中考数学压轴题之初中数学专题.docx

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中考数学压轴题之初中数学专题

中考数学压轴题专题复习

1.（20XX年四川省宜宾市）

已知:

如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.求该抛物线的解析式；

（1）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；

（2）△AOB与△BDE是否相似？

如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

b4acb2

（注：

抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为2a,4a2）

2.（08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所

示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，23），C（0，23），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S；

（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

（3）S存在最大值吗？

若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.

-1-

3.（08浙江温州）如图，在Rt△ABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

4.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O3

5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=BD图2

B图1

x（k>0）与直线y=k′x交于A，B两点，点A在

第一象限.试解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（4，2）.则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；

-2-

（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k

x（k>0）于P，Q两点，点P在第一

象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?

可能是正方形吗?

若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.

6.（2008浙江金华）如图1

，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于

请说明理由.34，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，

7.（2008浙江义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

-3-

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（ab，

k0），第

（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？

若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第

（2）题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=1

2，求BE2DG2的值．

8.（2008浙江义乌）如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积

（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

②当2t4时，求S关于t的函数解析式；

（2）在第

（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在

直线上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?

若存在，请直接写出所有满．．AB．．

足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．

-4-

9.（2008山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围

210.（2008山东烟台）如图，抛物线L1:

yx2x3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.

抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点.

（1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形

是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

-5-

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称

点Q是否在抛物线L2上，请说明理由

11.2008淅江宁波）20XX年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．

（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与

（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：

一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

12.（2008淅江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2

开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸„．已知标准纸的．．．

短边长为a．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折

叠：

第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上

的点B处，铺平后得折痕AE；

第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:

AB的值是，AD，AB的长分别是，．

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？

若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M90，MNMQ2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2

个符合条件且大小不同的直角梯形的-6-

面积．

4开

2开

8开16开图1

E图2

F图3

13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

CAEFB

14．（2008山东威海）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y的图象上．

（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

（3）选做题：

在平面直角坐标系中，点P的坐标

为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，

则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．

-7-

15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，

如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为2.

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？

试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

16.（20XX年浙江省绍兴市）将一矩形纸片OABCC（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1动点P从点A出发以相等的速度沿AO停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示OP，OQ；

（2）当t1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；

（3）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：

PQ与AC能否平

行？

PE与AC

能否垂直？

若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

-8-

图1

17.（20XX年辽宁省十二市）如图16

，在平面直角坐标系中，直线y

3与x轴交于点A，与y轴交于点C

，抛物线yax2xc（a0）经过A，B，C三点．

（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

图

-9-

18.（20XX年沈阳市）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB

1，OBABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线yax2bxc过点A，E，D．

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4x3与x轴交于点A，点B，219.（20XX年四川省巴中市）已知：

如图14，抛物线y

与直线y3

4xb相交于点B，点C，直线y3

4xb与y轴交于点E．

（1）写出直线BC的解析式．

（2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积

-10-

最大，最大面积是多少？

20.（20XX年成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限2

（1）求m，n的值

（2）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式

（3）过点D任作一直线l`分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

1CM1CN的值

22.（20XX年四川省宜宾市）已知:

如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；

（3）△AOB与△BDE是否相似？

如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

b4acb2

（注：

抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为2a,4a2）

-12-

23.（天津市20XX年）已知抛物线y3ax22bxc，

（Ⅰ）若ab1，c1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若ab1，且当1x1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（Ⅲ）若abc0，且x10时，对应的y10；对应的y20，试判断当0x1x21时，

时，抛物线与x轴是否有公共点？

若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

24.（20XX年大庆市）

如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．

（1）求S△DBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小

值？

如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

25.（20XX年上海市）已知AB2，AD4，DAB90，AD∥BC（如图13）．EGACFB①GDEACB②

是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BEx，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

-13-

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．

26.（20XX年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．

如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60

的处．

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：

供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：

供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：

供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

图13

备用图

27.（20XX年山东省青岛市）已知：

如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列

-14-

问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？

若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

图①

28.（20XX年江苏省南通市）已知双曲线y

与直线y

x相交于A、B两点.第一象限

上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y

上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N

于点E，交BD于点C.

（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值

29.（20XX年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：

在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：

请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

-15-

图1图2图3图4

压轴题答案

1.解：

（1）由已知得：

c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为yx2x3

解得

1bc0

（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=SABOS梯形BOFDS==

1212

AOBO13

1212

（BODF）OF

EFDF（34）1

（3）相似如图，

BE=DE=

所以BD2BE220,DE220即：

BD2BE2DE2,所以BDE是直角三角形

AOBD

BOBE

所以AOBDBE90,

且所以AOBDBE.

（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，23），

23108

∴tanOAB3，

∴OAB60

当点A´在线段AB上时，∵OAB60，TA=TA´，∴△A´TA是等边三角形，且TPTA，∴TP（10t）sin60

（10t），APAP

12AT

（10t），

∴SSATP

APTP

（10t），

当A´与B重合时，AT=AB=

23sin60

4，

所以此时6t10.

（2）当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB（不与B重合）上时，纸片重叠部分的图形是四边形（如图

（1），其中E是TA´与CB的交点），当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，

又由

（1）中求得当A´与B重合时，T的坐标是（6，0）所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2t6.（3）S存在最大值

1当6t10时，S○

（10t），

在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是23.

2当2t6时，由图○1，重叠部分的面积SSSAEB○ATP

-17-

∵△A´EB的高是ABsin60，∴S3

8（10t）212（10t4）2322（t4t28）23

8（t2）43

当t=2时，S的值最大是43；

3当0t2，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是（如图○2，其中E是TA´与○

CB的交点，F是TP与CB的交点），

∵EFTFTPETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴S1

2EFOC1

242343

综上所述，S的最大值是43，此时t的值是0t2.

3.解：

（1）ARt，AB6，AC8，BC10．点D为AB中点，BD

12AB3．DHBA90，BB．

△BHD∽△BAC，

ACBD

BC，DHBD

BCAC3

10812

5．

（2）QR∥AB，QRCA90．

CC，△RQC∽△ABC，

ABQC

BC，y

610x

10，

5x6．即y关于x的函数关系式为：

（3）存在，分三种情况：

①当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM．

1290，C290，

1C．

cos1cosC8

104

545C，QM

QP，MHQ

-18-

13x6

18254

．，x

12555

②当PQRQ时，

x6．

125

，

③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，

12CEQRCR

AC2．4BACA

tanC，

3x62

，x

185

152

．

152

综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

4.解：

（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．

xAN∴AMAN，即．

∴AN＝

x．……………2分

∴S=SMNPSAMN

图11332

xxx．（0＜x＜4）……………3分248

（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=在Rt△ABC中，BC

=5．由

（1）知△AMN∽△ABC．

∴

AMAB

MNBC

MN．

，即

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