二次函数取值范围.docx

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二次函数取值范围

专题十一：

二次函数之取值范围

坐标相关的取值范围

例题1：

如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y轴交于点N，求PM+MN的最大值；

（3）点D为抛物线对称轴上一点，

①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；

②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

例题2：

A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2

交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）

1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；

2）若a<0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；

3）当B，C重合时，求的值；

4）当a>0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．

练习1.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，

N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出M点横坐标的变化范围，并说明理由．

练习2.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线解析式；

（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP＝S△CAP，求P点坐标；

（3）已知直线l：

y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．

角度相关取值范围例题1：

已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，25）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点

D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．

2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；

3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α>β时，直接写出k的取值范围．

练习1.已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A

（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a

1求点D的坐标及该抛物线的解析式；

2连结CD，问：

在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？

若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

动点相关的取值范围例题1：

已知二次函数?

?

=2?

++?

?

?

的图像如图，顶点坐标D为（3，

4√3）。

它与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于C点，且

AB的长为12.动点P从A点出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度向点B

（2）当△PDB为等腰三角形时，求t的值；

（3）若动点Q与P同时从A点出发，点Q沿折线AC-CD-DB运动，在AC，CD，DB上运动的速度分别为3，√3，2（个单位长度/秒）﹒当P，Q中的一点到达B点时，两点同时停止运动．连结PQ.

①当PQ的中点恰好落在y轴上时，求t的值；

②在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线与线段BD有交点时，请直接写出t的取值范围.

练习1.如图抛物线y=-（x-1）2+c与x轴交于点A、B（点A、B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C,顶点为D，已知点A（-1,0）.

（1）求点B、C的坐标；

（2）判断△CDB的形状，并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位（0

面积相关的取值范围例题1：

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a>0，b<0，c<0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1

（1）若A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），回答下列问题：

1请写出二次函数的解析式，②请判断△ABC的形状：

（2）如果△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°

①问：

ac是定值吗？

如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；

2若点D在△ABC外接圆⊙M上，AB＝3，试确定a，b，c的值；

3已点P（2，﹣c﹣4）关于原点的对称点Q在二次函数的图象上，记以E、F、O三点为顶点的三角形面积为s，求s的取值范围．

例题2：

已知二次函数y＝ax2+bx+c，点P（x0，y0）为此抛物线上的一点，若函

数y＝mx+n满足以下两个条件：

（I）m＝2ax0+b；（Ⅱ）函数y＝mx+n的图象经过点P（x0，y0）；我们就称函数y＝mx+n为二次函数y＝ax2+bx+c上关于P（x0，y0）的“锦鲤函数”．

（1）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，点P（2，y0）为此抛物线上一点，求二次函数y＝x2﹣2x+3关于点P（2，y0）的“锦鲤函数”解析式；

（2）若P（x0，y0）为二次函数y＝ax2+bx+c任意一点，函数y＝mx+n为二次函数y＝ax2+bx+c上关于P（x0，y0）的“锦鲤函数”，请判断函数y＝mx+n与二次函数y＝ax2+bx+c图象交点个数，请说明理由；

（3）已知P（k，y0）为抛物线上y＝x2+（k2+1）x+（k2﹣2k+2）上的一点，若常数k满足6k2﹣5k+1≤0，求二次函数y＝x2+（k2+1）x+（k2﹣2k+2）上关于P（k，y0）的“锦鲤函数”图象与坐标轴所围成三角形面积s的取值范围．

练习1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．P为该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求△OPP的'面积；（3）连结AP，BP，设△APB的面积为S，当﹣2≤m≤2时，求S的取值范围；

（4）若二次函数的自变量x的取值范围是m≤x≤m+1，且最大值为，直接写出m的值．

练习2.对于二次函数给出如下定义：

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y

＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y＝ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y＝ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．

（1）如图，直接写出二次函数y＝（x+1）2﹣2的关联正方形OPMN顶点N的坐标，并验证点N是否为伴随点（填“是“或“否“）：

（2）当二次函数y＝﹣x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：

①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：

②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y＝﹣x2+4x+c解析式；

3关联正方形OPMN被二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面

积分别为S1与S2，若S1≤S2，请直接写出c的取值范围．