七年级数学专题三 多边形轴对称考点例析 华东师大版.docx

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七年级数学专题三多边形轴对称考点例析华东师大版

初一数学专题三多边形、轴对称考点例析华东师大版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

专题三多边形、轴对称考点例析

二、知识点分析

1.三角形内角和、外角的性质、三角形的三边关系，会根据三边关系判断已知的三条线段能否组成三角形.

2.三角形的分类.

3.三角形具有稳定性.

4.多边形的内角和与多边形的外角和的探索过程.

5.理解某些正多边形能够铺满地面的道理，会欣赏丰富多彩的图案.

　　6.了解轴对称的概念，能够判断一个图形是不是轴对称图形，并能找出对称轴.

　　7.会画和一个简单图形关于某条直线成轴对称的图形，会设计简单的轴对称图形.特别是在坐标系中对一些图形会以坐标轴为对称轴进行轴对称变换.

　　8.认识线段的垂直平分线的性质，并能用来解决相关的简单问题.

　　9.理解等腰三角形的性质与判定，了解等边三角形是特殊的等腰三角形，以及等边三角形的性质与判定，能用来解决相关的简单问题.

　　10.等腰三角形性质表示如果一个三角形是等腰三角形，那么可以得出：

两底角相等；而要判定一个三角形是等腰三角形，必须先说明三角形中有两个角相等.两者是实现“等角”与“等边”相互转化的重要依据，常用来说明两条线段、两个角相等.

三、典型例题

　求正多边形的边数

　例1．若一个正多边形的内角和是其外角和的

倍，则这个多边形的边数是______．

分析:

根据由多边形的内外角和公式列出边数的方程解题.

解:

设多边形的边数为n，则（n-2）×180°＝3×360°，解得n＝8

求正多边形的内角

　例2.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是.

　　分析:

根据多边形内角和及正多边每个内角相等.

　　解:

正五边形的内角和为：

（5－2）×180°＝540°，

　　又因为正五边形内角相等，

　　故∠ABC＝540°÷5＝108°.

点评:

正多边形既具有一般凸多边形的内角和关系：

（n－2）×180°，同时它还具有各角都相等，各边都相等的特性.

　求多边形的个数

　例3.若n边形所有的边都相等，所有的内角都相等，则这样的n边形叫做正n边形，如果一个正n边形的每个内角的度数都是整数，那么这样的正n边形共有＿＿＿＿个.

　　分析:

因为这个正n边形的每个内角的度数都是整数，所以这个正n边形的每个外角的度数也是整数，所以n应是360的约数．

　　解:

易求得360的大于2的约数共有22个：

3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，

　　所以这样的正n边形共有22个．

求正多边形的对角线条数

例4.如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，则这个多边形的对角线的总条数为＿＿＿＿．

分析:

本题首先根据多边形的内外角的关系求出多边形的边数，再联系对角线的条数计算可求得这个多边形的对角线的总数.

解:

设外角为x，则内角为（4x+30°）

因为每一个内角与它的外角互为邻补角

所以：

x+（4x+30°）=180°

　　　x=30°.

因为多边形的外角和为360°，所以360°÷30°=12

这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°，因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线

　　所以对角线的总条数为：

×9×12=54，

　　这个多边形的对角线的总条数为

×12×（12-3）=54.

求不规则的多边形的角度和

例5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为＿＿＿＿＿.

分析:

我们观察整个图形，里面包含着三角形和四边形，我们可以借助四边形的内角和解决问题.

解:

四边形ABPO的内角和为∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°.

因为∠BPO是△PDC的外角，

所以∠BPO=∠C+∠D.

因为∠POA是△OEF的外角，

所以∠POA=∠E+∠F.

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

点评:

把这些分散的角集中到一起构成多边形，借助多边形内角和求解，体现转化的思想.

正多边形的操作

　例6.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.

将纸片展开，得到的图形是　（　　）

　　分析:

把一个正方形按如图所示进行四次折叠，将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，展开，得到的图形是C.

　　解:

C.

点评:

本题无论是内容还是方法都更重视动手实验操作的作用.要改变以往数学学习过分依赖模仿与记忆的学习方式.

　正多边形的密铺

例7.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面。

根据第1—3个图案的排列规律，第6个图案中白色瓷砖的块数应为＿＿＿＿块.

　　分析:

观察图形知第一个图案中白色瓷砖的块数为5块；

　　第二个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×1）块；

　　第三个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×2）块；

　　……

　　第六个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×5）块；

　　解:

第6个图案中白色瓷砖的块数应为20块.

点评:

本题以同学们熟知的用灰白两色正方形瓷砖铺设地面的问题为背景，探究图形的排列规律.通过由特殊到一般的分析，第n个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×（n-1））块.

　判断图形的轴对称性

　例8.如图所示，图中是轴对称图案的是（　　）

　　解析:

根据轴对称图形的定义，图形A、C、D无论怎样翻转都不能使两部分完全重合，而图形B沿过左下、右上两个顶点的直线翻转后两个部分能够完全重合.所以选B.

　寻找对称轴

　例9.下列图案中，有且只有三条对称轴的是　（　　）

解析:

A有2条对称轴，B有4条对称轴，C不是轴对称图形，D有3条对称轴（对称轴如图中虚线所示），故选D.

　作轴对称图形

　例10.如下图，在正方形网格上有一个△ABC.

　⑴作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；

　⑵若网络上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积.

　　解析：

⑴利用图中格点，可以直接确定出△ABC中各顶点的对称点的位置，从而得到△ABC关于直线MN的对称图形△A’B’C’，如图中虚线所示.

⑵此三角形面积为：

.

　考查设计轴对称图案

例11.

　　⑴观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；

　　⑵借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答

（1）中所写出的两个共同特征．

　　解析:

⑴都是轴对称图形；它们的面积相等；

　　⑵如图⑥（答案不惟一）．

　轴对称的性质的应用

例12.如图，把一张矩形纸片

（AD∥BC）沿

折叠后，点

分别落在

的位置上，

交

于点

．已知

，那么

＿＿

．

　　分析:

根据折纸的操作原理可知C点与C

点关于EF对称，即EC和EC

关于EF对称，所以∠CEF＝∠GEF，再根据∠EFG和∠CEF的关系即可求得.

　　解:

根据折叠原理可知，EC和EC

关于EF对称，∴∠CEF＝∠GEF＝58

.又∵AD∥BC，∴∠EFG＝∠CEF＝58

，∴∠BEG＝180

－2×∠EFG＝180

－2×58

＝64

.

　等腰三角形性质的应用

　例13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是.

　　分析：

本题是探索条件类，只要根据结论（等腰三角形）添加使之成立的条件即可，答案不唯一，按照等腰三角形的条件可以添加线段相等，也可以添加角相等．

解:

添加的条件可以是：

BD=CD（或∠BAD=∠CAD等的其中之一）.

图形的对折

　例14.将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到________条折痕，如果对折n次，可以得到_________条折痕.

　　解析:

本题是通过折叠次数的变化来研究折痕变化的规律题型，第一次对折有一条折痕，第一次对折后纸有两层，第二次对折已有的两层各有一条折痕，再加上原有的一条折痕共有1＋2＝3＝22－1条折痕，两次对折后纸共有4层，第三次对折后在3条折痕的基础上又增加了4条折痕，则此时共有1＋2＋4＝7＝23－1条折痕，由此可知第四次对折后共有24－1＝15条折痕，第n次对折共有（）条折痕.

评注:

本题利用由特殊到一般的方法，寻求对折后折痕的条数的变化规律，要从对折的结果去分析对折过程中纸的层数的变化，再从纸的层数的变化去总结折痕的变化规律.

四、本讲数学思想方法的学习

1.与角、线段有关的计算题除了掌握与之对应的图形性质外，要注意方程思想的运用.

2.与图形有关的操作题，如果不能确定结果，应通过动手操作，这也是数学学习的方法之一.

【模拟试题】（答题时间：

60分钟）

一、选择题

　1、等边三角形的对称轴有　　　　（　　）

　　A、一条　B、二条　C、三条　D、九条

　2、下列扑克牌中，是轴对称图形的有　　　　　（　　）

　　A、4张　　B、3张　　C、2张　　D、0张.

　3、已知等腰三角形的两边长分别为8与16，则其周长为　　（　　）

　　A、32　　B、40　　C、32或40　　D、8或16

　4、如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（　　）

　　A、等边三角形　　B、等腰三角形　　C、直角三角形　　D、斜三角形

　5、等腰三角形顶角是底角的4倍，则顶角为　　　　　　（　　）

　　A、20°　　　B、30°　　　C、80°　　　D、120°

　6、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）

　　A、1，2，3　　B、1，4，2　　C、2，3，4　　D、6，2，3

7、一个多边形只有27条对角线，则这个多边形的边数为（　　）

　A、8　　　B、9　　　C、10　　　D、11

8、已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（　　）

　　A、三角形　　　B、四边形　　　C、五边形　　　D、六边形

9、一个三角形的两边的长分别为3和8，第三边的长为奇数，则第三边的长为（　　）

　　A、5或7　　　B、7　　　C、9　　　D、7或9

10、如图，AB∥CD，AD，BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°,则∠C的度数是（　　）

A、31°　　　B、35°　　　C、41°　　　D、76°

二、填空题

　1、一个四边形是轴对称图形，有且只有四条对称轴，则这个四边形是　　　形.

　2、0～9十个阿拉伯数字中是轴对称图形的有　　　　　.

　3、等边三角形的性质：

⑴三边；⑵三角且都为度；⑶具有等腰三角形的一切性质.

　4、若两图形关于直线对称，则图形上的对应点连线段被对称轴.

　5、△ABC中，已知∠A=80°，∠B=70°，则∠C=.

6、如果一个三角形的三个内角的度数比为1∶2∶3，则这个三角形是三角形.

7、用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为_____.

8、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第

个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含

的代数式表示）.

三、解答题

　1、画出图中的对称轴.

　2、已知：

如图,AB=AC，∠ABD=∠ACD.试说明：

BD=DC.

　3、图中，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P使P到∠AOB两边的距离相等且使P到C、D两点的距离和最小.

4、有一个凸十一边形，它由若干个边长为１的正三角形和边长为１的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各内角的大小，并画出一个这样的凸十一边形的草图.

5、一个多边形的内角和比外角和多360度，这是几边形？

6、小美想：

2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008°的多边形图案多有意义，小美的想法能实现吗？

【试题答案】

一、

1、C；

2、D；

3、B；

4、B；

5、D；

6、C

7、B

8、C

9、D

10、C

二、

1、正方形；

2、1，3，8，0；

3、相等；相等；60；

4、垂直平分；

5、30°；

6、直角；

7、2；

8、

三、

1、解：

在图中找出两个对称点：

点A、点A′，再画出点A和点A′的垂直平分线.

2、理由：

连结BC.∵AB=AC（已知），

　　∴∠1=∠2（等边对等角）.

　　又∠ABD=∠ACD（已知），

　　∴∠ABD-∠1=∠ACD-∠2（等式运算性质）.

　　即∠3=∠4.∴BD=DC（等角对等边）.

3、作法：

⑴作∠AOB的平分线OM.

⑵作C关于OM的对称点C´，

⑶连结C´D交OM于P，点P为所求作的点.

4、解：

设这个凸十一边形有x个内角为120°，y个内角为150°，

则

，解方程组，得

，

∴这个凸十一边形有１个内角为120°，

10个内角为150°，如图.

5、解：

设这是个n边形，内角和为

，外角和为360°，

由题意可知

－360°＝360°，

＝720°，

n－２＝４，n＝６，所以这是个6边形.

6、解：

小美的想法无法实现.因为多边形内角和为

，一定是180的整数倍，而2008不能被180整除，所以不可能有内角和为2008°的多边形.