相似三角形的性质与判定专题讲义整理版.docx
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相似三角形的性质与判定专题讲义整理版
年级：
上课时间:
年级第单元课题
[课前准备]
课前检查：
作业完成情况：
优（）良（）中（）差（）复习预习情况：
优（）良（）中（）差（）
[学习内容]
一、知识梳理
（一）、相似三角形的性质：
1相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：
在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：
1、判定两个三角形相似的条件：
（1、平行截割：
（2）两角对应相等：
（3、两边夹：
（4）三边比：
2、判定两个三角形相似的一般步骤：
（1、先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角
（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等，或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否
3、等积式的证明思路
遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习
1.（2013?
重庆）已知△ABCDEF，若△ABC与厶DEF的相似比为3:
4，则△ABC与厶DEF的面积比为（、
A.4:
3B.3:
4C.16:
9D.9:
16
△ADE与厶ABC相似，则AE=
4.（2008?
毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，
各一根，做一个三角形木架与厶ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许
形的顶点都在矩形的边上•其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是
有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（
（1）求证：
△ABEs\DBC;
（2）求线段AE的长.
变式训练:
1、（2012?
株洲）如图，在矩形
MN交AC于0.
（1）求证：
△COMCBA;
（2）求线段OM的长度.
2、（2012?
长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分/DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转
到厶DCF的位置，并延长BE交DF于点G.
1
（1）求证：
DG=DF;
2
（2）求证：
△BDGDEG;
（3）若EG?
BG=4，求BE的长.
?
ABCD中，/DBC=45°，DE丄BC于E，BF丄CD于F，DE、BF
典型例题2（2013?
巴中）如图，在平行四边形ABCD
F为线段DE上一点，且/AFE=/B
（1）求证：
△ADFDEC;
（2）若AB=8，AD=6一3，AF=43，求AE的长.
变式训练：
1、（2009?
甘孜州）已知如图,
相交于H，BF、AD的延长线相交于G.
（1）求证：
AB=BH;
（2）若GA=10，HE=2.求AB的值.
2、（2013?
南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7，/B=60°,P为BC边上一点（不与B,C重合），过点P作/APE=/B,PE交CD于E.
（1）求证：
△APBPEC;
（2）
若CE=3，求BP的长.
专题二：
等积式、等比式的证明
对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。
处理这类问题的口诀是：
遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替。
等积问题证明第一步：
化等比，定相似
遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然后考虑证明两个三角形相似。
例1、（2011?
闸北区一模）如图，△ABC是直角三角形，/ACB=90,CD丄AB于点D,E是AC的中点，ED的
延长线与CB的延长线交于点F.求证:
FBFD
FDFC
等积证明第二步：
不相似，莫生气，等线等比来代替。
若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明，此时可通过查
找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。
例2:
如图，ABCD中，E为边AD延长线上的一点，BE交CD于F。
变式练习：
1如图，在正方形ABCD中,F是BC上一点，EA丄AF交CD延长线于点E,连接EF交AD于G。
（1）求证：
△ABF^AADE
（2）求证：
BF-FC=DGEC
2、如图，在Rt△ABC中，/ACB=90边AC的垂直平分线EF交AC于点E,交AB于点F,BGLAB交EF于的G求证：
CF是EF与FG的比例中项。
3、如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,CDLABM是CD上的点，DHLBM于H,DHAC的延长线交于E。
求证：
（1）△AED^ACBM
（2）AE-CM=ACCD
4、（2012?
徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O,且/ABE=/BCA.求证：
（1）△BAEs\BOA;
（2）BO?
BE=BC?
AE.
综合提高
1、（2011?
上海）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC，过点D作DE丄BC，垂足为E,并延长DE至F,
使EF=DE.连接BF、CF、AC.
（1）求证：
四边形ABFC是平行四边形;
2、（2012?
天水）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折
痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点0,分别连接AF和CE.
（1）求证：
四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P,求证：
2AE2=AC?
AP；
（3）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长.
3、梯形ABCD中,AB//DCE是AB的中点，直线DE分别与对角线AC,直线BC相交于M和N
求证：
MD•NE=MEND
专题三：
相似三角形中的面积问题
学习目标：
结合相似三角形的性质及三角形的面积公式，解决相似三角形的面积问题一、求三角形面积常用方法
例1:
如图，DE//BC,且型=1，则△ADE与厶ABC的相似比是，面积之比是
BD2
例2、已知如图，梯形ABCD中，AB//CD,△COD与厶AOB的周长
例3、如图，将面积为a2的正方形与面积为b2的正方形（b>a）放在一起，则△ABC的面积
变式一：
如图,D、E、F是厶ABC的各边的中点，设△ABC的面积为5求厶DEF的面积.
变式
（1）如图，DE//FG//BC,且AD=DF=FB,设厶ABC被分成的三部分的面积分别为
S1,S2,S3,求S1:
S2:
S3.
（2）如图，DE//FG//BC,设厶ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3且
S1=S2=S3,求AD:
DF:
FB
变式四：
如图，平行四边形ABCD中,AE:
EB=2:
3,贝US^ape£△cpd=
变式五：
如图，平行四边形ABCD中,BE:
AB=2:
3,且SABPE=4,求平行四边形ABCD的面积.
变式六：
如图,AC是平行四边形ABCD的对角线，且AE=EF=FC,求SADMN:
SAACD
DNC
B
变式七：
如图,AABC中,AD//BC,联结CD交AB于点E,且，且AE:
EB=1:
3,过点E作EF//BC，交AC于点F，S「ade=2,求SBCE和Saef
A
F
变式八：
如图，点D和E分别在AABC的边AB、AC上，若Saade=4,Sabce=24,求Sabde
变式九：
如图，点D是厶ABC边BC延长线上一点，过点C作CE//AB，作DE//AC,联结AE,SaABC=9,Sacde=4,求Saace
家长签字:
本次课作业:
1、预习：
教学主管签字:
2、写：
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