精品数学八年级下北师大版11等腰三角形同步练习2.docx
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精品数学八年级下北师大版11等腰三角形同步练习2
等腰三角形
一、选择题
1.（2018·东营）如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC的内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:
①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2（AD2+AB2）-CD2.其中正确的是（）
A.①②③④B.②④
C.①②③D.①③④
2.（2018·达州）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）
A.
B.2C.
D.3
3.（2018·内蒙古包头）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）
A.17.5°B.12.5°
C.12°D.10°
4.在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）
A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒
5等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）
A．3B．5C．7D．9
6.已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）
A.60°B．45°C．90°D．不能确定
7.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：
1，则底边长为（）
A．16cmB．4cmC．20cmD．16cm或4cm
二、填空题
8.（2018·徐州）边长为a的正三角形的面积等于 .
9.在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.
10.在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.
三、解答题.
11.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
（4）FH∥BD.
12如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：
∠C=2∠D
13.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.
14.（2018·大连）阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且∠BAC=2∠DCB,求证:
AC=AD.
小明发现,除了直接用角度计算的方法外,还可以用下面两种方法:
方法1:
如图2,作AE平分∠CAB,与CD相交于点E.
方法2:
如图3,作∠DCF=∠DCB,与AB相交于点F.
解决下面的问题:
（1）根据阅读材料,任选一种方法证明:
AC=AD;
（2）如图4,△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,且∠BDE=2∠ABC,点F在BD上,且∠AFE=∠BAC,延长DC、FE,相交于点G,且∠DGF=∠BDE.
①在图中找出与∠DEF相等的角,并加以证明;
②若AB=kDF,猜想线段DE与DB的数量关系,并证明你的猜想.
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.答案：
D
解答：
设运动的时间为xcm/s，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．
分析：
设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.
5.答案：
C
解答：
等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.
分析：
画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案
6.答案：
A
解答：
△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，
∴a=b=c，
∴a=b=c，
∴三角形是等边三角形，
∴∠A=60°.
分析：
根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.
7.答案：
B
解答：
因为两边长之比为4：
1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；
（1）假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；
（2）假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；
∵6+6＜24，∴该假设不成立．
所以等腰三角形的底边为4cm．
分析：
题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.
8.答案
a2
9.答案：
80°或50°或20°
解答：
∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．
分两种情况：
（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；
（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=（180°−80°）
=50°
（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．
综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.
分析：
已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.
10.答案：
5
解答：
∵∠A=80°，∠B=50°，
∴∠C=180°-80°-50°=50°.
∴AB=AC=5.
分析：
由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.
11.答案：
证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）CF=CH；
答案：
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
在△BCF和△ACH中，
∴∠ACH=60°，
∴∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
答案：
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
（4）FH∥BD.
答案：
证明：
∵△CHF为等边三角形
∴∠FHC=60°，
∵∠HCD=60°，
∴FH∥BD
解析：
分析：
由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE≌△ACD；
由△BCE≌△ACD得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF≌△ACH，能得出CF=CH；两边等，加上一个角60°推出△CFH是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH∥BD.
12.答案：
证明：
∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD+∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.
解析：
分析：
首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D
13.答案：
解答：
∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴OD=BD，OE=CE，
∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长为：
AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.
解析：
分析：
由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．
14.解析
（1）解法一:
如图,作AE平分∠CAB,与CD相交于点E.
∵∠CAE=∠DAE,∠CAB=2∠DCB,
∴∠CAE=∠DCB,
∵∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠CAE+∠ACD=90°,
∴∠AEC=90°,
∵AE=AE,∠AEC=∠AED=90°,
∴△AEC≌△AED,
∴AC=AD.
解法二:
如题图3,作∠DCF=∠DCB,与AB相交于点F.
∵∠DCF=∠DCB,∠A=2∠DCB,
∴∠A=∠BCF,
∵∠BCF+∠ACF=90°,
∴∠A+∠ACF=90°,
∴∠AFC=90°,
∵∠ACF+∠BCF=90°,∠BCF+∠B=90°,
∴∠ACF=∠B,
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD,
∴AC=AD.
（2）①∠DEF=∠FDG.
理由:
在△DEF中,∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°,
在△DFG中,∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°,∠EFD=∠GFD,∠G=∠EDF,
∴∠DEF=∠FDG.
②BD=k·DE.理由:
如图,延长AC到K,使得∠CBK=∠ABC.
∵∠ABK=2∠ABC,∠EDF=2∠ABC,
∴∠EDF=∠ABK,∵∠DFE=∠A,
∴△DFE∽△BAK,∴
=
=
∠AKB=∠DEF=∠FDG,∴BK=k·DE,
∵BC=BC,∠CBD=∠CBK,∴△BCD≌△BCK,∴BD=BK,∴BD=k·DE.
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