相似三角形的性质与判定专题讲义整理版.docx

1、相似三角形的性质与判定专题讲义整理版年级：上课时间: 年级第 单元课题 课前准备课前检查：作业完成情况： 优（）良（）中（）差（） 复习预习情况： 优（）良（）中（）差（） 学习内容一、 知识梳理（一） 、相似三角形的性质：1相似三角形的对应角 ，对应边 。2、 相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于 。3、 相似三角形对应周长的比等于 。4、 相似三角形对应面积的比等于 。注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进 行分类讨论。（二） 、相似三角形的判定：1、 判定两个三角形相似的条件：（1、平行截割： （2）两角对应相等： （3、两

2、边夹： （4）三边比： 2、 判定两个三角形相似的一般步骤：（1、先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2） 若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等，或找夹这个角的两边是否对应成比例。（3） 若找不到相等的角，就分析三边是否 3、 等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端 各自拉关系。二、 基础练习1 . （ 2013?重庆）已知 ABC DEF，若 ABC与厶DEF的相似比为 3 : 4，则 ABC与厶DEF的面积比为（ 、A . 4 : 3 B. 3 : 4 C . 16 : 9 D . 9 : 1

3、6 ADE与厶ABC相似，则 AE=4. （ 2008?毕节地区）已知 ABC的三条长分别为 2cm，各一根，做一个三角形木架与厶 ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许形的顶点都在矩形的边上其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（(1)求证： ABE s DBC ;(2)求线段AE的长.变式训练:1、( 2012?株洲)如图，在矩形MN交AC于0 .(1)求证： COM CBA ;(2)求线段OM的长度.2、 ( 2012?长沙)如图，已知正方形 ABCD中，B

4、E平分/ DBC且交CD边于点E，将 BCE绕点C顺时针旋转到厶DCF的位置，并延长 BE交DF于点G .1(1 )求证：DG= DF;2(2)求证： BDG DEG ;(3 )若 EG?BG=4，求 BE 的长.?ABCD 中，/ DBC=45 ，DE 丄 BC 于 E，BF 丄 CD 于 F，DE、BF典型例题2 (2013?巴中)如图，在平行四边形 ABCDF为线段DE上一点，且/ AFE= / B(1)求证： ADF DEC ;(2)若 AB=8，AD= 6 一 3，AF= 4 3，求 AE 的长.变式训练：1、 ( 2009?甘孜州)已知如图,相交于H， BF、AD的延长线相交于 G

5、 .(1 )求证：AB=BH ;(2)若 GA=10，HE=2 .求 AB 的值.2、 （2013?南充）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD / BC , AD=3 , BC=7，/ B=60 , P 为 BC 边上 一点（不与 B , C重合），过点 P作/ APE= / B, PE交CD于E.(1)求证： APB PEC ;(2)若CE=3，求BP的长.专题二：等积式、等比式的证明对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。 处理这类问题的口诀是： 遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代 替。等积问题证明第一步：化等比，定相

6、似遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然后考虑证明两个三角形相似。例1、 （2011?闸北区一模）如图， ABC是直角三角形，/ ACB=90 , CD丄AB于点D, E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证:FB FDFD FC等积证明第二步：不相似，莫生气，等线等比来代替。若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明，此时可通过查找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部 分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。例2:如图，ABCD中，E为边AD延长线上的一点， BE交CD于F。变式练习：1如图，

7、在正方形 ABCD中, F是BC上一点，EA丄AF交CD延长线于点 E,连接EF交AD于G。(1) 求证： ABFA ADE(2)求证：BF- FC=DG EC2、如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90边 AC的垂直平分线 EF交AC于点E,交AB于点F, BGL AB 交EF于的 G 求证：CF是EF与FG的比例中项。3、如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB M是 CD上的点， DHL BM于 H, DH AC的延长线 交于E。求证：(1 ) AEDA CBM (2) AE- CM=AC CD4、(2012?徐汇区一模)如图，梯形 ABCD中，AB / CD , A

8、D=BC，点E在边AD上，BE与AC 相交于点 O,且/ ABE= / BCA .求证：(1 ) BAE s BOA ; (2) BO?BE=BC?AE .综合提高1、 ( 2011?上海)如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB=DC，过点D作DE丄BC，垂足为E,并延长 DE至F ,使 EF=DE .连接 BF、CF、AC.(1 )求证：四边形 ABFC是平行四边形;2、 (2012?天水)如图所示的一张矩形纸片 ABCD (AD AB )，将纸片折叠一次，使点 A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点0,分别连接 AF和CE .(1 )求证：四边形

9、AFCE是菱形；(2)过E点作AD的垂线EP交AC于点P,求证：2AE2=AC?AP ；(3 )若AE=10cm， ABF的面积为24cm 2，求 ABF的周长.3、梯形ABCD中, AB/ DC E是AB的中点，直线 DE分别与对角线 AC,直线BC相交于M和N求证：MD NE=ME ND专题三：相似三角形中的面积问题学习目标：结合相似三角形的性质及三角形的面积公式，解决相似三角形的面积问题 一、求三角形面积常用方法例1:如图，DE / BC,且型 =1，则 ADE与厶ABC的相似比是 ，面积之比是BD 2例2、已知如图，梯形ABCD中，AB / CD , COD与厶AOB的周长例3、如图，

10、将面积为 a2的正方形与面积为 b2的正方形（ba）放在一起，则 ABC的面积变式一：如图,D、E、F是厶ABC的各边的中点，设 ABC的面积为5求厶DEF的面积.变式(1)如图，DE/ FG/ BC,且AD=DF=FB,设厶ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3,求 S1:S2:S3 .(2) 如图，DE / FG / BC,设厶ABC被分成的三部分的面积 分别为 S1,S2,S3且S1=S2=S3,求 AD:DF:FB变式四： 如图，平行四边形 ABCD中,AE:EB=2:3,贝U Sape cpd= 变式五：如图，平行四边形 ABCD中,BE:AB=2:3,且SABPE =4,

11、求平行四边形 ABCD 的面积.变式六：如图,AC是平行四边形 ABCD的对角线，且AE=EF=FC,求SADMN: S A ACDD N CB变式七：如图,A ABC中,AD / BC,联结CD交AB于点E,且，且 AE: EB=1 : 3,过 点 E 作 EF / BC，交 AC 于点 F， Sade=2,求 SBCE 和 SaefAF变式八：如图，点D和E分别在A ABC 的边AB、AC上，若Saade=4 ,Sabce=24,求Sabde变式九：如图，点D是厶ABC边BC延长线上一点，过点 C作CE / AB，作DE / AC , 联结 AE , Sa ABC =9 ,Sa cde=4,求 Sa ace家长签字:本次课作业:1、 预习：教学主管签字:2、 写：