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完整版中职数学基础知识汇总
中职数学基础知识汇总
预备知识：
1•完全平方和（差）公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2
2.平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）
3•立方和（差）公式：
a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素：
确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法：
列举法、描述法、图像法（文氏图）。
3.常用数集：
N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N+（正整数集）
4.元素与集合、集合与集合之间的关系：
（1）元素与集合是“”与“”的关系。
（2）集合与集合是“厂“二”“=”“/厂的关系。
注：
（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。
（做题时多考虑①是否满足题意）
（2）一个集合含有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个
5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）
（1）AIB={x|x挝A且xB}:
A与B的公共元素组成的集合
（2）AUB={x|x挝A或xB}:
A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）
（3）C（jA:
U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。
注：
Cu（AIB）CuAUCuBCu（AUB）二C/lCdB
6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。
7.充分必要条件：
p是q的……条件p是条件，q是结论
如果pq，那么p是q的充分条件;q是p的必要条件.如果pq，那么p是q的充要条件
第二章不等式
1.不等式的基本性质：
（略）
注：
（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。
（2）不等式两边同时乘以负数要变号！
！
（3）同向的不等式可以相力廿（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式：
（1）a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。
（2）ab2ab（a,bR），当且仅当ab时，等号成立。
（3）
注：
（算术平均数）_ab（几何平均数）
2
3.一元一次不等式的解法（略）
4.一元二次不等式的解法
（1）保证二次项系数为正
（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：
（3）定解：
（口诀）大于取两边，小于取中间
5.
绝对值不等式的解法
分式不等式的解法：
与二次不等式的解法相同。
注：
分母不能为0.
第三章函数
1.函数
（1）定义：
设AB是两个非空数集，如果按照某种对应法则f,对A内任一个元素x,在B中总有一个且只
有一个值y与它对应，则称f是集合A到B的函数，可记为：
f:
AtB,或f:
xy.其中A叫做函数f的定义域.函数f在xa的函数值，记作f（a）,函数值的全体构成的集合C（C?
B）,叫做函数的值域.
（2）函数的表示方法：
列表法、图像法、解析法。
注：
在解函数题时可以画岀图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
2.函数的三要素：
定义域、值域、对应法则
（1）定义域的求法：
使函数（的解析式）有意义的x的取值范围
主要依据：
分母不能为0,偶次根式的被开方式0,
特殊函数定义域：
yx°,x0yax,（a0且a1）,xR
ylogax,（a0且a1）,x0
（2）值域的求法：
y的取值范围
1正比例函数：
ykx和一次函数：
ykxb的值域为R
2二次函数：
yax2bxc的值域求法：
配方法。
如果x的取值范围不是R则还需画图像
1
3反比例函数：
y的值域为{y|y0}
x
4另求值域的方法：
换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
（3）解析式求法：
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
3.函数图像的变换
（1）平移
y
…、向左平移—
a）
向右平移
yf（x）a个单位
yf（xa）
a个单位y
y
向上平移
f（x）a个单位y
f（x）
a
向下平移
yf（x）a个单位
yf（x）a
（2）
翻折
y
f（x）沿x轴
y
f（x）
、保留X轴上方图像,
yf（x）下方翻折到上方y|f（x）|
（）上、下对折
4.函数的奇偶性
（1）定义域关于原点对称
（2）若f（X）f（X）奇若f（X）f（X）偶
注：
①若奇函数在x0处有意义，则f（0）0
②常值函数f（x）a（a0）为偶函数③f（x）0既是奇函数又是偶函数
5.函数的单调性
对于x1>x2
[a,b]且X1x2，若
f（Xi）
f（Xi）
f（x2）,称f（x）在［a,b］上为增函数
f（X2）,称f（x）在［a,b］上为减函数
增函数：
X值越大，函数值越大；减函数：
X值越大，函数值反而越小;
6.二次函数
（1）二次函数的三种解析式
x值越小，函数值越小。
X值越小，函数值反而越大。
①一般式：
f（X）
ax2
bxc（a
0）
②顶点式：
f（X）
a（x
k）2h（
a0），
其中（k,h）为顶点
③两根式：
f（x）
a（x
xj（xX2）
（a
0），其中X2是
（2）图像与性质
二次函数的图像是-
一条抛物线，有如下特征与性质
①开口a
0开口向上
a0
开口向下
b
b4acb2
②对称轴：
X
顶点坐标：
（,
）
2a
2a
4a
f（x）0的两根
与X轴的交点:
有两交点
有1交点
无交点
Xi
X2
④根与系数的关系:
（韦达定理）
Xi
X2
2
f（X）axbxc为偶函数的充要条件为
⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0）
a
f（x）0
0图像位于x轴上方
f（X）0
图像位于x轴下方
⑦若二次函数对任意
X都有f（tX）f（tX），则其对称轴是Xto
第四章指数函数与对数函数
1.指数幕的性质与运算
（1）根式的性质:
①n为任意正整数，（na）na②当n为奇数时,
a；当n为偶数时，van|a|
③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。
零次幕：
a0
1（a0）
（3）
负数指数幕:
（4）
分数指数幕:
n1*
a—（a0,nN）a
m
an
\'am（a0,m,nN且n
1）
（5）
实数指数幕的运算法则：
（a0,m,nR）
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
m、nmnn
②（a）a③（ab）
幕运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的
幕函数yxa当a0时,
当a0时,
指数与对数的互化：
abN
对数基本性质：
①logaa
n次方。
⑤logab与logba互为倒数
⑥logambn—logab
m
对数的基本运算：
loga（M
换底公式:
N）
loga
logaMloga
logbN
logba
xa在（0,
xa在（0,
logaNb
logablogb
）上单调递增
）上单调递减
（a
logaN
（b0且b1）
0且a1）
（N0）
③alog
④logaaN
loga
logaM
logba
logaN
指数函数、
对数函数的图像和性质
性
质
（1）XR,y0
⑵图像经过（0,1）点
（3）a1,yax在R上为增函数；
0a1,yax在R上为减函数。
（1）x0,yR
（2）图像经过（1,0）点
a1,ylogax在（0,）上为增函数；
（3）
0a1,ylogaX在（0,）上为减函数
9.禾U用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幕（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。
10.指数方程和对数方程：
指数式和对数式互化同底法换元法④取对数法
注：
解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。
第五章数列
等差数列
等比数列
每一项与前一项之差为同一个常数
每一项与前一项之比为同一个常数
疋
anan1d
a2
a1
a3
a2
a2
a3
an/c\
q（q0）
义
a1
a2
an1
注：
当公差
d
0时，数列为常数列
注：
等比数列各项及公比均不能为0；
当公比为1
时,
数列为常数列
通项
（n
1）d
n
1
公式
an
a1
an
dq
推
（1）
d
an
am
（1）
nm
q
n
m
am
论
（2）
an
am
（n
m）d
（2）
an
am
nm
q
（3）
若m
n
P
q，则amanapaq
（3）
若m
n
Pq，则amanapaq
中项
三个数a、
b、
c成等差数列，则有
三个数a、
b、
c成等比数列，则有
公式
2b
b
ac
.2
ac
2
b
ac
刖n
n
项和
Sn
a
n）
nan（n1）dna〔d
2
Sn
a（q）a1anq（q1）
公式
2
1
q1q
1.已知前n项和Sn的解析式，求通项an
Si（n1）Sn&1（n2）
第六章三角函数
1.弧度和角度的互换
2.
解释：
指k—（kZ），若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变
2
7.已知三角函数值求角：
（1）确定角所在的象限；
（2）求岀函数值的绝对值对应的锐角终边的角的集合）
8.和角、倍角公式
⑴和角公式：
sin（
）
sincos
cossin
cos（
）
coscos
sin
sin
tan（
）
tantan
1tantan
'；（3）写岀满足条件的0~2的角；（4）加上周期（同
注意正负号相同
注意正负号相反
⑵二倍角公式：
sin2
2sincos
cos2
2・2cossin
c2
2cos
2
112sin
tan2
2tan
1tan2
⑶
半角公式：
sin
2
■1cos
cos—
2
.1cos
2
2
9.三角函数的图像与性质
函数
图像
性质
定义域
值域
同期
奇偶性
单调性
ysinx
j
J
0：
-D^
4
「J
xR
[1,1]
T2
奇
[2k-,2k-]
22
3
[2k—,2k—]
22
ycosx
xR
[1,1]
T2
偶
[2k,2k]
[2k,2k]
9.正弦型函数yAsin（x）（A0,0）
（1）定义域R，值域[A,A]
X的系数提出来，再看是怎样平移的
（2）周期：
T
（3）注意平移的问题：
一要注意函数名称是否相同，二要注意将
（4）yasinxbcosx..a2b2sin（x）
10.
正弦定理
（2）a:
b:
csinA:
sinB:
sinC
11.
余弦定理
12.三角形面积公式
111
SabcabsinCbcsinAacsinB（注意理解记忆，可只记一个）
222
abc
13.海伦公式：
SABCP（Pa）（Pb）（Pc）（其中P为ABC的半周长，P
2第七章平面向量
1.向量的概念
（1）定义：
既有大小又有方向的量。
（2）向量的表示：
书写时一定要加箭头！
另起点为A，终点为B的向量表示为AB。
（3）向量的模（长度）：
|AB|或|a|
（4）零向量：
长度为0，方向任意。
单位向量：
长度为1的向量。
向量相等：
大小相等，方向相同的两个向量。
反（负）向量：
大小相等，方向相反的两个向量。
2.向量的运算
（2）计算法则
加法：
ABBCAC减法：
ABACCA
（3）运算律：
加法交换律、结合律注：
乘法（内积）不具有结合律
—*►—*
3.数乘向量：
a
（1）模为：
|||a|
（2）方向：
为正与a相同；为负与a相反。
4.AB的坐标：
终点B的坐标减去起点A的坐标。
AB（xBxA,yByA）
—*—F
5.向量共线（平行）：
唯一实数，使得ab。
（可证平行、三点共线问题等）
6.平面向量分解定理：
如果e1,e2是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，都存在唯一的
―—fc<
一对实数x1,x2，使得ax1e1x2e2。
7.注意ABC中，重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：
三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：
三角平分
线交点）、垂心（三高线的交点）
8.向量的内积（数量积）
（1）向量之间的夹角：
图像上起点在同一位置；范围[0,]。
——*—*■—►—T—
（2）内积公式：
ab|a||b|cosa,b
9.向量内积的性质:
（2）a丄bab0
（j）cosa,bJ~（夹角公式）
|a||b|
（3）aa|a|2或|a|.aa（长度公式）
12.向量平行、垂直的充要条件：
设a（x1,y1）,b（x2,y2），则
11.
长度公式
12.
向量平移
a2f（xaj
（2）图像平移：
yf（x）的图像平移向量a（a1,a2）后得到的函数解析式为:
第八章平面解析几何
1.曲线C上的点与方程F（X,y）0之间的关系:
（1）曲线C上点的坐标都是方程F（x,y）0的解;
（2）以方程F（x,y）0的解（x,y）为坐标的点都在曲线C上。
则曲线C叫做方程F（x,y）0的曲线，方程F（x,y）0叫做曲线C的方程。
3.求曲线方程的方法及步骤：
（1）设动点的坐标为（x，y）;⑵写岀动点在曲线上的充要条件；（3）用x,y的关系式
表示这个条件列岀的方程；（4）化简方程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。
如果
方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。
4.两曲线的交点：
联立方程组求解即可。
5.直线：
（1）倾斜角：
一条直线I向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其范围是［0,）
的直线的斜率K
y2
y1
（X1X2）
X2
X1
②斜截式：
y
kxb
④一般式：
Ax
By
C0
（2）
（倾斜角的正切）
斜率：
①倾斜角为900的直线没有斜率；②ktan
③经过两点1^（x1,y1）,P2（x2,y2）
①
两点式：
y
y1
x
X1
y2
y1
X2
X1
③
点斜式：
y
y。
k（x
X°）
⑶直线的方程
注：
1.若直线I方程为3x+4y+5=0，则与|平行的直线可设为3x+4y+C=0;与I垂直的直线可设为4X-3Y+C=0
2.求直线的方程最后要化成一般式。
（4）两条直线的位置关系
I1:
yk1xb|I2:
yk2xb2
h:
AxB1xC1012:
A2xB2xC20
|1与12平行
k?
.且b[b?
AB1C2
A2B2C2
l1与I2重合
k[k2且b2
AB1C2
A2B2C2
h与12相交
AB1A2B2
I1丄12
k1k21
A1A2B1B20
注：
系数为0的情况可画图像来判定。
（5）点到直线的距离
①点P（x°,y0）到直线AxByC0的距离：
d——-
6.圆的方程
（1）
标准方程:
（X
a）2
（y
b）2
2
r（r
0）
其中圆心（a,b），半径r
（2）
一般方程:
2X
2
y
Dx
Ey
F0
（D2
2
E4F0）
圆心（
D
J
E
.D2
E2
4F
）
半径:
:
r
2
2
2
（4）直线和圆的位置关系：
主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较
dr相交；dr相切；dr相离
7.椭圆
几何定义
动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数2a
|PFi|IPF2I2a
标准方程
22
笃爲1（焦点在x轴上）
a2b2
22
仔差1（焦点在y轴上）
ba
图像
a,b,c的关系
a2b2c2注意：
通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心
x轴：
长轴长2a；y轴：
短轴长2b；0（0,0）
顶点坐标
（a,0）（0,b）
焦点坐标
（c,0）焦距2c注：
要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
e2护1
aYa
8.双曲线
顶点坐标
（a,0）
焦点坐标
（c,0）焦距2c注：
要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
eE再1
aYa
渐近线
ba
y-x（焦点在x轴上）y—x（焦点在y轴上）
ab
8.
注：
等轴双曲线：
（1）实轴长和虚轴长相等ab
（2）离心率e2（3）渐近线yx
1.空间的基本要素：
点、线、面
注：
用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系
2.平面的基本性质
（1）三个公理：
1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。
3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（2）三个推论：
1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
2经过两条相交直线，有且只有一个平面。
3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
3.两条直线的位置关系：
（1）相交：
有且只有一个公共点，记作“abA”
（2）平行：
a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。
b.平行于同一条直线的两条直线平行
（3）异面：
1定义：
不同在任何一个平面内的两条直线
2异面直线的夹角：
对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于一的角。
注意在找异面直线之间的夹
2
角时可作其中一条的平行线，让它们相交。
4.直线和平面的位置关系：
（1）直线在平面内：
丨
（2）直线与平面相交：
IA
（3）直线与平面平行
1定义：
没有公共点，记作：
I//
2判定：
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。
3性质：
如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。
5.两个平面的位置关系
（1）相交：
I
（2）平行：
1定义：
没有公共点，记作：
“//”
2判定：
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行
3性质：
a.两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行
b.
平行于同一平面的两个平面平行
c.夹在两平行平面间的平行线段相等
d.两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例
6.直线与平面所成的角：
（1）定义：
直线与它在平面内的射影所成的角
（2）范围：
[0,—]
2
7.直线与平面垂直
（1）判定：
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直
（2）性质：
1如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线；
2垂直于同一平面的两直线平行；
3垂直于同一直线的两平面平行。
8.两个平面垂直
（1）判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。
（2）性质定理：
如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直
9.二面角
（1）定义：
过二面角丨的棱上一点0，分别在两半平面内引棱I的垂线OA、OB，则AOB为二面角的
平面角
（2）范围：
[0,]
（3）二面角的平面角构造：
1按定义，在棱上取一点O，分别在两半平面内引棱的垂线OA、OB，则AOB即是
2作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OA、OB，AOB即是
3
第十章排列、组合与二项式定理
阶乘：
Pnnn!
n（n1）（n2）
规定：
0!
1C01
注：
（1）做排列组合题的原则：
先特殊，后一般！
（2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：
一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。
3.组合数的两个性质：
（1）雷c：
m
（2）昭cmcm1
4.二项式定理：
（ab）nC：
anb0C：
anhQa"rbrC：
jb"1C：
a0bn
通项：
Tr1C：
anrbr，其中C：
叫做第r1项的二项式系数
（2）杨辉三角
1.二项式系数的性质
（1）除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即C：
1C：
C：
1
（2）与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即cnc；r
（3）n为偶数,
展开式有奇数项，
中间项的二项式系数最大；
（第-
2
1项）
n为奇数，
展开式有偶数项，
中间两项的二项式系数最大。
（第•
n1
项和后一项）
2
7.CC：
cm
nn0
Cn2Cn
C2C4
CnCn
C1C3C5CnCnCn
2*1
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