精选届高考数学北师大版一轮复习讲义第3讲全称量词与存在量词逻辑联结词.docx
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精选届高考数学北师大版一轮复习讲义第3讲全称量词与存在量词逻辑联结词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．
（2）常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题叫全称命题．
（2）含有存在量词的命题叫特称命题．
3．命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）p或q的否定：
非p且非q；p且q的否定：
非p或非q.4．简单的逻辑联结词
（1）命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．
（2）简单复合命题的真值表：
p
q
綈p
綈q
p或q
p且q
真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
知识拓展
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
（1）p或q：
p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．
（2）p且q：
p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．
（3）綈p：
与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题的否定和否命题的区别：
命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）命题“3≥2”是真命题．（√）
（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（√）
（3）若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．（√）
（4）“全等三角形的面积相等”是特称命题．（×）
（5）命题綈（p且q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．（×）
题组二教材改编
2．已知p：
2是偶数，q：
2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
答案B
解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．
3．命题“正方形都是矩形”的否定是．
答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形
p真q假，从而綈p为假，故
3x＋11的值域为（0,1），则下列
题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件答案A解析由綈p为真知，p为假，可得p且q为假；反之，若p且q为假，则可能是
綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，故选A.
5．下列命题中，为真命题的是
2
A．任意x∈R，－x2－1<0
B．存在x∈R，x2＋x＝－1
21
C．任意x∈R，x2－x＋>0
4
2
D．存在x∈R，x2＋2x＋2<0答案A
6．若“任意x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为答案1解析∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，
π
∴ymax＝tan＝1.
4
依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p：
函数y＝log2（x2－2x）的单调增区间是[1，＋∞），命题q：
函数y命题是真命题的为（）
A．p且qB．p或q
C．p且（綈q）D．綈q
答案B
解析函数y＝log2（x2－2x）的递增区间是（2，＋∞），所以命题p为假命题．
x1
由3x>0，得0<3x＋1<1，
3＋1
故命题q为真命题．
所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且（綈q）为假命题，綈q为假命题．故选B.
22
2．（2017·山东）已知命题p：
任意x>0，ln（x＋1）>0；命题q：
若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是（）
A．p且q
B．p且（綈q）
C．（綈p）且q
D．（綈p）且（綈q）
答案B
解析∵x>0，∴x＋1>1，∴
ln（x＋1）>ln1＝0.
∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．
22
∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，
此时a2∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．
∴p且q为假命题，p且（綈q）为真命题，（綈p）且q为假命题，（綈p）且（綈q）为假命题．故选B.
3．已知命题p：
若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：
在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④（綈p）或（綈q）为假．
其中，正确的是．（填序号）
答案②
解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题p，q的真假；
（3）确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假．
题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假
）下列命题中的假命题是（）
2
B．任意x∈N＋，（x－1）2>0
解析
答案
当x∈N＋时，x－1∈N，可得（x－1）2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故
选B.
典例
（1）命题“任意x∈R，13x>0”的否定是（）
3
C．任意x∈R，<0D．存在x∈R，≤0
33
答案D
解析全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．
（2）（2017·河北五个一名校联考）命题“存在x∈R,1A．任意x∈R,1B．存在x∈R,1C．存在x∈R，f（x）≤1或f（x）>2
D．任意x∈R，f（x）≤1或f（x）>2
答案D
解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x∈R，f（x）≤1或f（x）>2”．
思维升华
（1）判定全称命题“任意x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立．
（2）对全（特）称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练
（1）下列命题中的真命题是（）
3
A．存在x∈R，使得sinx＋cosx＝2
B．任意x∈（0，＋∞），ex>x＋1
C．存在x∈（－∞，0），2x<3x
D．任意x∈（0，π），sinx>cosx答案B
解析∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2<23，故A错误；设f（x）＝ex－x－1，则f′（x）＝ex－1，
∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，又f（0）＝0，
∴任意x∈（0，＋∞），f（x）>0，
即ex>x＋1，故B正确；
当x<0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；∵当x∈0，4时，sinx（2）（2017·福州质检）已知命题p：
“存在x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为（）
A．存在x∈R，e－x－1≥0
B．存在x∈R，ex－x－1>0
C．任意x∈R，ex－x－1>0
D．任意x∈R，ex－x－1≥0答案C
解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“任意x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
题型三含参命题中参数的取值范围
典例
（1）已知命题p：
关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：
关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是．
答案[－12，－4]∪[4，＋∞）
解析若命题p是真命题，则Δ＝a－16≥0，
即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，
a
则－4≤3，即a≥－12.
∵p且q是真命题，∴p，q均为真，∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞）．
（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝x－m，若对任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m
2
的取值范围是．
答案14，＋∞
解析当x∈[0,3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1,2]时，
1
g（x）min＝g
（2）＝4－m，由f（x）min≥g（x）min，
11
得0≥－m，所以m≥.
44
引申探究
解析
本例
（2）中，若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是
1
∴m≥2.
思维升华
（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
（2）对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决．
21
跟踪训练
（1）已知命题“存在x∈R，使2x2＋（a－1）x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）
A．（－∞，－1）B．（－1,3）
C．（－3，＋∞）D．（－3,1）
答案B
2121
解析原命题的否定为任意x∈R,2x＋（a－1）x＋2>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝（a－1）－4×2×2<0，
则－222
（2）已知p：
存在x∈R，mx2＋1≤0，q：
任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，＋∞）B．（－∞，－2]
C．（－∞，－2]∪[2，＋∞）D．[－2,2]
答案A
解析依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.
因此由p，q均为假命题，
m≥0，
得即m≥2.
m≤－2或m≥2，
常用逻辑用语
考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．
一、命题的真假判断典例
（1）（2017·佛山模拟）已知a，b都是实数，那么“a>b”是“lna>lnb”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
（2）（2018届全国名校大联考命题的是（）
）已知命题p：
任意x∈R，3x<5x；命题q：
存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真
A．p且qC．p且（綈q）
B．（綈p）且q
D．（綈p）且（綈q）
解析
（1）由lna>lnb?
a>b>0?
a>b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a>b，但lnb无意义，所以lna>lnb不成立，故充分性不成立．
（2）若x＝0，则3＝5＝1，∴p是假命题，
∵方程x＝1－x有解，∴q是真命题，
∴（綈p）且q是真命题．
答案
（1）B
（2）B
二、充要条件的判断
典例
（1）（2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考＋1）≤0}”，则下列说法正确的是（）
A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，又不是乙的必要条件
222
（2）（2017·湖北七市联考）已知圆C：
（x－1）2＋y2＝r2（r>0）．设p：
0圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
x2＋x
解析
（1）≥0等价于x（x＋1）（x－1）≥0且x≠1，
x－1
解得－1≤x≤0或x>1.
1
由log3（2x＋1）≤0，得0<2x＋1≤1，得－2∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.
222|1－3×0＋3|
（2）圆C：
（x－1）2＋y2＝r2的圆心（1,0）到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2＝2.当r∈（0,1）时，直
线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈（1,2）时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈（2,3）时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈（0,3）时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0答案
（1）B
（2）C
三、求参数的取值范围典例
（1）已知命题p：
任意x∈[0,1]，a≥ex，命题q：
存在x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．
4x1
（2）已知函数f（x）＝x＋x，g（x）＝2x＋a，若任意x1∈2，3，存在x2∈[2,3]使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是．
（2）∵x∈12，3，a，依题意知f（x）答案
（1）[e,4]
解析
（1）命题“p且q”是真命题，p和q均是真命题．当p是真命题时，a≥（ex）max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4，所以a∈[e,4]．
∴f（x）≥2x·x4＝4，当且仅当x＝2时，f（x）min＝4，当x∈[2,3]时，g（x）min＝22＋a＝4＋
min≥g（x）min，即4≥a＋4，∴a≤0.
（2）（－∞，0]
1．已知命题p：
“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：
“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真
C．p真q假D．p或q为假
答案D
解析∵p假，q假，∴p或q为假．
2．设命题p：
函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：
函数y＝cosx的图像关于直线x＝π2对称，则下列判断正确的是（）
A．p为真B．綈q为假
C．p且q为假D．p或q为真
答案C
2ππ
解析函数y＝sin2x的最小正周期为22＝π，故命题p为假命题；x＝π2不是y＝cosx的对称轴，故命题q为假命题，故p且q为假．故选C.
3．（2017·唐山一模）已知命题p：
存在x∈N，x3任意a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝loga（x－1）的图像过点（2,0），则下列判断正确的是（）
D．p真q真
C．p假q假答案A
解析对任意x∈N，x3≥x2，∴p假，又当x＝2时，f
（2）＝loga1＝0，
∴f（x）的图像过点（2,0），∴q真．
题为真的是（）
存在
x∈（2，＋∞），使得2x＝x2成立，故命题q为假命题，所以p且（綈q）为真命题，故选A.
2
6．已知命题p：
存在α∈R，cos（π－α）＝cosα；命题q：
任意x∈R，x＋1>0，则下列结论正确的是（）
答案A
π
解析对于p：
取α＝2，则cos（π－α）＝cosα，所以命题p是真命题；
对于命题q：
因为x2≥0，所以x2＋1>0，所以q是真命题．由此可得p且q是真命题．
7．下列命题中，真命题是（）
A．存在x∈R，ex≤0
B．任意x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是ba＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件答案D
解析因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为当x＝－5时，2－5<（－5）2，所以B不正确；
a
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；
b
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
8．命题p：
任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是（）
A．（0,4]B．[0,4]
C．（－∞，0]∪[4，＋∞）D．（－∞，0）∪（4，＋∞）
答案D
解析因为命题p：
任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
2
所以綈p：
存在x∈R，ax2＋ax＋1<0，
a>0，
则a<0或2解得a<0或a>4.
Δ＝a2－4a>0，
9．命题“存在n∈N，n2>2n”的否定是．
答案任意n∈N，n2≤2n
10．已知函数f（x）的定义域为（a，b），若“存在x∈（a，b），f（x）＋f（－x）≠0”是假命题，则f（a＋b）＝.
答案0
解析若“存在x∈（a，b），f（x）＋f（－x）≠0”是假命题，则“任意x∈（a，b），f（x）＋f（－x）＝0”是真命题，即f（－x）＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，则a＋b＝0，即f（a＋b）＝f（0）＝0.
11．以下四个命题：
22222
1任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为．
答案0
22
解析∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝（－3）2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题；
当且仅当x＝±2时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x＝2，∴②为假命题；对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．
故真命题的个数为0.
12．已知命题“任意x∈R，x2－5x＋125a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是．
答案56，＋∞
13．已知命题p：
－4（x－2）（3－x）>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．
答案[－1,6]解析p：
－4（x－2）（3－x）>0等价于2又綈p是綈q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
14．下列结论：
1若命题p：
存在x∈R，tanx＝1；命题q：
任意x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且（綈q）”是假命题；
a
2已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是b＝－3；
3命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为．
答案①③
解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p且（綈q）为假命题，故①正确；
2当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
3正确，所以正确结论的序号为①③
15．已知命题p：
存在x∈R，ex－mx＝0，命题q：
任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p或（綈q）为假命题，则实数m
的取值范围是答案[0,2]解析若p或（綈q）为假命题，则p假q真．
x
由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，
x
x
设f（x）
e
x，x≠0，则
x
当x>1
时，f′（x）>0，函数f（x）＝ex在（1，＋∞）上是递增函数；当0x
xe在（0,1）和（－∞，0）上是递减函数，所以当x＝1时，函数取得极小值f
（1）＝e，所以函数f（x）＝x的值域是（－x
∞，0）∪[e，＋∞），由p是假命题，可得0≤m所以当p或（綈q）为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
2
x－x＋1x
16．已知函数f（x）＝（x≥2），g（x）＝a
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