第八章 二元一次方程组.docx

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第八章二元一次方程组

第八章二元一次方程组

8．1．1二元一次方程组

学习目标：

知识：

1.二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义

2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解

方法:

观察、类比

情感：

分析实际问题，培养数学应用意识

学习重点：

二元一次方程组的含义

学习难点：

判断一组数是不是某个二元一次方程组的解

教具：

多媒体课件

教学流程：

【导课】

幻灯片演示：

师：

我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？

（学生思考自行解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各种解决方案．）

方案一：

算术方法把兔子都看成鸡，则多出94－35×2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，进而鸡有35－12=23只．或类似的也可以先求鸡的数量．35×4－94=46，46÷2＝23

方案二：

列一元一次方程解设有x只鸡，则有（35－x）只兔．根据题意，得2x十4（35－x）=94.（解方程略）

（教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？

“次”是指什么？

 以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学好数学。

能用方案一来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏．方案二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好铺垫在。

）

师：

上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？

（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？

让学生自己设未知数，列方程）

方案三：

设有x只鸡，y只兔，依题意得   x＋y=35，①   2x＋4y=94.②针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

（1）、你能给这两个方程起个名字吗？

（2）为什么叫二元一次方程呢？

（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？

【阅读质疑，自主探究】

请同学们阅读课本93到94页告诉大家你学会了什么？

1：

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．

2：

把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组

3、二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．

今天我们用二元一次方程组解决这个问题。

板书课题

【多元互动，合作探究】

满足x＋y=35的值有哪些？

请填入表中：

x…y…：

（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？

（2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？

（3）它与一元一次方程的解有什么区别？

使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。

师：

那么什么是二元一次方程组的解呢？

学生讨论达成共识：

二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程．即：

既是方程①又是方程②的解．

注意：

二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且”．

议一议：

将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？

（ 引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念通过探究活动得出结论）

1、二元一次方程的解是成对出现的；

2、二元一次方程的解有无数多个．

（这与一元一次方程有显著的区别．通过对比，让学生体验到从算术方法到代数方法是一种进步．而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担．）

【训练检测，目标探究 】

1、判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由。

①

②

③

④

⑤

⑥

2、已知

、

都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？

①

②

③

④

3、试写出一个二元一次方程组，使它的解是，这个方程组可以是________.

4、在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：

“累死我了”，小马说：

“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：

“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！

”，小马天真而不信地说：

“真的？

！

”同学们，你能帮小马解决吗？

【迁移应用，拓展探究】

本节课学习了哪些内容？

你有哪些收获？

（在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行．） 

1.每个方程的特点，与一元一次方程的不同。

2.什么叫二元一次方程，二元一次方程组。

3.二元一次方程组的解，及其解的记法。

4、用列表尝试的方法求二元一次方程的解

注意：

1、二元一次方程的解是成对出现的；

2、二元一次方程的解有无数多个．

作业设计

1、必做题：

课本95页习题8.1第1、2题．

2、选做题：

课本95页习题8.1第5题．

3、备选题：

（1）根据下列语句，列出二元一次方程：

   ①甲数的一半与乙数的的和为11   

②甲数和乙数的2倍的差为17

（2）方程x＋2y=7在自然数范围内的解（ ）   

A有无数个B有一个C 有两个D有三个

（3）若mx＋y=1是关于x,y的二元一次方程，那么m的值应是（ ） 

A.m≠OB.m=0C.m是正有理数D.m是负有理数

（4）李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？

（不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，实现不同的人在数学上获得不同的发展的教学理念．）

本课知识体系：

二元一次方程、二元一次方程组的含义及其解的定义

板书设计：

8、1二元一次方程组

1.二元一次方程

2.二元一次方程组

3.二元一次方程的解

4.二元一次方程组的解

教学反思：

8、2消元-------二元一次方程组的解法

（1）

学习目标：

知识：

1、用代入消元法解二元一次方程组。

能力：

体会解方程组的消元思想。

情感：

在探索过程中形成观察、分析、归纳的良好习惯。

学习重点：

代入消元法解二元一次方程组。

学习难点：

表达式的选取和表示方法。

突破策略：

用含有一个未知数的代数式表示另一未知数的方程的变形。

教具：

多媒体课件。

教学流程：

【导课】

观看动画：

《曹冲称象》

思考：

1、在这个故事中，曹冲用什么称出大象的重量的？

（以石代象）

2、从这个故事中您能得到什么启发？

（相等的量可以相互代替）

引例：

师：

请同学看屏幕（课件显示2008北京奥运吉祥物“福娃”）

师：

你们知道这是什么吗？

（福娃）谁能简单地介绍一下有关“北京奥运会”的知识？

生：

北京奥运会的主题宣传语为“同一个世界，同一个梦想”．

生：

为了迎接北京奥运会，我们国家提出了“全民健身，迎接奥运”的口号，世界冠军刘翔是这个活动的形象大使．

师：

说的太好了，为了响应国家的号召，增强学生的身体素质，丰富同学们的课余生活，我校也准备组织一次以班级为单位的篮球比赛．为了取得好名次，我们班想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分，那么我们班应该胜负各几场？

根据上节的学习我们知道，这个问题可以通过列一元一次方程求解。

也可以设出两个未知数，根据题目中的等量关系设胜x场，负y场，可以列出二元一次方程组

｛

②

那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？

板书课题

【阅读质疑，自主探究】

学生阅读课本96页，完成下面的问题

1、两个方程的x所表示的意义一样吗？

y呢？

（一样）

2、把两个二元一次方程合在一起，就形成一个二元一次方程组，是通过什么符号实现的？

（大括号）

3、二元一次方程组的相同的字母它们所表示的意义能不一样吗？

任意两个二元一次方程都能组成二元一次方程组吗？

（不能，能）

4、二元一次方程组的解与一元一次方程的解它们有什么异同点？

（

二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程．即：

既是方程①又是方程②的解．

注意：

二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且

5、怎样把两个未知数化成一个未知数？

（ 由方程①进行移项得：

y=22－x，

由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用（22－x）来代换，即得2x+（22－x）=40．由此一来，二元化为一元了．解得x=18．）

6、问题解决完了吗？

怎样求y？

（将x=18代入方程y=22－x，得y=4．）

7、能代入原方程组中的方程①②来求y吗？

代入哪个更方便？

（代入方程①）

这样，就求出了二元一次方程组的解。

8、从上面的学习中你能体会到代入法的基本思路是什么？

主要步骤有哪些呢？

与你的同伴交流．

（用代入法解二元一次方程组的一般过程：

（1）变形：

从方程组中选取一个系数比较简单的方程变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即y=ax+b的形式；

（2）代入：

将y=ax+b代入另一个方程中去，消去y，得到关于x的一元一次方程；

（3）求解：

解这个一元一次方程，求出x的值；

把求得的值代入y=ax+b中去，求出y的值，从而得到方程组的解；

（4）检验：

可以心算或在草稿上演算．

（5）写解

例题讲解：

自学课本97页例1，小组合作学习例2，完成下面的问题

1、这个方程组与上面的方程组有什么不同？

（方程组中两个未知数系数都不是1）

2、如何变形？

用x表示y，还是用y表示x？

（一般选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示，这样代入后能使计算简便）

【训练检测，目标探究】

课本98到99页练习题，要求：

1、抽学生上黑板做题。

2、认真审题独立完成2题。

3、学生互动（会做的可以帮助有困难的学生指点）。

【迁移应用，拓展探究】

这节课你的收获是什么？

1、解二元一次方程组的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一次方程

2、代入法的一般步骤。

作业设计:

1、必做题：

课本103页习题8.2第1题、第2题．

2、选做题：

求满足5x+3y=x+2y=7的x，y的值．

本课知识体系：

二元一次方程-----消元----一元一次方程，体会将未知向已知、陌生向熟悉转化这一重要思想——化归思想．

板书设计：

8、2消元-------二元一次方程组的解法

（1）

1、代入法的一般步骤

2、例题

教后反思：

8、2消元-------二元一次方程组的解法

（2）

学习目标

知识：

加减法解二元一次一次方程组的步骤

能力：

训练学生的运算技巧

情感：

渗透化归的转化思想

学习重点：

用加减法解二元一次方程组

学习难点：

灵活应用加减法解二元一次方程组

突破策略：

将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值。

教学流程

【导课】

用代入法解方程组：

上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解。

对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？

这就是我们这节课将要学习的内容。

【阅读质疑，自主探究】

阅读课本99页后回答下面的问题：

1.上面这个方程组的两个方程中，未知数y的系数有什么关系？

利用这个关系你能发现新的消元方法吗？

（根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减，就可消掉y，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解。

2、如果方程组的两个方程中，同一个未知数的系数互为相反数时，又该怎么办呢？

3、什么是加减消元法？

4、比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是加减法简单？

（加减法）

5比较用这两种方法得到的方程组的解是否相同？

（相同）、

6、什么条件下用加法，什么条件下用减法？

7、用加减法解二元一次方程组的条件是什么？

（某个未知数的系数的绝对值相等）

【多元互动，合作探究】

阅读课本100页例3小组代表回答下列问题

1、上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？

（不符合）

2、如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？

（在方程两边都乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元）

3、如果用加减法消去x应如何解？

解得的结果与上面一样吗？

4、用加减法解二元一次方程组的步骤（a、变形，使某个未知数的系数绝对值相等，b、加减消元，c、解一元一次方程，d代入得另一个未知数的值，从而得方程组的值，）

④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边都乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元．

【训练检测，目标探究】

课本102页练习1、2、3题指明学生扮演，生生互评

【迁移应用，拓展探究】

用加减法解二元一次方程组的思想

用加减法解二元一次方程组的条件

用加减法解二元一次方程组的步骤

布置作业

103页第3题

本课知识体系

加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元．

板书设计

8、2消元-------二元一次方程组的解法

（2）

用加减法解二元一次方程组的思想

用加减法解二元一次方程组的条件

用加减法解二元一次方程组的步骤

教后反思

8.3实际问题与二元一次方程组（第1课时）

学习目标：

知识：

探索事物之间的数量关系，利用二元一次方程组解决实际问题．

方法：

把实际问题转化为二元一次方程组．

情感：

培养学习数学的兴趣.

学习重点：

利用二元一次方程组解决实际问题．

学习难点：

把实际问题转化为二元一次方程组．

教具：

课件

教学流程：

【导课】

前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．

【阅读质疑，自主探究】

请看下面的问题：

养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20kg,每只小牛1天约需用饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？

学生阅读后，结合给出的自学提示解决下列问题：

1、判断李大叔的估计是否正确的方法有几种？

2、怎样把实际问题转换为数学问题？

3、分析：

设每只大牛和每只小牛1天各约用饲料xkg和ykg.

根据两种情况的饲料用料，找出相等关系，列方程组为：

___________＿＿

解这个方程组，得　＿＿＿＿＿

这就是说，每只大牛１天约需饲料＿＿＿＿＿kg，每只小牛１天约需饲料＿＿＿＿＿kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计＿＿＿＿，对大牛的食量估计＿＿＿＿.

【多元互动，合作探究】

经过学生思考，讨论，互相补充，得出结论：

１、⑴先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．

⑵根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．

注意：

对两种方法进行比较，方法一主要是估算的运用，而方法二是方程思想的应用。

估算有一定实用价值，但是估算会产生一定得误差，通过精算可以对估算结果进行检验。

1.

解决问题的方法：

具体为：

①找出题中的未知量，设出未知数．

②找相等关系．

③列出二元一次方程组．

④求出二元一次方程组的解.

⑤根据方程组的解来检验估算的准确性。

3.解：

设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.

找出相等关系列方程组

解这个方程组，得

这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．

【训练检测，目标探究】

《一千零一夜》中有这样一段文字：

有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：

“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

（启发学生尝试用不同的方法解决问题）

【迁移应用，拓展探究】

1.问题：

一根长18米的钢材，要锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小明估计2米的有3段，你们认为他估计的是否正确？

为什么呢？

那2米和1米的各应多少段？

2.通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？

作业设计：

课本108页第8题、第9题

本课知识体系：

本课以实际问题的形式出现，引导学生将实际问题转化为数学问题。

板书设计：

8.3实际问题与二元一次方程组

（1）

解：

教学反思：

8.3实际问题与二元一次方程组（第2课时）

学习目标：

知识：

开放性地寻求设计方案.

方法：

把实际问题转化为二元一次方程组．

情感：

培养学习数学的兴趣.

学习重点：

经历和体验用方程组解决实际问题的过程。

学习难点：

用方程组刻画和解决实际问题的过程。

教具：

课件

教学流程：

【导课】

前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．今天这节课我们就来共同探讨方案设计问题.

【阅读质疑，自主探究】

请看下面的问题：

据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：

1：

5.要把一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：

4（结果取整数）？

师问：

从本题中你可以获取哪些信息？

你还能提出什么问题？

在学生讨论的基础上，老师给出自学提示：

1.划分土地的要求是什么？

2.怎样把实际问题转化为数学问题？

3.分析：

一种种植方案为：

甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组____________

解这个方程组得

过长方形土地的长边上离一端约______处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种_____作物，较小一块地种____作物．

【多元互动，合作探究】

经过学生思考，讨论，互相补充，得出结论：

1.有两个要求：

（1）要把这块地分为两个长方形；

（2）两块地分别种甲、乙两种作物，它们的产量的比是3：

4.

2.列方程解决实际问题的基本思路：

3.一种种植方案为：

甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组

解这个方程组得

过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

【训练检测，目标探究】

1.以上问题你还能设计别的种植方案吗？

2.学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：

要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？

请你设计一种分法．

（本题先让学生独立思考，然后小组讨论达成共识．并让学生板书讲解．以巩固用二元一次方程组解决实际问题的一般过程，并不断提高分析问题的能力.）

【迁移应用，拓展探究】

1.小颖在拼图时，发现8个一样大小的矩形（如图1所示），恰好可以拼成一个大的矩形．小彬看见了，说：

“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2mm的小正方形！

你能帮他们解开其中的奥秘吗？

提示学生先动手实践，再分析讨论．

2.通过本节课的讨论，你对用方程组解决实际问题的方法又有何新的认识？

作业设计：

课本108页第4题、第7题

本课知识体系：

本节课以方案设计问题展开学习，突出数学与现实的联系，培养学生多角度分析问题，多策略解决问题，提高思维的发散性。

板书设计：

8.3实际问题与二元一次方程组

（2）

解：

一种种植方案为：

甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组

解这个方程组得

过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

教学反思：

8.3实际问题与二元一次方程组（第3课时）

学习目标：

知识：

用方程组解决实际问题.

方法：

用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系.

情感：

培养学习数学的兴趣.

学习重点：

用列表的方式分析题目中的各个量的关系。

学习难点：

借助列表分问题中所蕴含的数量关系。

教具：

课件

教学流程：

【导课】

最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．

电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:

00～22:

00，深夜的用电是低谷用电即22:

00～次日8:

00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时0.28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？

（让学生独立思考，解决该问题。

通过该题，可培养学生的读题能力和收集信息能力．）

【阅读质疑，自主探究】

（出示例题）如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元（吨·千米），铁路运价为1.2元（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

认真阅读问题，回答下列问题：

1.这个题目叙述了一件什么事？

（充分利用示意图）

2.问题中哪些是已知量，哪些是未知量？

如何设未知数？

3.如何确定题中数量关系？

列表分析

产品x吨

原料y吨

合计

公路运费（元）

铁路运费（元）

价值（元）

4.你能列出方程组吗？

【多元互动，合作探究】

经过学生思考，讨论，互相补充，得出结论：

1.销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．

2.可列方程组为

【训练检测，目标探究】

某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润增为4500元；经精加工后销售，每吨利润可达7500元。

一食品公司

购到这种水果140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：

每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方案：

方案一：

将这批水果全部进行粗加工；

方案二：

尽可能多对水果进行精加工，没来得及加工的水果在市场上销售；

方案三：

将部分水果进行精加工，其余进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为选择哪种方案获利最多？

为什么？

（学生合作讨论完成）

【迁移应用，拓展探究】

1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？

2、小组讨论，试用框图概括“用一