B．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
解析：
做受迫振动的物体，振动频率等于驱动力的频率；当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动系统的振幅最大
答案：
BD
点评：
要正确理解受迫振动的频率与驱动力的频率之间的关系，以及做受迫振动的系统的振幅与驱动力频率的关系
热点关注
知识点：
振动图象
例2．（09年江苏物理）12.B．（选修模块3—4）（4分）
（2）在
时刻，质点A开始做简谐运动，其振动图象如图乙所示。
质点A振动的周期是s；
时，质点A的运动沿
轴的方向（填“正”或“负”）；质点B在波动的传播方向上与A相距16m，已知波的传播速度为2m/s，在
时，质点B偏离平衡位置的位移是cm。
解析：
（2）振动图象和波形图比较容易混淆，而导致出错，在读图是一定要注意横纵坐标的物理意义，以避免出错。
题图为波的振动图象，图象可知周期为4s，波源的起振方向与波头的振动方向相同且向上，t=6s时质点在平衡位置向下振动，故8s时质点在平衡位置向上振动；波传播到B点，需要时间
s=8s，故
时，质点又振动了1s（
个周期），处于正向最大位移处，位移为10cm.。
答案：
B.
（2）4正10
点评：
搞清楚振动图象的物理意义，以及能从振动图象求哪些物理量
2、知识网络
考点1。
简谐振动
1．条件：
质点所受的回复力要满足：
F=-kx形式。
性质：
变加速运动。
特点：
简谐运动的系统机械能不变。
2．描述简谐运动的物理量及其变化
a、位移x：
振动物体的位移是指物体离开平衡位置的位移。
其方向由平衡位置指向振动质点所在的位置。
其最大值等于振幅。
b、振幅A：
振动物体离开平衡位置的最大距离，标量，用来表示振动能量的物理量。
c、回复力F：
使物体回到平衡位置的合力（沿轨迹切线方向的合力）。
它是按力的效果命名的，它不是一个单独的力。
回复力等于振动方向上的合外力，它可以由一个力来提供，也可以由一个力的分力提供。
故分析物体受力时不能把它作为一个单独的力。
d、周期T：
振动物体完成一次全振动所需要的时间
e、频率f：
单位时间内完成全振动的次数，单位是赫。
f、全振动：
振动物体从某一初始状态（速度位移等）开始第一次回到这种状态的过程。
一个全振动的路程是4A。
各物理量的关系为：
F=-kx，（回复力与位移大小成正比，方向与位移方向相反）
F=ma，从而a=-
x，（加速度与位移大小成正比，方向与位移方向相反）
以及：
f=
，
振动过程中各物理量大小、方向的变化情况如下表所示：
该表反映了振动物体在平衡位置处，物体的速度、动能最大；在最大位移处，质点的位移、回复力、加速度、势能最大；简谐运动中加速度与位移方向相反，而速度方向与位移的方向可能相同也可能相反；关于平衡位置对称的两点，加速度、速度、动能、势能等物理量其大小均相等。
振动物体在振动的过程中，系统的动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。
振动物体位置
位移x
回复力F
加速度a
速度v
势能
动能
方向
大小
方向
大小
方向
大小
方向
大小
平衡位置O
0
0
0
最大
最小
最大
最大位移处A
指向A
最大
指向O
最大
指向
最大
0
最大
最小
OA
指向A
变大
指向O
变大
指向O
变大
指向A
变小
变大
变小
AO
指向A
变小
指向O
变小
指向O
变小
指向O
变大
变小
变大
考点2．振动的分类
自由振动：
振动系统按其本身的固有频率进行振动。
T自由=T固有
受迫振动：
物体在周期性驱动力作用下的振动。
T受迫=T策动力
阻尼振动：
振幅越来越小的振动。
无阻尼振动：
振动的振幅不变。
注意：
a．无阻尼振动不是无阻力的振动。
B．物体做受迫振动时，振动频率与固有频率无关，但策动力频率和固有频率对受迫振动的振幅会有影响。
策动力的频率与固有频率越接近，受迫振动的振幅越大，反之则越小
考点3.共振
a．概念：
物体做受迫振动时，策动力的频率等于固有频率，振动物体的振幅最大，这种现象称为共振。
b．条件：
f策动力=f固有
c．共振的应用和防止。
考点4．简谐运动的图象
（1）意义：
表示振动物体的位移随时间的变化规律。
注意振动图象不是质点的运动轨迹。
（2）特点：
简谐运动的图象振动图象是正弦（或余弦）曲线。
（3）坐标轴:
以横轴表示物体振动的时间,纵轴表示振动物体离开平衡位置的位移,用平滑的曲线连接各时刻对应的位移末端即可.
（4）应用:
a．可直观读取振幅A、周期T、以及各时刻的位移x；
b．判断某时刻回复力、速度、加速度的方向；
c．判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况
3、复习方案
基础过关
重难点：
简谐运动各物理的变化分析
例3．（1996年全国高考第14题）如果下表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动的周期，则下列选项正确的是：
（）
时刻
状态
物理量
0
T/4
T/2
3T/4
T
（甲）
零
正向最大
零
负向最大
零
（乙）
零
负向最大
零
正向最大
零
（丙）
正向最大
零
负向最大
零
正向最大
（丁）
负向最大
零
正向最大
零
负向最
A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v
B．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v
C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v
D．若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v
解析：
速度与位移之间有互余关系，速度为最大时，位移为零，速度为零时，位移为最大，但还应注意它们方向上的关系。
如：
某时刻物体速度为正向最大，
后，其位移为正向最大。
若某时刻物体速度为负向最大，
后，其位移为负向最大。
以A选项为例，若甲表示位移，t=0位移为零，t=
时位移为正向最大，则说明t=0时速度为正向最大，故应为丙表示相应的速度，A对。
答案：
A、B
点评：
搞清速度和位移之间的大小和方向关系，画出物体运动的空间位置变化图，有利于直观地反应问题。
典型例题：
例4．有一弹簧振子做简谐运动，则（）
A．加速度最大时，速度最大B．速度最大时，位移最大
C．位移最大时，回复力最大D．回复力最大时，加速度最大
解析：
振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F=-kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．
答案：
C、D
点评：
分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：
位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向．
第2课时单摆
1．高考解读
真题品析
知识点：
单摆的周期公式
例1．（09年上海物理）4．做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的
A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变
解析：
由单摆的周期公式
，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由
可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，因此振幅改变，所以C正确。
答案：
C
点评：
单摆的周期与摆球的质量以及单摆的振幅无关
热点关注
知识：
单摆在振动过程中各物理量的变化
例2．摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至
时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（ ）
解析：
从t=0时经过
时间，这段时间为
，经过
摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过
具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速度的只有D。
答案：
D
点评：
搞清楚单摆在最低点处速度最大，但此时速度为0
2、知识网络
考点1。
单摆：
一种理想模型
（1）看为简谐振动的条件：
偏角较小。
（2）单摆的回复力：
重力沿速度方向的分力来提供。
考点2．单摆周期公式及应用
（1）周期公式：
T固=2π
，T固与振幅、摆球的质量无关，取决于摆长和当地重力加速度。
（2）单摆的应用：
计时器；测重力加速度
3、复习方案
基础过关
重难点：
关于T=2π
中“g”的理解
例3．如图所示，一向右做匀加速运动的车厢内挂一小球，加速度为a，细线长为l，求小球振动的周期。
解析：
以小车为系统，当小车向右做匀加速运动，若系统达到稳定，即小球相对于车子静止，此时细线上张力F=
，此时线上张力可以看为单摆在加速系统中振动时摆球的视重，从而g，=
，周期为T=2л
点评：
在不同的运动系统，不同运动状态中，单摆周期往往会发生变化，等效重力加速度也会发生变化，用单摆处于平衡位置时线上张力来计算等效重力加速度的方法，不能把它当成一个模式来生搬硬套。
典型例题：
例4．已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。
让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？
解析：
该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看做简谐运动，周期分别为
和
，因此该摆的周期为：
点评：
在一个周期内，摆长在发生变化。
课时3．机械振动单元测试
1．一弹簧振子做简谐振动，周期为T（）
A．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍
B．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动速度大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍
C．若△t=T，则在t时刻和（t+△t）时刻振子运动的加速度一定相等
D.若△t=T/2，则在t时刻和（t+△t）时刻弹簧的长度一定相等
2．一个弹簧振子的振动周期为0.025s，从振子过平衡位置向右运动开始计时，经过0.17s时，振子的运动情况是（）
A．正在向右做减速运动
B．正在向右做加速运动
C．正在向左做减速运动
D．正在向左做加速运动
3．一个弹簧振子在AB间做简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（
）。
经过
周期，振子具有正方向的最大加速度。
那么以下几个振动图中哪一个正确地反映了振子的振动情况？
（）
4．a、b两单摆振动图象如图所示，则（）
A．第1秒内，a、b的速度方向相同；
B．第3秒内，a、b的加速度方向相同，都增加；
C．第5秒内，a、b的速度方向相同；
D.第5秒内，a、b的速度方向相反。
5．弹簧振子做简谐运动，t1时刻速度为v,t2时刻速度也为v,且方向相同，已知（t2-t1）小于周期T,则（t2-t1）（）
A．可能大于1/4周期
B．可能小于1/4周期
C．一定小于1/2周期
D．可能等于1/2周期
6．单摆做简谐和振动，摆球经过平衡位置时，摆球上附着一些悬浮在空气中的灰尘，如果灰尘的质量不能忽略，则在摆球以后的振动中，最大速度Vm、振幅A、周期T的变化是（）
A．Vm不变，A不变，T不变
B．Vm变小，A变大，T变小
C．Vm变大，A变大，T不变
D.Vm变小，A变小，T不变
7.如图所示，为一简谐波在t时刻的图象。
已知质点a将比质点b先回到平衡位置，则下列说法中正确的是（）
A．波沿x轴正向传播B.波沿x轴负向传播
C．质点a的速度正在增大D.质点b的速度正在增大
8．一个质点在平平衡位置O附近做简谐运动，若从质点经过O点开始计时，经过0.5s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过0.2s它第二次经过M点，则质点第三次经过M点还要的时间为（）
A．0.6sB．1.9sC．2.5sD．2.2s
9．关于单摆，下列说法正确的是（）
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度为零
10．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（）
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
11．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m．则两单摆摆长la与lb分别为（）
A．la＝2.5m，lb＝0.9mB．la＝0.9m，lb＝2．5m
C．la＝2.4m，lb＝4.0mD．la＝4.0m，lb＝2.4m
12．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，单摆经过平衡位置时的速度减少为原来的1/2，则单摆振动的（）
A．频率不变，振幅不变
B．频率不变，振幅改变
C．频率改变，振幅改变
D．频率改变，振幅不变
13．如图所示，在张紧的绳子挂了a,b,c,d四个单摆，四个单摆的摆长，关系为lc>lb=ld>la,先让d摆摆动起来，（摆角不超过50）,则下列说法正确的是（）
A．b摆发生振动，其余摆均不动
B．所有摆均以相同频率振动
C．所有摆均以相同摆角振动
D．以上说法，均不正确
14．公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。
一段时间内货物在坚直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。
取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即
，其振动图象如图所示，则（）
A．
时，货物对车厢底板的压力最大
B．
时，货物对车厢底板的压力最小
C．
时，货物对车厢底板的压力最大
D．
时，货物对车厢底板的压力最小
15．将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。
用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。
由此图线提供的信息做出下列判断：
①t＝0．2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1．1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T＝0．6s。
上述判断中正确的是（）
A．①③B．②④C．①②D．③④
16．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成20次全振动用15s，在某电压下，电动偏心轮转速是88r/min。
已知增大电动偏心轮的电压，可以使其转速提高，增加筛子的质量可以增大筛子的固有周期。
为使筛子的振幅增大，有下列做法（r/min读作“转每分”），可行的是（）
A．降低输入电压B、提高输入电压
C．增加筛子质量D、减少筛子质量
17．
（1）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学的实验步骤如下：
A．选取一段长1m左右的细线，下端连接小球，上端缠绕在圆形直杆上（如图所示）；
B．用刻度尺测出单摆静止时细线与圆形直杆的触点O到小球球心间的距离L；
C．将单摆从平衡位置拉开一个约40°的角度,然后放开小球让它摆动；
D．从摆球通过平衡位置时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T=t/30得出周期；
E．改变细线竖直部分的长度再做几次实验，记下相应的L和T；
F．求出多次实验中L和T各自的平均值，代入表达式
中求出重力加速度g．
你认为该同学以上哪些实验步骤中有错误，指出它们的序号并分别加以改正：
（2）在研究性学习中，学生通过查找资料知道了竖直方向弹簧振子做简谐振动的周期公式
T=2π
（k为弹簧的劲度系数，m是振子的质量），利用下列器材：
铁架台（固定弹簧的铁夹）、钩码一个、一根轻弹簧、毫米刻度尺、秒表，设计了测量重力加速度g的实验。
①补充写出实验的步骤：
A、将轻弹簧悬挂起来测出原长
B、挂上钩码静止时测出弹簧的长度
C、_______________________________
D、代入表达式算出重力加速度的数值
②用测量的量表示重力加速度的表达式g=
18．试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．
19．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20cm．某时刻振子处于B点．经过0.5s，振子首次到达C点．求：
（1）振动的周期和频率；
（2）振子在5s内通过的路程及位移大小；
（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值．
20．一单摆在地面上振动N次，将些单摆移到离地面高为h的地方，在相同的时间内振动N/2次，已知地球的半径R=6.4×106m，则可以估算出高度h为多少？
21．如图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2kg，在拉力F的作用下，由静止开始向上做匀变速运动，一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm，求外力F的大小。
22．两木块A、B质量分别是m、M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，如图10-20所示，用外力将木块A压下一段距离保持静止，释放后A做简谐振动，在A振动的过程中，木块B刚好始终未离开地面。
求:
1木块A的最大加速度；
2木块对地面的最大压力；
3要使B离开地面，外力至少是多大？
23．如图所示，一个竖直弹簧连着一个质量为M的薄板，板上放着一个木块，木块的质量为m，现使整个装置在竖直方向做简谐振动，振幅为A，若要求整个过程中小木块都不脱离薄木板，则弹簧的劲度系数k应为多大？
24．如图所示，小球m自A点以向AD的方向的初速度V逐渐接近D点的小孔，已知AB弧长为0.8m，AB圆弧半径为R，AD=s，A、B、C、D位于同一水平面上，则V为多大时，才能使m恰好进入D处的小孔？
25．在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的轻度系数为k，振子质量为M，振子的最大速度为
，如图所示，当振子运动到最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，求：
（1）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少为多大？
（2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？
振幅又是多大？
26．如图所示，用两根长度都为L的细绳悬挂一个小球A，绳与水平方向的夹角为α．使球A垂直于纸面做摆角小于5°的摆动，当它经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，若B球恰能击中A球，求B球下落的高度．
机械振动单元测试答案
1．C2．B3．D4．AD5．AB6．D7．BC8．AD9．B10．D11．B12．B13．B14．C15．C16．AD
17．
（1）步骤A中细线的上端应固定在悬点上（或用铁夹固定）；
步骤C中应将单摆拉开一个很小的角度（例如不超过10°）；
步骤F中应将每次实验的L和T代入表达式分别求出g值，再取g的平均值；
（2）答案：
①将钩码向下拉离平衡位置释放并测出N次全振动的时间t.
②由
解得
，代入
得出
从而得出g=
18．
解析：
如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为
，根据胡克定律及平衡条件有
①
当振子向下偏离平衡位置为
时，回复力（即合外力）为
②
将①代人②得：
，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件．
点评：
（1）分析一个振动是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反．证明思路为：
确定物体静止时的位置——即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足
。
（2）还要知道
中的k是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数．关于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式．而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力．此题中的回复力为弹力和重力的合力．
19．解析：
（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝10cm，所以A＝10cm．振子从B到C所用时间t＝0．5s．为周期T的一半，所以T＝1．0s；f＝1/T＝1．0Hz．
（2）振子在1个周期内通过的路程为4A。
故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×4A＝200cm．5s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm．
（3）振子加速度
．a∝x，所以aB：
aP＝xB：
xp＝10：
4＝5：
2．
20.解：
由题意知T1=
，T2=
，从而T1=T2/2。
又T1=2π
，T2=2π
mg=
，mg，=
从而有：
h=R=6.4×106（m）
21.解：
振针的振动周期为T=0.2s，OA、AB等之间时间间隔为T，=T/2=0.1s，
又ΔS=AB－OA=2×10-2=aT，2，a=2m/s2。
由牛顿第二定律：
F—mg=ma
得：
F=m（g+a）=24（N）
22.①除去外力后，A以未加外力时的位置为平衡位置做简谐运动，当A运动到平衡位置上方最大位移处时，B恰好对地面压力为零，A的加速度最大，设为am,对整体由牛顿第二定律有：
（M+m）g=M×0+mam
am=（M+m）g/m，方向向下。
②当A运动到平衡位置下方最大位移处时，A有向上的最大加速度am，木块对地面的压力最大，又对整体由牛顿第二定律得：
N-（M+m）g=M×0+mam，
N=（M+m）g+mam=2（M+m）g，
由牛顿第三定律得，B对地面的最大压力：
Nˊ=2（M+m）g，方向竖直向下。
③不加外力时，对m:
kx0=mg
加外力F静止时，对m:
k（x+x0）=F+mg
M刚离地面时对M：
k（x-x0）=Mg
解以上方程得：
F=（M+m）g.
23.解：
最高点木块不脱离弹簧，则振动的最高点不超过弹簧的原长，即A≤
，从而有：
24.因为圆弧的半径远远大于AB弧长，小球在槽内的摆动可以看为简谐振动，同时小球在沿AD的方向上做匀
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