三角函数公式大全很详细.docx
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三角函数公式大全很详细
高中三角函数公式大全[图]
1 三角函数的定义 1.1 三角形中的定义
图 1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形 ABC，如下定义六个三角函数：
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
1.2 直角坐标系中的定义
图 2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
正弦函数
r
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
2 转化关系 2.1 倒数关系
2.2 平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式
3.2 半角公式
3.3 万能公式
4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式
证明过程
首先，sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα（已证。
证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）
因为 sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα （正弦和角公式）
则
sin（α-β）
=sin[α+（-β）]
=sinαcos（-β）+sin（-β）cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于是
sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）
将正弦的和角、差角公式相加，得到
sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin（α+β）/2+sin（α-β）/2（“积化和差公式”之一）
同样地，运用诱导公式 cosα=sin（π/2-α），有
cos（α+β）=
sin[π/2-（α+β）]
=sin（π/2-α-β）
=sin[（π/2-α）+（-β）]
=sin（π/2-α）cos（-β）+sin（-β）cos（π/2-α）
=cosαcosβ-sinαsinβ
于是
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）
那么
cos（α-β）
=cos[α+（-β）]
=cosαcos（-β）-sinαsin（-β）
=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ （余弦差角公式）
将余弦的和角、差角公式相减，得到
cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ
则
sinαsinβ=cos（α-β）/2-cos（α+β）/2（“积化和差公式”之二）
将余弦的和角、差角公式相加，得到
cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ
则
cosαcosβ=cos（α+β）/2+cos（α-β）/2（“积化和差公式”之三）
这就是积化和差公式：
sinαcosβ=sin（α+β）/2+sin（α-β）/2
sinαsinβ=cos（α-β）/2-cos（α+β）/2
cosαcosβ=cos（α+β）/2+cos（α-β）/2
4.2 和差化积公式
部分证明过程：
sin（α-β）=sin[α+（-β）]=sinαcos（-β）+sin（-β）cosα=sinαcosβ-sinβcosα
cos（α+β）=sin[90-（α+β）]=sin[（90-α）-β]=sin（90-α）cosβ-sinβcos（90-α）=cosαcosβ-sinαs
inβ
cos（α-β）=cos[α+（-β）]=cosαcos（-β）-sinαsin（-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=sin（α+β）/cos（α+β）=（sinαcosβ+sinβcosα）/（cosαcosβ-sinαsinβ）=（cosαtanα
cosβ+cosβtanβcosα）/（cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）
tan（α-β）=tan[α+（-β）]=[tanα+tan（-β）]/[1-tanαtan（-β）]=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）
诱导公式
sin（-a）=-sin（a）
cos（-a）=cos（a）
sin（pi/2-a）=cos（a）
cos（pi/2-a）=sin（a）
sin（pi/2+a）=cos（a）
cos（pi/2+a）=-sin（a）
sin（pi-a）=sin（a）
cos（pi-a）=-cos（a）
sin（pi+a）=-sin（a）
cos（pi+a）=-cos（a）
tgA=tanA=sinA/cosA
两角和与差的三角函数
sin（a+b）=sin（a）cos（b）+cos（α）sin（b）
cos（a+b）=cos（a）cos（b）-sin（a）sin（b）
sin（a-b）=sin（a）cos（b）-cos（a）sin（b）
cos（a-b）=cos（a）cos（b）+sin（a）sin（b）
tan（a+b）=（tan（a）+tan（b））/（1-tan（a）tan（b））
tan（a-b）=（tan（a）-tan（b））/（1+tan（a）tan（b））
三角函数和差化积公式
积化和差公式
二倍角公式
sin（a）+sin（b）=2sin（（a+b）/2）cos（（a-b）/2）
sin（a）−sin（b）=2cos（（a+b）/2）sin（（a-b）/2）
cos（a）+cos（b）=2cos（（a+b）/2）cos（（a-b）/2）
cos（a）-cos（b）=-2sin（（a+b）/2）sin（（a-b）/2）
sin（a）sin（b）=-1/2*[cos（a+b）-cos（a-b）]
cos（a）cos（b）=1/2*[cos（a+b）+cos（a-b）]
sin（a）cos（b）=1/2*[sin（a+b）+sin（a-b）]
sin（2a）=2sin（a）cos（a）
cos（2a）=cos^2（a）-sin^2（a）=2cos^2（a）-1=1-2sin^2（a）
半角公式
sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2
cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2
tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））
万能公式
sin（a）= （2tan（a/2））/（1+tan^2（a/2））
cos（a）= （1-tan^2（a/2））/（1+tan^2（a/2））
tan（a）= （2tan（a/2））/（1-tan^2（a/2））
其它公式
a*sin（a）+b*cos（a）=sqrt（a^2+b^2）sin（a+c） [其中，
tan（c）=b/a]
a*sin（a）-b*cos（a）=sqrt（a^2+b^2）cos（a-c） [其中，
tan（c）=a/b]
1+sin（a）=（sin（a/2）+cos（a/2））^2
1-sin（a）=（sin（a/2）-cos（a/2））^2
其他非重点三角函数
csc（a）=1/sin（a）
sec（a）=1/cos（a）
双曲函数
sinh（a）=（e^a-e^（-a））/2
cosh（a）=（e^a+e^（-a））/2
tgh（a）=sinh（a）/cosh（a）
常用公式表
（一）
1。
乘法公式
（1）（a+b）²=a2+2ab+b2
（2）（a-b）²=a²-2ab+b²（3）（a+b）（a-b）=a²
-b²
（4）a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）（5）a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
2、指数公式：
1
n
m
a m
（4）a m a n =a m+n
（7）（ab） n =a n b n
（5）a m ÷a n = a n =a m-n
a n
a
（8）（ b ） n = b n
（6）（a m ） n =a mn
（9）（ a ） 2 =a
（10） a 2 =|a|
3、指数与对数关系：
（1）若a b =N，则 b = log N
（2）若10 b =N，则b=lgN
a
（3）若 e b =N，则b=㏑N
4、对数公式：
（1） log a b = b ,㏑e b =b
（2） a log aN = N ，e ln N =N
a
（3） log N =
a
ln N
ln a
（4） a b = e b ln a （5） ln MN = ln M + ln N
（6） ln
M 1
N n
5、三角恒等式：
（1）（Sinα）²+（Cosα）²=1
（2）1+（tanα）²=（secα）²
sin αcos α
cos αsin α
111
tan αcos αcos α
6、特殊角三角函数值：
α0
π
643
π
2
sina0
1
2
2
2
3
2
1 0 --1 0
cosa1
3
2
2
2
1
2
0 --1 0 1
tana0∞0--∞0
33
3
cota∞
3 1
3
0 --∞ 0 ∞
3
7.倍角公式：
（1） sin 2α = 2 sin α cosα
（2） tan 2α =2 tan α
1 - tan 2 α
（3） cos 2α = cos 2 α - sin 2 α = 2 cos 2 α - 1 = 1 - 2 sin 2 α
8.半角公式（降幂公式）：
1 - cos a1 + cos a
αα
22
1 + cos asin a
α
2
9、三角函数与反三角函数关系：
（1）若x=siny，则y=arcsinx
（2）若x=cosy，则y=arccosx
（3）若x=tany，则y=arctanx（4）若x=coty，则y=arccotx
10、函数定义域求法：
1
（1）分式中的分母不能为0，（ aα≠0）
（2）负数不能开偶次方，（ aα≥0）
（3）对数中的真数必须大于0，（ log NN>0）
a
（4）反三角函数中arcsinx，arccosx的x满足：
（--1≤x≤1）
（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
11、直线形式及直线位置关系：
（1） 直线形式：
点斜式：
y - y = k （x - x
0
斜截式：
y=kx+b
x - x
y - y
1=
1
x - x
两点式：
21
21
0
）
（2）直线关系：
l :
y = k x + b
111
l :
y = k x + b
2 2
2
平行：
若 l // l ，则 k = k
121
2
垂直：
若 l ⊥ l ，则 k ⋅ k = -1
1212
常用公式表
（二）
1、求导法则：
（1）（u+v） / =u / +v /
（2）（u-v） / =u / -v /
（3）（cu） / =cu /
'
（4）（uv） / =uv / +u / v （5） ç ⎪ =
⎝ v ⎭ v 2
2、基本求导公式：
（1）（c） / =0
（2）（x a ） / =ax a-1（3）（a x ） / =a x lna
11
（4）（e x ） / =e x
（5）（㏒ a x） / = x ln a
（6）（lnx） / = x
（cos x） 2
（sin x） 2
（7）（sinx） / =cosx（8）（cosx） / =-sinx
1
（9）（tanx） / ==（secx） 2
1
（10）（cotx） / =-=-（cscx） 2
（11）（secx） / =secx*tanx（12）（cscx） / =-cscx*cotx
1
（13）（arcsinx） / = 1 - x
1
1
2 2
（15）（arctanx） / = 1 + x 2
'
1
1 + x 2
3、微分
（1）函数的微分：
dy=y / dx
（2）近似计算：
|Δx|很小时，f （x + ∆x ）=f（x 0 ）+f / （x 0 ）* ∆x
0
4、基本积分公式
（1）kdx=kx+c
（2） ⎰ x a dx =1
a + 1
x a+1 + C
⎰ 1dx = ln x + c
（3）x（4） ⎰ a x dx =
a x
ln a
+ C
（5）
⎰
e x dx = e x + c
（6） ⎰ sin xdx = - cos x + C
（7） ⎰ cos xdx = sin x + C（8） ⎰ sec 2 xdx = ⎰
1
cos 2 x
dx = tan x + C
（9）
⎰ csc
2
xdx = ⎰
1
sin 2 x
dx = - cot x + c
（10）
⎰ 1
1 - x 2
dx = arcsin x + c
1
（11） 1 + x 2
dx = arctan x + c
5、定积分公式：
b
a
f （ x）dx = ⎰b f （t ）dt
a
（2）
a
a
f （ x）dx = 0
（3） ⎰b f （x ）dx = -⎰a f （x ）dx （4） ⎰
ab
b
a
f （ x）dx = ⎰c f （ x）dx + ⎰b f （ x）dx
a c
（5）若f（x）是[-a,a]的连续奇函数，则 ⎰
a
-a
（6）若f（x）是[-a,a]的连续偶函数，则:
f （ x）dx = 0
f （ x）dx = 2⎰ f （ x）dx
⎰ a
-a
a
0
6、积分定理：
（1）
⎢ a ⎥
'
（2）⎡⎰b（x ） f （ ）dt ⎤
⎢ a（x ）⎥
'
= f [b（x ）]b'（x ）- f [a（x ）]a '（x ）
（3）若F（x）是f（x）的一个原函数，则
⎰ b
a
f （ x）dx = F （ x） b = F （b） - F （a）
a
7.积分表
（
1）⎰ sec xdx = ln sec x + tan x + C
（2）⎰ csc xdx = ln csc x - cot x + C
（3）
（5）
1 1 x
dx = arctan + C
a 2 + x 2 a a
1 1 x - a
dx = ln + C
x 2 - a 2 2a x + a
（4）⎰
1 x
dx = arcsin + C
a
8．积分方法
（
1）f （x ）=ax + b ；设：
ax + b = t
（2）f （x）=a 2 - x 2 ；设：
x = a sin t
f （x）=x 2 - a 2 ；设：
x = a sec t
f （x）= a 2 + x 2 ；设：
x = a tan t
（3 ）分部积分法：
⎰ udv = uv - ⎰ vdu
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