中考数学专题复习学案三角形中位线 含答案.docx

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中考数学专题复习学案三角形中位线含答案

中考复习之三角形中位线

定义：

：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

一、与中点有关的概念

三角形中线的定义：

三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）

三角形中位线定义：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：

经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

直角三角形斜边中线：

直角三角形斜边中线等于斜边一半

二、常见的题型

题型一:

求线段的长

例1、已知：

如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.

（1）若AC=10cm，则DE=5cm.

（2）若EF=6cm，则CB=12cm.

（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长15

练习：

1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（　　）

A. 5cm      B. 7cm   C. 9cm    D. 10cm

【答案】B

3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（  ）

A. 50°      B. 60° C. 70°   D. 80°

【答案】C

3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（  ）

A. 10    B. 20      C. 30        D. 40

【答案】B

4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（　　）

A. 20      B. 16 C. 12        D. 8

【答案】D

题型二：

证明线段的倍分问题

例1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,BE=CF.

（1）求证:

△BDE≌△CDF;

（2）当∠B=60°时,G、H分别是AB、AD的中点,

求证:

GH=

AB

证明：

（1）∵AB=AC∴∠B=∠C

∵AD为中线，∴BD=CD又∵EB=FC

∴△BDE≌△CDF

（2）∵AB=AC∴△ABC为等腰三角形，又∵∠B=60°，

∴△ABC为等边三角形∴BC=AB∵G、H分别是AB、AD的中点∴GH=

BD=

BC　又∵BC=AB所以GH=

AB.

练习：

如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连结CE、CD，

求证：

CD=2EC

证明：

延长CE使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE

∵∠AEC=∠BEF

E是AB中点，即AE=BE

CE=EF

∴△ACE≌△BFE（SAS）

∴BF=AC

∠FBE=∠A

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC

∠DBC=∠A+∠ACB∴∠FBC=∠DBC

∵BD=BA∴BF=BD

∵BC=BC∠FBC=∠DBC

∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CF=CD

∴CD=2CE

题型三：

常规辅助线的添加

一：

利用角平分线+垂直，构造等腰三角形

如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：

BN=DN；

（2）求△ABC的周长．

【解析】1）证明：

在△ABN和△ADN中，

∵

，

∴△ABN≌△ADN，

∴BN=DN．

（2）解：

∵△ABN≌△ADN，

∴AD=AB=10，DN=NB，

又∵点M是BC中点，

∴MN是△BDC的中位线，

∴CD=2MN=6，

故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．

1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】B

2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）

A．1B．2C．3D．7

【答案】A

3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．

【答案】3

如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（　　）

A.3B.5C.2.5D.1.5

【答案】D

二：

取中点构造中位线

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，

分别是AB、CD、BD的中点，探索PF与EF的数量关系.

证明：

连接PE，

，易得

.

三：

借助平行四边形的性质

1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为________cm．

【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

又∵AC+BD=24厘米，

∴OA+OB=12厘米，

∵△OAB的周长是18厘米，

∴AB=6厘米，

∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，

∴EF是△OAB的中位线，

∴EF=1/2AB=3厘米．

题型三借助平行四边形的性质

例3.如图，

（1）E,F为

边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、FH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：

四边形ABCD是平行四边形.

【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。

连结EG、FH并延长交于点D，求证ABCD为平行四边形,

证明:

连接BG和BH

则BG平行FDBH平行ED（因为G、H为AC的三等分点）

即BHDG是平行四边形

连接BD交GH于O

则BO=DOGO=HO

得AO=CO

可得四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

练习1.已知：

如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：

GF＝GC．

【解析】取BE的中点H，连接FH、CH

∵F、G分别是AE、BE的中点

∴FH是△ABE的中位线

∴FH∥ABFH=1/2*AB

∵四边形ABCD是平行四边形

∴CD∥ABCD=AB

∵E是CD的中点

∴CE=1/2*AB

∵CE=1/2*ABFH=1/2*AB

练习2.已知：

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=BD，E，F分别是四边形ABCD边AD、BC的中点，EF分别交AC，BD于G，H，求证：

∠OGH=∠OHG．

【解析】辅助线如图

练习3.已知：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．

求证：

∠AHF＝∠BGF．

【解析】证明：

连接AC，取AC的中点M，连接ME、MF

∵M是AC的中点，E是DC的中点

∴ME是△ACD的中位线

∴ME＝AD/2,PE∥AH

∴∠MEF＝∠AHF（同位角相等）

同理可证：

MF＝BC/2,∠MFE＝∠BGF（内错角相等）

∵AD＝BC

∴ME＝MF

∴∠MFE＝∠MEF

∴∠AHF＝∠BGF

练习4.已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD．E、F分别是AC、BD的中点．求证：

EF=

（AB-CD）．

【答案】辅助线如图

题型四证明平行四边形

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．求证：

四边形ABFC是平行四边形．

证明：

等腰梯形ABCD中，AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB，

∵DE⊥BC，DE=EF，

∴△DFC是等腰三角形，

∴∠DCB=∠FCE，DC=CF，

∴∠ABC=∠FCE，

∴AB∥CF，

∵AB=CD=CF，

∴四边形ABFC是平行四边形

探索与证明

如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，顺次连接E、M、N、D四点．

（1）求证：

EMND是平行四边形;

（2）探索：

BC边上的中线是否过点O？

为什么？

【解析】

（1）

.

（2）BC边上的中线过点O，理由如下：

作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，

∵BD、AF是边AC、BC上的中线，

∴O和M重合，

即BC边上的中线一定过点O．