江苏省南通市高三二模数学试题及答案.docx

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江苏省南通市高三二模数学试题及答案

南通市2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议

数学I

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．

1.在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为▲．

【答案】（1，4）

2.设集合，则▲．

【答案】

3.设复数z知足|z|=|z－1|=1，则复数z的实部为▲．

【答案】

4.设f（x）是概念在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝x+ex（e为自然对数的底数），则的值为▲．

【答案】

5.某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时刻（单位：

分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练

时刻的十位数，右列表示训练时刻的个位数，则该运动员这7天的平均训练时刻为▲分钟．

【答案】72

6.按照如图所示的伪代码，最后输出的S的值为▲．

【答案】145

7.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线共核心，且通过点，则该椭圆的离心率为▲．

【答案】

8.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为▲cm．

【答案】

9.将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的

倍（纵坐标维持不变），得函数的图象，则的一个解析式为▲．

【答案】

10.函数的所有零点之和为▲．

【答案】4

11.设，且．则的值为▲．

【答案】

12.设数列{an}知足：

，则a1的值大于20的概率为▲．

【答案】

13.设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是▲．

【答案】9

14.在平面直角坐标系xOy中，设，B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为▲．

【答案】2

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．

（1）若AB，求△ABC的另外两条边长；

（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．

【解】

（1）设△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，

于是，所以bc=4．……………………………3分

因为，所以．

由余弦定理得．……6分

（2）由得，即，解得或4．………8分

设BC的中点为D，则，

因为O为△ABC的外心，所以，

于是．……12分

所以当时，，；

当时，，．…………14分

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，平面平面，BC划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建

造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑

费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为

5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.

（每平方米平均综合费用＝）．

（1）求k的值；

（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？

现在每平方米

的平均综合费用为多少元？

【解】

（1）若是每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为

［（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）］×1 000×10，所以，…………3分

1 270＝，

解之得：

k＝50．………………6分

（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f（n），由题设可知

f（n）＝

＝+25n+825≥2+825＝1225（元）.………………10分

当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．…………………………12分

答：

该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，现在每平方米平均综合费用为1225元．

………14分

18.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝（m－3）x3+9x.

（1）若函数f（x）在区间（－∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；

（2）若函数f（x）在区间［1，2］上的最大值为4，求m的值．

【解】

（1）因为（0）＝9>0，所以f（x）在区间上只能是单调增函数．…3分

由（x）＝3（m－3）x2+9≥0在区间（－∞，+∞）上恒成立，所以m≥3．

故m的取值范围是［3，+∞）．……………6分

（2）当m≥3时，f（x）在［1，2］上是增函数，所以[f（x）]max＝f

（2）＝8（m－3）＋18＝4,

解得m＝<3，不合题意，舍去．…………………………8分

当m＜3时，（x）＝3（m－3）x2+9=0，得．

所以f（x）的单调区间为：

单调减，单调增，单调减．

……………………………………10分

①当，即时，，所以f（x）在区间［1，2］上单调增，

[f（x）]max＝f

（2）＝8（m－3）＋18＝4，m＝，不知足题设要求．

②当，即0＜m＜时，[f（x）]max舍去．

③当，即m≤0时，则，所以f（x）在区间［1，2］上单调减，

[f（x）]max＝f

（1）＝m+6＝4，m＝－2.

综上所述：

m＝－2．…………………………16分

19．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：

x2+y2＝r2和直线l：

x＝a（其中r和a均为常数，且0

M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点别离为P、Q．

（1）若r＝2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；

（2）求证：

直线PQ过定点，并求定点的坐标．

【解】

（1）当r＝2，M（4，2），则A1（－2，0），A2（2，0）.

直线MA1的方程：

x－3y+2=0，解得．………………2分

直线MA2的方程：

x－y－2=0，解得．………………4分

由两点式，得直线PQ方程为：

2x－y－2=0．………………………6分

（2）证法一：

由题设得A1（－r，0），A2（r，0）.设M（a，t），

直线MA1的方程是：

y=（x+r），直线MA1的方程是：

y=（x－r）．…………8分

解得．………………10分

解得．…………12分

于是直线PQ的斜率kPQ＝，

直线PQ的方程为．……14分

上式中令y=0，得x＝，是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点．…16分

证法二：

由题设得A1（－r，0），A2（r，0）.设M（a，t），

直线MA1的方程是：

y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．

直线MA2的方程是：

y=（x－r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．

则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线［（a+r）y－t（x+r）］［（a－r）y－t（x－r）］=0上，…10分

化简得（a2－r2）y2－2ty（ax－r2）+t2（x2－r2）＝0．①

又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：

x2+y2－r2＝0．②

－t2×②得（a2－r2）y2－2ty（ax－r2）－t2（x2－r2）－t2（x2+y2－r2）＝0，

化简得：

（a2－r2）y－2t（ax－r2）－t2y＝0．

所以直线PQ的方程为（a2－r2）y－2t（ax－r2）-t2y＝0．③…………14分

在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…………16分

20．（本小题满分16分）

设无穷数列知足：

，，.记.

（1）若，求证：

=2，并求的值；

（2）若是公差为1的等差数列，问是不是为等差数列，证明你的结论．

【解】

（1）因为，所以若，则矛盾，

若，可得矛盾，所以．……………4分

于是，从而．…………7分

（2）是公差为1的等差数列，证明如下：

……………………9分

时，，所以，

，……………………13分

即，由题设，，又，

所以，即是等差数列．……………………………16分

数学II（附加题）

21.（选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题当选做2小题.每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．

A.选修4－1：

几何证明选讲

如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，

过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交

于点.

求证：

.

【证明】连结OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

所以∠OFC+∠CFD=90°．

因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．

因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．……………5分

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．

因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．所以DE2=DB·DA．………10分

B.选修4－2：

矩阵与变换

设曲线在矩阵对应的变换作用下取得的曲线为，求矩阵M的逆矩阵．

【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,

由,得

因为在圆上,所以，化简可得．

……3分

依题意可得，或而由可得．………6分

故,．……………………………………10分

C.选修4－4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标中,已知圆,圆．

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，别离求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；

（2）求圆的公共弦的参数方程．

【解】

（1）圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，

由得，故圆交点坐标为圆．…………………5分

（2）由

（1）得，圆交点直角坐标为，

故圆的公共弦的参数方程为………………………………………10分

注：

第

（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第

（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．

D．选修4－5：

不等式选讲

设正数a，b，c知足，求的最小值．

【解】因为a，b，c均为正数，且，所以．

于是

，

当且仅当时，等号成立．………………………8分

即，故的最小值为1．…………10分

22.必做题,本小题10分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．

如图，在三棱柱中，，，且．

（1）求棱与BC所成的角的大小；

（2）在棱上肯定一点P，使二面角的平面角的余弦值为．

【解】

（1）如图，以A为原点成立空间直角坐标系，

则，

，．

，

故与棱BC所成的角是．…………4分

（2）P为棱中点，

设，则．

设平面的法向量为n1，，

则

故n1……………………………………………8分

而平面的法向量是n2=（1，0，0），则，

解得，即P为棱中点，其坐标为………………………………………………10分

23．必做题,本小题10分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．

设b>0，函数，记（是函数的导函数），且当x=1时，取得极小值2．

（1）求函数的单调增区间；

（2）证明．

【解】

（1）由题．

于是，若，则，与有极小值矛盾，所以．

令，并考虑到，知仅当时，取得极小值．

所以解得．………………………………………4分

故，由，得，所以的单调增区间为．

（2）因为，所以记

因为，

所以，故．………10分

南通市2013届高三第二次调研测试

数学Ⅰ讲评建议

第1题考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义.＝－＝（1,4）.

第2题考查集合的运算，一元二次不