，可得它们的长度都是，故这只小虫爬行的最短路径为．

注意：

当图③中的立体图形为长方体时，也是用同样的方法进行分情况比较，但沿这些不同路径，所走路程可能会不同．

三、重点难点：

重点是掌握勾股定理的内容，难点是勾股定理的应用．

【典型例题】

例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，a＝4，求b、c，△ABC的面积及斜边AB上的高．

分析：

在Rt△ABC中，由∠B＝60°可知∠A＝30°，根据30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可求出c，然后根据勾股定理求出B.进一步用面积公式S△ABC＝ab，求出S△ABC，最后由ab＝c·CD，求CD的长或者是在Rt△ACD中，用30°的锐角所对的直角边CD等于斜边AC的一半来求．

解：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°．

又因为a＝4，所以c＝8．

根据勾股定理得b2＝c2－a2＝82－42＝48，

所以b＝＝4．

所以S△ABC＝ab＝×4×4＝8．

在Rt△ACD中，因为∠A＝30°，所以CD＝AC，

所以CD＝×4＝2．

评析：

直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半．

例2.一个零件的形状如图所示，已知AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm．求CD的长．

分析：

要求CD的长，由图知CD2＝BC2＋BD2，BD的长已知，在Rt△ABC中，应用勾股定理，求得BC，进而求CD.

解：

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得

BC2＝AC2＋AB2＝32＋42＝25．

在Rt△CBD中，根据勾股定理，得

CD2＝BC2＋BD2＝25＋122＝169，

所以CD＝13．

评析：

BC在本图中，既是Rt△ABC的斜边，又是Rt△CBD的直角边．

例3.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．

分析：

由勾股定理，得正方形A、B的面积之和是正方形E的面积，而正方形C、D的面积之和是正方形F的面积．同理，正方形E、F的面积之和是正方形G的面积．所以这四个正方形的面积之和是大正方形G的面积49cm2．

解：

49cm2

评析：

运用勾股定理解决分别以直角三角形的三边为边长向外作的正方形的面积问题时，要分清是两个小正方形的面积和等于大正方形的面积．

例4.如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处，…．如此下去．

（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：

_____________．

（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离．

分析：

第一次跳动后点M的坐标是（－2，0），第二次跳动后点N的坐标是（4，4），第三次跳动后的坐标为（0，－2），第四次跳动后的坐标为（－2，0），…．每隔3次跳动后位置便重复出现，2008÷3＝669……1．所以第2008次跳动后的坐标和第一次跳动后点M的坐标相同，为（－2，0）．在Rt△OPM中，OP＝2，OM＝2，所以PM＝＝2．

解：

（1）M（－2，0），N（4，4）（画图略）

（2）棋子跳动3次后又回到点P处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M处，

所以PM＝＝＝2，

即经过第2008次跳动后，棋子落点与P点的距离为2．

例5.

（1）为修通铁路需凿通隧道AC（如图所示），工程人员为保证工程质量，测得∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5km，BC＝4km，若每天凿通0.3km．__________天才能把隧道凿通．

（2）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中（如图所示），设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是__________．

分析：

（1）由∠A＝40°，∠B＝50°知∠C＝90°，根据勾股定理可求得AC长．问题即可解决．由∠A＝40°，∠B＝50°得∠C＝90°，AB＝5km，BC＝4km，得AC2＝AB2－BC2＝52－42＝32．所以AC＝3（km）．3÷0.3＝10（天）．所以10天就能把隧道凿通．

（2）当筷子最大限度斜放时，露在杯子外面的长h最小，此时筷子在杯内的部分、底面直径和高构成一直角三角形，根据勾股定理得筷子在杯子内部的长度为13cm，此时h＝24－13＝11（cm）筷子露在外面的长h的最大值为24－12＝12cm，所以11≤h≤12．

解：

（1）10

（2）11≤h≤12

例6.如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有两个村庄B、C，现要在两个村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，问此公路是否会穿过该森林公园？

试加以说明．

分析：

过点A作△ABC的高，如图所示，先求出AD的长，只要AD的长小于400m，此公路就穿过该森林公园，否则就不穿过．

解：

在△ABC中，因为∠ABC＝60°，∠ACB＝30°

所以△ABC为直角三角形且AB＝BC＝500m．

由勾股定理，得5002＋AC2＝10002，所以AC＝500m．

再根据面积相等，得×500×500＝×1000·AD，

解得AD＝250．

因为AD≈425＞400，所以该公路不会穿过该森林公园．

评析：

要根据题意，构造出直角三角形，然后再找已知量和隐含量，利用勾股定理求解．

【方法总结】

1.勾股定理提示了直角三角形三边之间的关系，即知道了直角三角形任意两边的长度，应用勾股定理就可以计算出第三边．

2.用勾股定理计算线段的长，是其一个重要应用，在没有直角三角形时，要善于构造直角三角形．

3.面积证题法是本节的主要数学方法，利用面积相等关系可得到方程．

4.利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是利用转化的思想将实际问题构造成直角三角形模型，再利用勾股定理或列方程的方法解决．

【模拟试题】（答题时间：

70分钟）

一.选择题

1.等腰三角形的腰长为10，底边上的高为8，则底边长为（）

A.6B.12C.36D.144

2.若线段a、b、c能构成直角三角形，那么它们的比可能是（）

A.1∶2∶3B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.∶1∶

3.直角三角形的两直角边长分别为5、12，则它斜边上的高为（）

A.6B.8.5C.D.

*4.直角三角形一直角边长为11，另两边长均为自然数，则其周长为（）

A.121B.120C.132D.以上都不对

5.直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm，则它的面积为（）

A.12cm2B.6cm2C.8cm2D.9cm2

*6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红与小颖家的距离为（）

A.600米B.800米C.1000米D.不能确定

**7.图①是一个边长为（m＋n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）

A.（m＋n）2－（m－n）2＝4mnB.（m＋n）2－（m2＋n2）＝2mn

C.（m－n）2＋2mn＝m2＋n2D.（m＋n）（m－n）＝m2－n2

①②

二.填空题

1.分别以直角三角形的三边为边长向形外画正方形，如图中所示的正方形A的面积为__________，B的面积为__________．

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、C.

（1）若a＝3cm，b＝4cm，则c＝__________，

（2）若a＝8cm，c＝17cm，则b＝__________，

（3）若b＝24cm，c＝25cm，则a＝__________．

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝8，b＝7，则a＝__________．

4.若一直角三角形的三边长是三个连续整数，那么这三边长分别为__________．

5.如图所示，要从电线杆离地面8米处拉一条10米长的缆绳，则地面固定点A到电线杆底部B的距离是__________．

*6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（－1，6）．若点C与点A关于y轴对称，则点B与点C之间的距离为__________．

7.如图所示，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为__________．

**8.长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__________cm．

*9.如图①所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________．

**10.如图所示，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米．则小猫在木板上爬动了__________米．

三.解答题

1.如图所示，要测量隔湖两点A、B的距离，从与BA成直角的BC方向上的C点处测得CA＝61m，CB＝11m，求AB的距离．

2.如图所示，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求AB的长．

3.如图所示，正方形ABCD的对角线AC＝6，求它的面积．

**4.八年级

（1）班学生准备测量学校人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米远的水底，测得竹竿露出水面的部分为1尺，把竹竿的顶端拉到湖边（底端不动），竿顶正好与水面齐平，求湖水的深度和竹竿的长．

【试题答案】

一.选择题

1.B2.C3.D4.C5.B6.C7.B

二.填空题

1.25，2562.

（1）5cm

（2）15cm（3）7cm3.44.3，4，55.6米6.37.2

8.9.7610.2.5

三.解答题

1.60m

2.在Rt△ADC中，AC＝13，AD＝12，求得CD＝5．又因为BC＝14，所以BD＝9．在Rt△ABD中，AB＝＝15．

3.在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，因为AB＝BC，所以2AB2＝AC2，所以AB2＝18，所以正方形ABCD的面积是18．

4.设竹竿的长度为x尺，则（x－1）2＋32＝x2，解得x＝5，则x－1＝4（尺），所以湖水的深度是4尺，竹竿的长度是5尺．